精品解析： 广西壮族自治区柳州市城中区2024—2025学年上学期期末考试九年级数学试题

柳州市2024-2025学年度九年级（上）期末质量检测试题 数学 （考试时间120分钟，全卷满分120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得0分，在草稿纸，试卷上答题无效）． 1. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面所看得到的图形为主视图，据此解答即可． 【详解】解：从正面可发现有两层，底层三个正方形，上层的左边是一个正方形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图成为解答本题的关键． 2. 下列函数中，是的二次函数的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义：形如（a、b、c是常数，）的函数叫二次函数，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A．是一次函数，故不符合题意； B． 是二次函数，故符合题意； C． 是反比例函数，故不符合题意； D． 是一次函数，故不符合题意； 故选：B． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 三角形内角和是180° B. 端午节赛龙舟，红队获得冠军 C. 掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上 D. 打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况 【答案】A 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、三角形内角和是180°是必然事件，故此选项符合题意； B、端午节赛龙舟，红队获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意； C、掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上是随机事件，故此选项不符合题意； D、打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况是随机事件，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4. 若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（  ） A. 5                                            B. 6                                            C. 7                                            D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】点在圆内，点到圆心的距离小于半径， 又因为圆的半径为6， 所以OP的长小于6， 因为5＜6，所以选项A符合题意， 故选A 5. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 6. 某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（ ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A. 日期 B. 星期 C. 时间 D. 天气 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，计算出所有情况的概率直接比较判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，，，， ∵， ∴大可能看到的内容是时间， 故选：C． 7. 浙江省积极响应国家“节约资源，保护环境”的号召，利用自身地域环境优势，加强可再生资源——风能的利用.其中，海上风电产业具有技术先导性强、经济体量大和产业关联度大的特点.如图是海上风力发电装置，转子叶片图案绕中心旋转 后能与原图案重合，则 可以取（    ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】观察图形可知转子叶片是正三角形，因此可求出旋转角度. 【详解】解：由题意得 360°÷3=120°, 故选：C. 【点睛】此题考查旋转对称图形，熟练运用空间想象能力，找到规律性是解题关键. 8. 小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是（ ） A. 三角形 B. 线段 C. 矩形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】根据平行投影的性质： 将长方形硬纸板立起与阳光的投影并行放置时，形成的影子为线段； 将长方形硬纸板面对阳光的投影放置时，形成的影子可能为矩形，正方形或平行四边形； 由物体同一时刻物高与影长成比例，且矩形对边相等，故得到的投影不可能是三角形． 故选：A． 9. 圆心角为的扇形的半径为，则这个扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：这个扇形的面积为： ，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式． 10. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在格点上，连接交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先证明，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：由网格特点可得：，，， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 11. 我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步， ∴矩形的长为步． 依题意，得：． 故选D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 二、填空题．（本大题共4小题，每小题3分，满分12分，请将答案直接填写在答题卡中相应的横线上，在草稿纸，试卷上答题无效）． 13. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的对称性，根据关于原点对称的两个点的横坐标及纵坐标均互为相反数的特征直接求解即可得到答案，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 14. 如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法（三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似）成为解题的关键． 根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴添加条件：可判定． 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体的最大深度，截面圆中弦长为，那么球的半径长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，解题关键根据垂径定理得出，再设，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：设， ∵瓶内液体的最大深度， ∴，垂足为C， ∴， 设，则， 解得，， 故答案为：5． 16. 斯蒂芬·库里是美国职业篮球运动员，司职控球后卫，效力于金州勇士队，下表是库里一段时间内在罚球线上训练投篮的结果记录： 罚球总数 400 1000 1600 2000 2887 命中次数 348 893 1432 1802 2617 罚球命中率 0.87 0.893 0.895 0.901 0.906 根据以上数据可以估计，库里在罚球线上投篮一次，投中的概率为______（精确到0.1） 【答案】0.9 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率．根据大量重复试验，某事件发生的频率稳定在一个数值附近，这个数值即为该事件发生的概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法和正确分析表中数据．根据大量重复试验，某事件发生的频率稳定在一个数值附近，这个数值即为该事件发生的概率，结合表格，即可得出结果． 【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数之间附近，且精确到0.1， ∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.9， 故答案为：0.9． 三．解答题（共7小题） 17. （1）计算：． （2）解方程：； 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数运算和解方程，解题关键是熟练掌握特殊角三角函数值和解一元二次方程的方法； （1）先求特殊角三角函数值、负指数、算术平方根，再计算即可； （2）利用直接开方法解方程即可． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， 或 解得，． 18. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形； 证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB， ∴∠ACB=∠CAB， ∴△ABC是等腰直角三角形； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明； （2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AB=， ∴AC=， Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=， ∴CD=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若是一元二次方程的解，求方程的另一个解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数关系和一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根的判别式，准确计算； （1）根据方程有两个不相等的实数根列出不等式即可求解； （2）利用根与系数关系求解即可． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，， 解得，． 【小问2详解】 解：设方程的另一个解为， 因为若是一元二次方程的解， 所以， 解得． 20. 如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． （1）求水流运行轨迹的函数解析式； （2）若在距喷灌架米处有一棵米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 【答案】（1） （2） 水流不会碰到这棵果树， 理由如下： 当时，， ∴水流不会碰到这棵果树． 【解析】 【分析】（1）根据题意设，将点代入可得，即可求解； （2）根据题意，当时，，可得结论． 【小问1详解】 解：由题可知：抛物线的顶点为， 设水流形成的抛物线为， 将点代入可得， ∴抛物线为： ． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键． 21. 圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米． （1）求∠BAD的度数． （2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈） 【答案】（1）47° （2）3.3米 【解析】 【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可； （2）分别求出和的正切值，用表示出和，得到一个只含有的关系式，再解答即可． 【小问1详解】 解：，， ， 答：的度数是． 【小问2详解】 解：在Rt△ABC中，， ∴． 同理，在Rt△ADC中，有． ∵， ∴． ∴， ∴（米）． 答：表AC的长是3.3米． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角函数，解题的关键是熟练掌握建模思想来解决． 22. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）_______，_______； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 【答案】（1）2， （2）①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图： ； ②函数值逐渐减小 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据解析式求解即可； （2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论； （3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，， 当时，由得， 当时，， 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：①略 ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小， 故答案为：函数值逐渐减小； 【小问3详解】 解：当时，，当时，， ∴函数与函数的图象交点坐标为，， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图， 由图知，当或时，， 即当时，的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键． 23. 小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形，点E、F、G、H分别在边上，若，则．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 方案一：过点A作交于点M，过点B作交于点N； 方案二：过点A作交于点M，过点A作交边的延长线于点N．… （1）对小曼遇到的问题，请在两个方案中任选一个加以证明（如图（1））． （2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设（如图（2）），试探究之间有怎样的数量关系，并证明你的结论． （3）如果把条件中的“”改为“与的夹角为”，并假设正方形的边长为2，的长为（如图（3）），试求的长度． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质与判定，解题关键是熟记相关性质定理和判定定理，熟练运用它们进行推理证明和计算． （1）画出辅助线，证明两个三角形全等即可； （2）画出辅助线，证明两个三角形相似，再根据比例式得出关系即可； （3）仿照（1）的方法，构建全等三角形，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：方案一：过点A作交于点M，过点B作交于点N； 由正方形性质可知，，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，设交点为P， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 方案二：过点A作交于点M，过点A作交边的延长线于点N． 同方案一可知，，， 由平行可知，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：；理由如下：过点A作交于点M，过点B作交于点N； 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：过点A作交于点M，过点A作交于点N； ∵与的夹角为， ∴， 在延长线是截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， 解得，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳州市2024-2025学年度九年级（上）期末质量检测试题 数学 （考试时间120分钟，全卷满分120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得0分，在草稿纸，试卷上答题无效）． 1. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中， 是 的二次函数的是（） A. B. C. D. 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 三角形内角和是180° B. 端午节赛龙舟，红队获得冠军 C. 掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上 D. 打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况 4. 若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（  ） A. 5                                            B. 6                                            C. 7                                            D. 8 5. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（ ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A. 日期 B. 星期 C. 时间 D. 天气 7. 浙江省积极响应国家“节约资源，保护环境”的号召，利用自身地域环境优势，加强可再生资源——风能的利用.其中，海上风电产业具有技术先导性强、经济体量大和产业关联度大的特点.如图是海上风力发电装置，转子叶片图案绕中心旋转 后能与原图案重合，则 可以取（    ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 180 8. 小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是（ ） A. 三角形 B. 线段 C. 矩形 D. 正方形 9. 圆心角为的扇形的半径为，则这个扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在格点上，连接交于点，则（ ） A. B. C. D. 11. 我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程正确的是（　　） A. B. C. D. 12. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题．（本大题共4小题，每小题3分，满分12分，请将答案直接填写在答题卡中相应的横线上，在草稿纸，试卷上答题无效）． 13. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 14. 如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是________．（写出一种情况即可） 15. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体的最大深度，截面圆中弦长为，那么球的半径长为_______． 16. 斯蒂芬·库里是美国职业篮球运动员，司职控球后卫，效力于金州勇士队，下表是库里一段时间内在罚球线上训练投篮的结果记录： 罚球总数 400 1000 1600 2000 2887 命中次数 348 893 1432 1802 2617 罚球命中率 0.87 0.893 0.895 0.901 0.906 根据以上数据可以估计，库里在罚球线上投篮一次，投中的概率为______（精确到0.1） 三．解答题（共7小题） 17. （1）计算：． （2）解方程：； 18. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若是一元二次方程的解，求方程的另一个解． 20. 如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． （1）求水流运行轨迹的函数解析式； （2）若在距喷灌架米处有一棵米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 21. 圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米． （1）求∠BAD的度数． （2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈） 22. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）_______，_______； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量 的不断增大，函数值 的变化趋势是_________． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 23. 小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形，点E、F、G、H分别在边上，若，则．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 方案一：过点A作交于点M，过点B作交于点N； 方案二：过点A作交于点M，过点A作交边的延长线于点N．… （1）对小曼遇到的问题，请在两个方案中任选一个加以证明（如图（1））． （2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设（如图（2）），试探究之间有怎样的数量关系，并证明你的结论． （3）如果把条件中的“”改为“与的夹角为”，并假设正方形的边长为2，的长为（如图（3）），试求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $