精品解析：河南省南阳市内乡县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024年秋期期终八年级数学巩固与练习 （满分：120分时间：100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 4的平方根是2 B. 的立方根是 C. 40的算术平方根是20 D. 正数有两个立方根 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是（ ） A. 用反证法证明“”时，应假设 B. “同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题 C. 带根号的数一定是无理数 D. 多项式与的公因式为 4. 给出下列命题：①两直线平行，同旁内角互补；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；③相等的角是内错角；④有一个角是的三角形是等边三角形．其中是假命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ） A. B. -3 C. 0 D. 3 6. 随着时代进步，现代化信息技术与传统教学方式深度融合．学校为了解学生对现代化教学方式的喜爱程度，随机抽取200名学生根据以下四个步骤完成统计调查：①从扇形统计图中分析出学生对现代化教学方式的喜爱程度；②随机抽取200名学生，发放调查问卷，利用问卷收集数据；③根据频数分布表绘制扇形统计图；④整理收集的数据并绘制频数分布表．这四个步骤合理的排序为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是小明同学家2020年和2021年的家庭支出，已知2020年的总支出为3万元，2021年的总支出为2万元，根据统计图，小明家这两年支出中最多的项目是（ ） A. 衣食 B. 教育 C. 娱乐 D. 无法确定 8. 有4组小棒，长度分别为：①25、20、15；②1、2、；③40、9、40；④5、12、13（单位：cm），小颖分别用各组中的三根小棒首尾相接搭成三角形，其中恰好能搭成直角三角形的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 9. 如图，中，，，是的角平分线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知，点D、E分别在、上且，连接交于点M，连接，过点A分别作，垂足分别为F、G，下列结论：①；②；③平分；④如果，则E是的中点；其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 下列各数中：、、、0、中，最小的数是___________． 12. 若，那么多项式的值是______． 13. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，的面积是30，则的长为_______． 14. 《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为______尺．（1丈＝10尺） 15. 某生物实验小组对某款提升果树挂果量的药剂药效进行实验，在A、B两块试验田中分别种植5株同种果树，在果树开花时，A试验田不喷洒该药剂，B试验田喷洒药剂，保证其他因素相同的情况下持续观察．一段时候后记录每株果树的果量，整理数据如下： 试验田 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数 A 38 40 36 34 32 36 B 53 55 50 49 48 51 通过数据分析，该款药剂对提升果树的挂果量______（填“有效”或“无效”）． 三、解答题 16. 分解因式： （1） （2） （3） （4） 17. 先化简，再求值： （1），其中． （2）其中，． 18. 如图，与相交于点E，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 19. 旅游业是部分地区的产业支柱，下图为2011－2021中国旅游业市场规模统计图 （1）下列结论正确的是__________． ①2011－2019时间段，旅游总收入与总人数都呈上升趋势； ②2019－2021时间段，因疫情原因旅游总人数与总收入直线下滑并无好转现象； ③2017－2018时间段，旅游总人数在2011－2021所有年份中上升最多； ④2018－2019时间段，旅游总收入在2011－2021所有年份中上升最多； （2）根据统计图，再写出两个不同类型的结论． 20. 用直尺和圆规作图（不写做法，只保留作图痕迹）： （1）在线段AB上找一点P，使点P到BC，AC所在直线的距离相等； （2）在线段AC上找一点Q，使点Q到点B，C的距离相等． 21. 【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容． 把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状， 使点、、在同一条直线上， 利用此图的面积表示式证明勾股定理． （1）请结合图，写出完整的证明过程； （2）如图，在等腰直角三角形中，，，是射线上一点，以为直角边在边的右侧作，使，．过点，作于点，当时，则___________． 22. 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： ①如图，在中，若，则有； ②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得，即知．若把①中的替换为，还能推出吗？ 基于此，社团成员小军进行了探索研究，发现确实能推出，并提供了以下证明方法： 证明：分别延长，至E，F两点，使得…… 【问题解决】 （1）完成①的证明； （2）把②中小军的证明过程补充完整． 23. （1）如图1，等腰中，，和分别是、边上的高，与交于点F，若． ①写出图1中所有的全等三角形_______； ②直接写出的度数为________； （2）如图2，、是的高，，，求证：； （3）如图3，等腰直角，，平分，平分，M、N分别是射线、上动点，若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期期终八年级数学巩固与练习 （满分：120分时间：100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 4的平方根是2 B. 的立方根是 C. 40的算术平方根是20 D. 正数有两个立方根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，根据平方根、立方根、算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．4的平方根是，原说法错误； B．的立方根是，原说法正确； C．40的算术平方根是，原说法错误； D．正数只有一个立方根，原说法错误； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除．需逐一验证各选项是否符合对应法则． 【详解】解：选项A：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ，故A错误． 选项B：幂的乘方，底数不变，指数相乘，，故B正确． 选项C：，故C错误． 选项D：同底数幂相除，底数不变，指数相减，，故D错误． 故选：B． 3. 下列说法错误的是（ ） A. 用反证法证明“”时，应假设 B. “同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题 C. 带根号的数一定是无理数 D. 多项式与的公因式为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了逆命题和真命题，反证法，平行线的判定与性质，无理数，因式分解．根据反证法，平行线的判定与性质，无理数的定义，因式分解以及逆命题和真命题的定义求解即可． 【详解】解：A．用反证法证明“”时，应假设，原说法正确，不符合题意； B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，原说法正确，不符合题意； C．带根号的数不一定是无理数，如是有理数，原说法错误，符合题意； D．多项式与的公因式为，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 4. 给出下列命题：①两直线平行，同旁内角互补；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；③相等的角是内错角；④有一个角是的三角形是等边三角形．其中是假命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的判断、平行线的性质和判定以及等边三角形的判定等知识，分别根据平行线的性质和判定、内错角的定义和等边三角形的判定方法逐项判断即可得出答案． 【详解】解：：①两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题； ③相等的角是内错角，是假命题； ④有一个角是的三角形是等边三角形，是假命题． 故选：B． 5. 若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ） A. B. -3 C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式中不含有某一项的问题， 根据多项式乘以多项式法则计算，再整理，然后根据不含有一次项得出关于m的方程，求出解即可． 【详解】根据题意，得． ∵与的乘积中不含有x的一次项， ∴， 解得． 故选：A． 6. 随着时代进步，现代化信息技术与传统教学方式深度融合．学校为了解学生对现代化教学方式的喜爱程度，随机抽取200名学生根据以下四个步骤完成统计调查：①从扇形统计图中分析出学生对现代化教学方式的喜爱程度；②随机抽取200名学生，发放调查问卷，利用问卷收集数据；③根据频数分布表绘制扇形统计图；④整理收集的数据并绘制频数分布表．这四个步骤合理的排序为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了调查收集数据的过程与方法，解决本题的关键是明确数据的收集调查的6个步骤：明确调查问题，确定调查对象，选择调查方法，展开调查，记录结果，得出结论．根据数据的收集调查的步骤，即可解答． 【详解】解：正确的统计步骤的顺序是： ②随机抽取200名学生，发放调查问卷，利用问卷收集数据；④整理收集的数据并绘制频数分布表；③根据频数分布表绘制扇形统计图；①从扇形统计图中分析出学生对现代化教学方式的喜爱程度； 这四个步骤合理的排序为： 故选：D 7. 如图，是小明同学家2020年和2021年的家庭支出，已知2020年的总支出为3万元，2021年的总支出为2万元，根据统计图，小明家这两年支出中最多的项目是（ ） A. 衣食 B. 教育 C. 娱乐 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．根据扇形统计图分别求出小明家2020年和2021年各项支出情况，即可求解． 【详解】解：根据统计图， 小明家这两年衣食支出为：（万元）； 小明家这两年教育支出为：（万元）； 小明家这两年娱乐支出为：（万元）； 小明家这两年其他支出为：（万元）； ， 小明家这两年支出中最多的项目是教育支出， 故选：B． 8. 有4组小棒，长度分别为：①25、20、15；②1、2、；③40、9、40；④5、12、13（单位：cm），小颖分别用各组中的三根小棒首尾相接搭成三角形，其中恰好能搭成直角三角形的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握三角形较短两边的平方和等于最长边的平方，则此三角形是直角三角形．根据勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】解：①，能搭成直角三角形； ②，能搭成直角三角形； ③，不能搭成直角三角形； ④，能搭成直角三角形； 故选：C． 9. 如图，中，，，是的角平分线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称图形的性质，垂线段最短等知识，首先根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，过点作交于点，由轴对称图形的性质及“垂线段最短”的性质可得的最小值为的长，即可获得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴，， ∴点关于对称， 过点作交于点，连接，如图， ∴， 根据是上的动点，是边上的动点，要使取最小值，只需满足三点共线，由轴对称图形的性质及在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，可得的最小值即为的长， ∵的面积为， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：． 10. 如图，已知，点D、E分别在、上且，连接交于点M，连接，过点A分别作，垂足分别为F、G，下列结论：①；②；③平分；④如果，则E是的中点；其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理和性质，角平分线的性质定理的逆定理，三角形的面积公式，四边形的内角和定理，补角的定义等逐一判断即可． 【详解】∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE，BE=CD， ∴∠EBM=∠DCM， ∵∠BME=∠CMD， ∴△BME≌△CMD， ∴结论①正确； ∵， ∴∠FAG+∠FMG=180°， ∵∠EMB+∠FMG=180°， ∴∠FAG=∠EMB， ∴结论②正确； ∵△BME≌△CMD， ∴∠BEM=∠CDM， ∴∠AEF=∠ADG， ∵，AE=AD， ∴△AEF≌△ADG， ∴AF=AG， ∴MA平分∠EMD， ∴结论③正确； ∵△BME≌△CMD， ∴∠BEM=∠CDM，EM=DM， ∴∠AEM=∠ADM， ∵AE=AD， ∴△AEM≌△ADM， ∴， ∵， ∴， ∴E是AB的中点， ∴结论④正确； 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角的平分线的性质定理的逆定理，邻角，四边形的内角和定理，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 下列各数中：、、、0、中，最小的数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的比较大小，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键．根据“正数负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又，， ∴下列各数中：、、、0、中，最小的数是， 故答案为：． 12. 若，那么多项式的值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 13. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，的面积是30，则的长为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，过点作，三角形的面积公式求出的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到，即可． 【详解】解：过点作，则：， ∵， ∴， 由作图可知：平分， 又∵，， ∴； 故答案为：3． 14. 《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为______尺．（1丈＝10尺） 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：1丈尺 设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得： ， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 故答案为：13． 15. 某生物实验小组对某款提升果树挂果量的药剂药效进行实验，在A、B两块试验田中分别种植5株同种果树，在果树开花时，A试验田不喷洒该药剂，B试验田喷洒药剂，保证其他因素相同的情况下持续观察．一段时候后记录每株果树的果量，整理数据如下： 试验田 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数 A 38 40 36 34 32 36 B 53 55 50 49 48 51 通过数据分析，该款药剂对提升果树的挂果量______（填“有效”或“无效”）． 【答案】有效 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表，根据所给的数据进行分析，比较挂果量得出答案． 【详解】解：通过对比，B试验田喷洒药剂后的挂果量比A试验田的挂果量高，则该款药剂对提升果树的挂果量有效． 故答案为：有效． 三、解答题 16. 分解因式： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是： （1）直接提取公因式x即可； （2）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可； （3）原式先化简，然后根据根据完全平方公式进行因式分解即可； （4）第一个括号先提取公因式a，然后两个括号间提取公因式即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值： （1），其中． （2）其中，． 【答案】（1）， （2），40 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式乘以多项式法则和合并同类项法则化简，然后把a的值代入计算即可； （2）先根据完全平方公式和合并同类项法则化简，然后把a，b的值代入计算即可． 【小问1详解】 解： ， 当时，原式； 【小问2详解】 解： ， 当，时，原式． 18. 如图，与相交于点E，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质，得到，再利用“”即可证明； （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ． 19. 旅游业是部分地区的产业支柱，下图为2011－2021中国旅游业市场规模统计图 （1）下列结论正确的是__________． ①2011－2019时间段，旅游总收入与总人数都呈上升趋势； ②2019－2021时间段，因疫情原因旅游总人数与总收入直线下滑并无好转现象； ③2017－2018时间段，旅游总人数在2011－2021所有年份中上升最多； ④2018－2019时间段，旅游总收入在2011－2021所有年份中上升最多； （2）根据统计图，再写出两个不同类型的结论． 【答案】（1）①③ （2） ①2011－2019时间段，旅游总收入与总人数逐年上升越来越快； ②2020旅游总收入与总人数还是比2011多． 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图与折线统计图，熟练掌握两种统计图的特点，是解决问题的关键． （1）根据2011－2021时间段，旅游总收入与总人数都上升趋势，上升最多时间段，下滑好转时间段，逐一判断； （2）根据2011－2019时间段，旅游总收入与总人数上升越来越快；2020旅游总收入与总人数高于2011，回答（答案不唯一）． 【小问1详解】 ①由2011－2019时间段，旅游总收入与总人数都呈上升趋势；正确； ②2019－2020时间段，因疫情原因旅游总人数与总收入直线下滑，2021现象好转，不正确； ③旅游总人数上升数： 2016：（亿人次）； 2017：（亿人次）； 2018：（亿人次）； 2019：（亿人次）； ∴2017－2018时间段，旅游总人数在2011－2021所有年份中上升最多，正确； ④应为2016－2019时间段，旅游总收入在2011－2021所有年份中上升最多，不正确． 正确的是①③． 故答案为：①③． 【小问2详解】 略 20. 用直尺和圆规作图（不写做法，只保留作图痕迹）： （1）在线段AB上找一点P，使点P到BC，AC所在直线的距离相等； （2）在线段AC上找一点Q，使点Q到点B，C的距离相等． 【答案】（1）如图所示：作∠BAC的角平分线交BC于P,P即为所求； （2）如图所示：作BC的垂直平分线交AC于Q,Q即为所求． 【解析】 【详解】试题分析：（1）作∠BAC的角平分线.角平分线上的点到角两边的距离相等. (2)作线段BC的垂直平分线，垂直平分线上的点，到端点的距离相等． 试题解析：略 21. 【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容． 把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状， 使点、、在同一条直线上， 利用此图的面积表示式证明勾股定理． （1）请结合图，写出完整的证明过程； （2）如图，在等腰直角三角形中，，，是射线上一点，以为直角边在边的右侧作，使，．过点，作于点，当时，则___________． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴=， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）先证是等腰直角三角形，由面积和差关系可得结论； （2）由等腰直角三角形的性质可求，证明，可得，，再利用勾股定理可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图②，过点A作于H， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，而， ∴，， ∴， ∴BD=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质与判定，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 22. 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： ①如图，在中，若，则有； ②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得，即知．若把①中的替换为，还能推出吗？ 基于此，社团成员小军进行了探索研究，发现确实能推出，并提供了以下证明方法： 证明：分别延长，至E，F两点，使得…… 【问题解决】 （1）完成①的证明； （2）把②中小军的证明过程补充完整． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ， ． （2） 解：小军的证明过程： 分别延长至两点，使得，如图所示， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题是一道三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据，可以得到，然后根据可以证明，从而可以得到结论成立； （2）根据小军的证明过程可知：分别延长至两点，使得，然后作出辅助线，再根据全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质，可以证明结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. （1）如图1，等腰中，，和分别是、边上的高，与交于点F，若． ①写出图1中所有的全等三角形_______； ②直接写出的度数为________； （2）如图2，、是的高，，，求证：； （3）如图3，等腰直角，，平分，平分，M、N分别是射线、上动点，若，求的最小值． 【答案】（1）①，；②； （2）证明：如图，延长，交于点， ∵，， ∴， ∵，且， ∴，则， ∵，则 ∴， ∴，则，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，则， （3）8 【解析】 【分析】（1）①根据等腰三角形三线合一可知，则，可证，再结合直角三角形两锐角互余可证，进而可证，即可得结论； ②根据，，得，易知，即可求解； （2）延长，交于点，根据，求得，进而证得，再证，，可得结论； （3）如图，在上截取，连接，，先证，得，则，当时，取得最小值，此时有最小值，如图，当时，延长，交于点，则，再证，得，再证，可证得，由，即：，求得当时，，即可求解． 【详解】解：（1）①∵，，则， ∴，则， 在与中， ， ∴， ∵， ∴， ∵，则， ∴， 又∵，， ∴， 在与中， ， ∴， 故答案为：，； ②由①可知，，， ∴， ∴，即， 故答案为：； （2）略 ∴； （3）如图，在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 则，当时，取得最小值，此时有最小值， 如图，当时，延长，交于点，则， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵平分， ∴，则， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，则， ∴， ∵，即：， ∴当时，，即的最小值为8， ∴的最小值为8． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余，垂线段最短，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $