精品解析：辽宁省辽东十一所重点高中联合教研体2024-2025学年高三上学期教学质量监测数学试卷

绝密★启用前 辽东十一所重点高中联合教研体2025届高三教学质量监测 数学试卷 本试卷共19题，全卷满分150分．考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，16，14，12，这组数据的下四分位数为（ ） A. 13 B. 13.5 C. 15 D. 15.5 【答案】C 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，根据下四分位数的含义求解，即可得答案. 【详解】将这组数据从小到大排列为：12，14，16，16，18，20，40，40， 由于，故这组数据的下四分位数为， 故选：C 2. 给定集合，集合，集合，则下列说法正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数性质化简集合，再判断它们的关系即可. 【详解】函数的值域为， 所以， 函数的值域为， 所以， 因为， 令，则，， 函数，的值域为， 所以， 因为，， 所以，集合与集合P、Q无包含关系. 故选：B. 3. 给定圆O及圆内一点P，设A，B是圆O上的两个动点，满足，则的中点的轨迹为（ ） A. 一个圆 B. 一个椭圆 C. 一段双曲线 D. 一段抛物线 【答案】A 【解析】 【详解】如图，设点P关于线段的中点M的对称点为Q，连结． 根据题意，四边形为矩形， 由矩形的性质可得， 故 进而点M的轨迹为圆， 故选：A 4. 已知四面体ABCD的三组对棱的长分别相等，依次为3，4，x，则x的取值范围是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，设，，四面体可以由和在同一平面的△沿着为轴旋转构成，利用数形结合能求出的取值范围． 【详解】解：如图所示， 第一排 三个图讨论最短；第二排 三个图讨论最长， 设，，四面体可以由和在同一平面的△沿着为轴旋转构成， 第一排，三个图讨论最短： 当向趋近时，逐渐减少，，可以构成的四面体； 当时构成的四面体，不满足题意； 所以满足题意的四面体第三对棱长大于， 第二排，三个图讨论最长： 当向趋近时，逐渐增大，，可以构成的四面体； 当时构成的四面体，不满足题意； 所以满足题意的四面体第三对棱长小于； 综上，，． 故选B． 【点睛】本题考查了四面体中边长的取值范围问题，也考查了推理论证能力，属于难题． 5. 设，，为实数，，，方程的两个虚根，满足为实数，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，将其代入方程中，得出的值，进而得出，互为共轭复数，代入得出的关系，化简即可. 【详解】设，， 因，是实系数方程的两个虚根， 则 ，则，同理，也符合，则， 若，则方程的一次项系数与常数项均为虚数，故， 即方程的两个虚根互为共轭复数， 故， 因, 故， 则， 故选：B 6. 已知函数的部分图象如图，的对称轴方程为，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的对称轴方程可得的周期，进而求出，再借助函数性质及给定图象求出A值作答. 【详解】由给定的图象知， ，， 即， 因函数图象的对称轴方程为， 则的最小正周期，， 而，显然有， 即，解得，所以. 故选：A 7. 如图，在中，，，的内角平分线交于点，过作于点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的定义来计算向量积，再利用正弦定理的边角关系和已知的边和角来求解，最后计算可得结果. 【详解】 由， 在中，由正弦定理得：， 又由的内角平分线交于点，可知， 所以， 在中，有， 所以有， 故选：A. 8. 已知，是椭圆：短轴的两个端点，点为坐标原点，点是椭圆上不同于，的动点，若直线，分别与直线交于点，，则面积的最小值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出点坐标，由直线的方程以及，求得两点的坐标，由此求得的表达式，求得的最小值，进而求得面积的最小值. 【详解】设，则，即.依题意.则直线的方程分别为，令，得.则.而，表示点和点之间连线的斜率的倒数.设过的直线与椭圆相切，由消去并化简得，判别式，.所以，所以，所以.也即的最小值为，所以三角形面积的最小值为. 故选：D 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查直线方程，考查三角形面积最值的计算，考查直线与椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得2分，选错得0分． 9. 设的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，S和R分别为的面积和外接圆半径．若，则选项中能使有两解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知条件，结合正弦定理以及三角形面积公式，三角形中“大边对大角”的性质，结合选项即可逐一求解. 【详解】对于A，由， ，由于 且，因此有两个解； 对于B，由， 则由正弦定理得，且，因此只能是锐角，故只有一组解； 对于C，由，得，故只有一解； 对于D，由得，所以或 ，由于，所以，由选项A可知有两解. 故选：AD 10. 如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2），则（ ） A. 若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满 B. 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 C. 将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P D. 任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，设图1中水的高度为，几何体的高为，底面正方形的边长为，利用水的体积，得出与的关系，从而结合选项即可逐一判断． 【详解】设图1中水的高度，几何体的高为，底面正方形的边长为； 则图2中水的体积为，即，解得， 所以正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半是错误的，即B错误． 对于A，往容器内再注入升水，水面将升高，则，容器恰好能装满，A正确； 对于C，当容器侧面水平放置时，点在长方体中截面上，占容器内空间的一半， 所以水面也恰好经过点，C正确； 对于D中，如图所示，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时， 因为四棱锥的高为，几何体的高度为，设正四棱柱的底面边长为， 可得，由，可得，可得， 所以的体积为， 可得水的体积为，此时，矛盾，所以D不正确. 故选：AC． 11. 已知函数（）有两个零点，分别记为，（）；对于，存在使，则（ ） A. 在上单调递增 B. （其中是自然对数的底数） C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值、最值，以及利用导数证明不等式，对以上各项逐一判断，即可求得本题答案. 【详解】∵由，得：，∴在单调递增，∴A错误； ∵有两个零点，即方程有两个根，令则 令，解得，令，解得 可得在上递增，在上单调递减，∴在处取得极大值，∴，，∴B正确； 由上可得：，又结合的单调性， ，∴，，∴，∴C正确； 由已知，有，而 ∴ 令，则，设， 则，当时，恒成立，所以在单调递增， ∴，∴，∵，∴ ∴，∴，∴， 又在单调递增，∴，即，∴D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】通过两次赋值将替换成和将替换成，构造方程组求解即可； 【详解】由，① 将替换成，可得：，② 再将①中替换成：，可得：，③ ①②相减可得：，④ ③④相加可得：， 所以， 故答案为： 13. 已知，，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意利用和差角公式将其变形为，整理可得，再利用基本不等式计算可得. 【详解】解：，， ，，， ， 即， ，即， 所以， 当且，即，等号成立，取得最大值． 故答案为： 14. 若实数，和等比数列满足，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用分类讨论思想，利用等比数列通项公式，结合对应相等的所有可能性，可列方程组求解，再求取值范围即可. 【详解】设等比数列的公比为，由已知得： 当时， ，这时集合中有相同元素，显然不合题意； 当时， ，这时由两集合相等可得， 或；此时或， 即， 当时，，所以两集合相等可能情形有： ①，化简得：，解得与相矛盾； ②，化简得：，解得，此时， 易根据基本不等式，由于取不到等号，可知或； ③，化简得：，解得，与相矛盾；； ④，化简得：，解得或，与相矛盾； 综合上述: 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键点是针对公比为的等比数列先讨论，可分析出的取值范围，再利用公比不为，则，这样对应相等的可能性就缩小为四种情形，然后逐一列举求解方程组即可得到答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两人进行射击比赛，每回射击胜者得1分，且每回射击中甲胜的概率为，乙胜的概率为（），比赛进行到有一人比另一人多2分时结束，多2分者最终获胜． （1）试求甲、乙最终获胜的概率； （2）比赛是否有可能无限地一直进行下去？ 【答案】（1）， （2）比赛不会无限地一直进行下去 【解析】 【分析】（1）由前两回的比赛结果，利用全概率公式分别求甲、乙最终获胜的概率； （2）由甲、乙最终获胜的概率之和，判断有无其它比赛结果. 【小问1详解】 设{甲最终获胜}，{乙最终获胜}． 以记“在第一、二回射击中甲均获胜”，则； 以记“在第一、二回射击中乙均获胜”，则； 以记“在第一、二回射击中甲、乙各获胜一次”，即第三回相当于比赛重新开始， 所以，此情况下甲获胜的概率即为，则． 显然，，． 由全概率公式，得，解得． 同理有，解得． 【小问2详解】 因为，所以由概率之和为1， 相信：或甲最终获胜，或乙最终获胜，比赛不会无限地一直进行下去． 16. 如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，. （1）证明：平面； （2）若点Q是线段的中点，M是直线上的一点，N是直线上的一点，是否存在点M，N使得?请说明理由. 【答案】（1）如图，取的中点O，因为，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以，又，平面，平面，， 所以平面. （2）不存在，理由如下： 因为，O为的中点，，所以， 过点O作交于点E，则由平面,平面,可得， 则以O为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设与，都重直的向量为， 则得 令，则， 设直线与直线的距离为d， 则， 则不存在点M和N使得. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，根据线面垂直的判定即可求解 （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线的距离，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知 分别为 三个内角 的对边， 且 ， （1）求 ； （2）若 ， 求 的取值范围； （3）若 为 的外接圆， 若 分别切 于点 ， 求 的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题目条件可证得,可得为直角三角形，可求出. （2）由数量积的定义可求得，设，则，令，则，判断出的单调性，即可得出答案. （3）用分别表示出，结合均值不等式即可求出答案. 【小问1详解】 因为，则， 所以，则，所以为直角三角形， 所以. 【小问2详解】 ， 所以，而， 所以设， 所以， 令， 又因为 所以，所以， 令，因为在上单调递增， 所以在上单调递减，所以. 所以 的取值范围为 【小问3详解】 的外接圆的半径为，，设， 则，其中， 所以， 而， ， 当且仅当取等. 所以 的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查向量相关的取值范围问题，考查面较广，涉及了基本不等式、函数值域、正弦定理、三角函数等，需要对知识掌握熟练且灵活运用.考查学生的运算能力和逻辑推理能力，属于难题. 18. 在直角坐标系中，抛物线，点P是直线上任意一点，过点P作C的两条切线，切点分别为A、B，取线段AB的中点M，连接PM交C于点N． （1）求证：直线AB过定点，且求出定点的坐标； （2）求的值； （3）当P在直线上运动时，求的面积的最小值，并求出此时P的坐标． 【答案】（1） 设，，． 因为直线与抛物线相切，，所以， 所以直线PA的方程可表示为． 因为点P在PA上，所以，化简得． 同理可得，B点的坐标满足． 所以，直线AB的方程为，变形为， 所以直线AB过定点． （2） （3）的最小值为4，此时的坐标为 【解析】 【分析】（1）设出，，，求出导函数，得到， 写出直线PA的方程与PB的方程，从而得到直线AB的方程，得到直线AB所过定点； （2）将直线AB的方程与C的方程联立，求出点M，N的坐标，根据求出答案； （3）由弦长公式求出，进而求出点P到AB的距离，求出三角形面积表达式，根据函数性质即可解出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由直线AB的方程与C的方程联立得， 所以， 点M的横坐标为， 所以，，所以． 【小问3详解】 由（2）得：直线AB的方程与联立得：， 所以， 直线的斜率为， 由弦长公式得， 点P到AB的距离， 所以， 所以当时，取得最小值4，此时P（2，0）． 【点睛】抛物线相关的切线方程问题，通常结合导函数，利用导函数的几何意义求出切线方程，再利用题目信息进行相关的求解. 19. 设是等比数列，，，，的各项和，其中，，． （Ⅰ）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且； （Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较 与的大小，并加以证明． 【答案】（Ⅰ），则 所以在内至少存在一个零点． 又，故在内单调递增， 所以在内有且仅有一个零点． 因为是的零点，所以，即，故． （Ⅱ）解法一：由题设， 设 当时， 当时， 若， 若， 所以在上递增，在上递减， 所以，即． 综上所述，当时, ；当时 解法二 由题设， 当时, 当时, 用数学归纳法可以证明． 当时, 所以成立． 假设时，不等式成立，即． 那么，当时， ． 又 令，则 所以当,,在上递减； 当,,在上递增． 所以，从而 故．即，不等式也成立． 所以，对于一切的整数，都有． 解法三:由已知，记等差数列为 ,等比数列为,则，， 所以, 令 当时, ,所以． 当时, 而，所以，． 若，，， 当，，， 从而在上递减，在上递增．所以， 所以当又，，故 综上所述，当时，；当时． 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）先利用零点定理可证在内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证在内有且仅有一个零点，进而利用是的零点可证；（Ⅱ）先设，再对的取值范围进行讨论来判断与的大小，进而可得和的大小． 试题解析：（Ⅰ）略 （Ⅱ）略 考点：1、等比数列的前项和公式；2、零点定理；3、等差数列的前项和公式；4、利用导数研究函数的单调性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 辽东十一所重点高中联合教研体2025届高三教学质量监测 数学试卷 本试卷共19题，全卷满分150分．考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，16，14，12，这组数据的下四分位数为（ ） A. 13 B. 13.5 C. 15 D. 15.5 2. 给定集合，集合，集合，则下列说法正确的是（ ）. A. B. C. D. 3. 给定圆O及圆内一点P，设A，B是圆O上的两个动点，满足，则的中点的轨迹为（ ） A. 一个圆 B. 一个椭圆 C. 一段双曲线 D. 一段抛物线 4. 已知四面体ABCD的三组对棱的长分别相等，依次为3，4，x，则x的取值范围是　　 A. B. C. D. 5. 设，，为实数，，，方程的两个虚根，满足为实数，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图，的对称轴方程为，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 7. 如图，在中，，，的内角平分线交于点，过作于点，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是椭圆：短轴的两个端点，点为坐标原点，点是椭圆上不同于，的动点，若直线，分别与直线交于点，，则面积的最小值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得2分，选错得0分． 9. 设的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，S和R分别为的面积和外接圆半径．若，则选项中能使有两解的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2），则（ ） A. 若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满 B. 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 C. 将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P D. 任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P 11. 已知函数（）有两个零点，分别记为，（）；对于，存在使，则（ ） A. 在上单调递增 B. （其中是自然对数的底数） C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，则______. 13. 已知，，则的最大值为________. 14. 若实数，和等比数列满足，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两人进行射击比赛，每回射击胜者得1分，且每回射击中甲胜的概率为，乙胜的概率为（），比赛进行到有一人比另一人多2分时结束，多2分者最终获胜． （1）试求甲、乙最终获胜的概率； （2）比赛是否有可能无限地一直进行下去？ 16. 如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，. （1）证明：平面； （2）若点Q是线段的中点，M是直线上的一点，N是直线上的一点，是否存在点M，N使得?请说明理由. 17. 已知 分别为 三个内角 的对边， 且 ， （1）求 ； （2）若 ， 求 的取值范围； （3）若 为 的外接圆， 若 分别切 于点 ， 求 的最小值. 18. 在直角坐标系中，抛物线，点P是直线上任意一点，过点P作C的两条切线，切点分别为A、B，取线段AB的中点M，连接PM交C于点N． （1）求证：直线AB过定点，且求出定点的坐标； （2）求的值； （3）当P在直线上运动时，求的面积的最小值，并求出此时P的坐标． 19. 设是等比数列，，，，的各项和，其中，，． （Ⅰ）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且； （Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较 与的大小，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $