精品解析：黑龙江省哈尔滨市旭东中学校2024-2025学年 九年级下学期开学考试数学试卷

九年级数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ） A. a B. b C. c D. d 2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 年月日亚冬会在黑龙江省哈尔滨市举办．此图是为领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ）． A. B. C. D. 5. 分式方程的解是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 7. 用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A. 20 B. 21 C. 23 D. 26 8. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ） A. 8 B. 16 C. 12 D. 24 9. 如图，在中，对角线相交于点O，点E为线段上一点，过点E作交于点F，则下列关系不一定成立的（ ）． A. B. C. D. 10. 今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 小星家离黄果树景点的路程为 B. 小星从家出发第1小时的平均速度为 C. 小星从家出发2小时离景点的路程为 D. 小星从家到黄果树景点的时间共用了 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是___________． 12. 分解因式：＝________________． 13. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率与弦长成反比例关系，即（为常数．），若某乐器的弦长为米，振动频率为赫兹，则的值为______． 14. 不等式组的解集是______． 15. 重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从、、三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点的概率为_____． 16. 如图，切于点，连接交于点，交于点，连接，若，则的度数为______． 17. 定义运算：，例如，则函数的最小值为______． 18. 若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是________． 19. 在矩形中，，，点在直线上，且，则点到矩形对角线所在直线的距离是______． 三、解答题（共60分） 20. 先化简，再求代数式：的值，其中 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于轴对称的； （2）画出绕点顺时针旋转后的； （3）在（2）的条件下，求线段扫过的面积（结果保留）． 22. 某校为了解学生寒假期间参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查，家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的学生人数一共为多少人； （2）通过计算补全条形统计图； （3）若该校有学生人，请估计该校寒假期间参与家务劳动的项目数量达到项及以上的学生人数． 23. .已知：在矩形中，是对角线，于点，于点； （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，连接.，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形面积的. 24. 旭东中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买副围棋和副中国象棋需用元；若购买副围棋和副中国象棋需用元． （1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元 （2）旭东中学决定购买围棋和中国象棋共副，总费用不超过元，那么旭东中学最多可以购买多少副围棋？ 25. 在中，弦与弦交于点，连接，，，． （1）如图，求证：； （2）如图，连接并延长交于点，点为上一点，作的平分线交弧于点，连接，若，求证：； （3）如图，连接交于点，连接，若，，求的长． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴分别交于，两点，交轴于点C，直线经过点，且与二次函数的对称轴交于点，． （1）求抛物线解析式； （2）如图2，点为第四象限内抛物线上一动点，连接，，若点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，如图3，过点作轴的平行线，交直线于点，点为第四象限内一点，连接，，，将线段绕点D逆时针旋转至（点的对应点为点），旋转角为，连接并延长交于点，若，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ） A. a B. b C. c D. d 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小．根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断． 【详解】解：由数轴知，， 则最小的实数为a， 故选：A． 2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A 、B、D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 3. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 年月日亚冬会在黑龙江省哈尔滨市举办．此图是为领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，解题的关键是数形结合．根据从正面看到的即为主视图，即可求解． 【详解】解：此领奖台的主视图是， 故选：A． 5. 分式方程的解是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．先去分母化分式方程为整式方程，求出方程的解后再检验即可． 【详解】解：， 去分母，得， 解得， 当时，， ∴是原方程的解． 故选D 6. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 7. 用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A. 20 B. 21 C. 23 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．利用规律求解．通过观察图形找到相应的规律，进行求解即可． 【详解】解：第①个图案中有个菱形， 第②个图案中有个菱形， 第③个图案中有个菱形， 第④个图案中有个菱形， ∴第个图案中有个菱形， ∴第⑧个图案中菱形的个数为， 故选：C． 8. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ） A. 8 B. 16 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知平分，则可求，利用含的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，进而得出，然后利用面积公式即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， 由作图知：平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又的面积为8， ∴的面积是， 故选B． 9. 如图，在中，对角线相交于点O，点E为线段上一点，过点E作交于点F，则下列关系不一定成立的（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，由，得到，可判断A选项不符合题意，D选项符合题意；证明，可判断BC选项不符合题意，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，即，故A选项不符合题意，D选项符合题意； ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，故BC选项不符合题意， 故选：D． 10. 今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 小星家离黄果树景点的路程为 B. 小星从家出发第1小时的平均速度为 C. 小星从家出发2小时离景点的路程为 D. 小星从家到黄果树景点的时间共用了 【答案】D 【解析】 【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合图象提供信息逐项判断即可． 【详解】解：时，，因此小星家离黄果树景点的路程为，故A选项错误，不合题意； 时，，因此小星从家出发第1小时的平均速度为，故B选项错误，不合题意； 时，，因此小星从家出发2小时离景点的路程为，故C选项错误，不合题意； 小明离家1小时后的行驶速度为，从家出发2小时离景点的路程为，还需要行驶1小时，因此小星从家到黄果树景点的时间共用了，故D选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查从函数图象获取信息，解题的关键是理解题意，看懂所给一次函数的图象． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、函数的自变量，熟练掌握分式的分母不等于0是解题关键．根据分式的分母不等于0求解即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 所以在函数中，自变量的取值范围是， 故答案为：． 12. 分解因式：＝________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式再利用公式法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率与弦长成反比例关系，即（为常数．），若某乐器的弦长为米，振动频率为赫兹，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把，代入求解即可． 【详解】解：把，代入，得， 解得：， 故答案为：． 14. 不等式组的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集是， 故答案为：． 15. 重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从、、三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握画树状图法或列表法求概率是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知，共有种等可能的情况，其中甲、乙两人同时选择景点的情况有种， ∴甲、乙两人同时选择景点的概率为， 故答案为：． 16. 如图，切于点，连接交于点，交于点，连接，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质等知识，掌握知识点应用是解题的关键． 连接，由切线的性质得，再根据平行线的性质得出，则，最后由直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 定义运算：，例如，则函数的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：， ， 即， 当时，函数有最小值，最小值为， 故答案为：． 18. 若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．设半径为，根据弧长公式得出，计算即可得到答案． 【详解】解：设半径为， 根据题意得， ∴， 故答案为：． 19. 在矩形中，，，点在直线上，且，则点到矩形对角线所在直线的距离是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，设交于点，点在线段上，在的延长线上，过点作，的垂线，垂足分别为，进而分别求得垂线段的长度，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴ ∴，， 如图所示，设交于点，点在线段上，在的延长线上，过点作，的垂线，垂足分别为 ∵ ∴ 当在线段上时， ∴ 在中， ∵ 在中，； 当E在射线上时， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴， 在中， 综上所述，点到对角线所在直线的距离为：或或 故答案为：或或． 三、解答题（共60分） 20. 先化简，再求代数式：的值，其中 【答案】， 【解析】 【分析】先化简代数式，再根据三角函数值求出a的值，最后代入算出即可. 【详解】解：原式 ， ， 把代入上式， 原式 . 【点睛】本题是对分式化简求值的考查，熟练掌握分式的化简求值和三角函数值是解决本题的关键. 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于轴对称的； （2）画出绕点顺时针旋转后的； （3）在（2）的条件下，求线段扫过的面积（结果保留）． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求． （2） 解：如图所示，即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数找出A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可 （2）根据所给的旋转方式找出A、B对应点的位置，然后顺次连接即可； （3）线段扫过的面积，即为扇形的面积，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题可知，， ∴． ∴线段扫过的面积为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转和轴对称，求图形扫过的面积，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 22. 某校为了解学生寒假期间参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查，家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的学生人数一共为多少人； （2）通过计算补全条形统计图； （3）若该校有学生人，请估计该校寒假期间参与家务劳动的项目数量达到项及以上的学生人数． 【答案】（1）人 （2） 补全条形统计图如下： （3）人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，理解题意，结合统计图得出相关信息是解题关键． （1）根据参与项家务劳动的人数及比例即可得出结果； （2）先求出参加项家务劳动的学生人数，然后补全统计图即可； （3）用总人数乘以参与家务劳动的项目数量达到项及以上的比例即可． 【小问1详解】 解：本次被抽取的学生人数有：（人）； 【小问2详解】 解：家务劳动的项目数量达到项的人数有：（人）， 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校寒假期间参与家务劳动的项目数量达到项及以上的学生人数有人． 23. .已知：在矩形中，是对角线，于点，于点； （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，连接.，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形面积的. 【答案】 （1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ，， ∴， ∵于点，于点， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）的面积的面积的面积的面积矩形面积的． 【解析】 【分析】（1）结合矩形的性质和已知条件可证，根据全等三角形对应边相等即知，此题得证；（2）可利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半确定三角形的面积与矩形的面积之间的等量关系.. 【详解】（1）略 （2）解：的面积的面积的面积的面积矩形面积的． 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴的面积矩形的面积， ∵， ∴的面积矩形的面积； 作于，如图所示： ∵， ∴， ∴的面积矩形的面积， 同理：的面积矩形的面积． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，灵活应用矩形的性质证全等，熟练掌握直角三角形角的性质是解题的关键. 24. 旭东中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买副围棋和副中国象棋需用元；若购买副围棋和副中国象棋需用元． （1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元 （2）旭东中学决定购买围棋和中国象棋共副，总费用不超过元，那么旭东中学最多可以购买多少副围棋？ 【答案】（1）每副围棋元，每副中国象棋元 （2）最多可以购买副围棋 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的实际应用，理解题意，找准题中等量关系是解题的关键． （1）设每副围棋为元，每副中国象棋元，根据题意列方程组即可求解； （2）设可以购买副围棋，根据题意列不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设每副围棋为元，每副中国象棋元， ， 解得：， 答：每副围棋元，每副中国象棋元； 【小问2详解】 设可以购买副围棋， ， 解得：， 答：最多可以购买副围棋． 25. 在中，弦与弦交于点，连接，，，． （1）如图，求证：； （2）如图，连接并延长交于点，点为上一点，作的平分线交弧于点，连接，若，求证：； （3）如图，连接交于点，连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：如图，连接， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ，即， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）证明得，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得，最后根据等角对等边即可得证； （2）如图，连接，根据垂径定理的推论得，继而得到，根据角平分线的定义及已知可得，最后推出，即可得证； （3）如图，连接、，交于点，设的半径为，证明，得，求出，根据直径所对的圆周角是直角，则，证明，得，利用勾股定理得，最后根据垂径定理及勾股定理得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接、，交于点，设的半径为， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查垂径定理及其推论，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定及性质，勾股定理等，角平分线的定义知识点．掌握圆的基本性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴分别交于，两点，交轴于点C，直线经过点，且与二次函数的对称轴交于点，． （1）求抛物线解析式； （2）如图2，点为第四象限内抛物线上一动点，连接，，若点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，如图3，过点作轴的平行线，交直线于点，点为第四象限内一点，连接，，，将线段绕点D逆时针旋转至（点的对应点为点），旋转角为，连接并延长交于点，若，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线解析式得出，根据一次函数解析式可得，根据可得，代入，解方程组求出、的值即可得答案； （2）先求出点，设直线解析式为，，设直线与轴交于点，利用待定系数法用表示出、的值，进而表示出点横坐标，利用三角形面积公式即可得答案； （3）如图，过点作，交延长线于，过点作于，根据二次函数的对称性及旋转的性质得出，，即可证明，得出，根据等腰三角形的性质得出，得出，设，则，，根据可证明是等腰直角三角形，，利用证明，得出，，根据平行线的性质及角的和差关系得出，进而得出，利用可得，可求出，设，利用两点间距离公式可求出的值，根据点与纵坐标相等可求出值，代入（2）中关系式即可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴于点C， ∴当时，， ∴，， ∵直线， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线与x轴分别交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：设直线解析式为，，设直线与轴交于点， ∵点在二次函数的对称轴上，，， ∴点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴当时，，即 ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴点横坐标为， ∴， ∴ ． 【小问3详解】 如图，过点作，交延长线于，过点作于， ∵点在二次函数的对称轴上，，， ∴， ∵将线段绕点D逆时针旋转至，旋转角为， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴，是等腰直角三角形，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，， 设， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， ∵轴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的性质、待定系数法求解析式、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质及特殊角的三角函数，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $