精品解析：河南省安阳市2025届高三第一次模拟考试数学试题

2025届高三年级第一次模拟考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平行四边形的对角线的交点为，则（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙两人玩迷宫游戏，已知迷宫的入口编号为1，出口编号分别为2，3，4，5，6，7，两人从入口进入后，他们离开的出口编号之和为8的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，且，若的周长为20，则的实轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 6. 如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前项和为，且，若，，则（ ） A. 3 B. 6 C. 1015 D. 2030 8. 已知函数，时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义：已知函数在其定义域上的最大值为，最小值为，若，则称是“间距函数”，则下列函数是“间距函数”的有（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 10. 已知椭圆左、右焦点分别为，，点在上，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的面积为2 B. 若，则直线被圆截得的弦长为 C. 若为等腰三角形，则满足条件的点有2个 D. 若为与轴正半轴的交点，为圆的直径（在第一象限），的中点为，（表示斜率），则点的横坐标为 11. 已知直三棱柱的底面为等腰直角三角形，，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱柱的体积为4 B. 以为球心，体积为的球面与侧面的交线的长度为 C. 若，分别为，的中点，点在平面上，则的最小值为 D. 若空间中的一点满足，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正项等比数列满足，且，则公比为______________. 13. 某学校统计了所有在职教师（只有一级教师和高级教师）的工资情况，其中一级教师80人，平均工资为4.5千元，方差为0.04，高级教师20人，平均工资为6.5千元，方差为0.44，则该校所有在职教师工资的方差为______________. 14. 已知函数满足，则实数____________，设为的导函数，则不等式的解集为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，点到直线的距离为，求的周长. 16. 如图，已知正方体的棱长为2，是棱上靠近的四等分点. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表： 性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 男性 48 72 女性 24 56 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？ （2）现从被调查的日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人性别不同的概率. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数. （1）求极值； （2）若当时，，求实数取值范围； （3）设实数，满足，证明：. 19. 设，是抛物线上除顶点以外的两点，过点，分别作的切线，两条切线相交于点. （1）若且，求直线的方程； （2）设，分别为直线，与轴的交点，证明：的外接圆过定点； （3）若的焦点为，点，在的准线上的射影分别为点，，证明：点是的外心.附：抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三年级第一次模拟考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由绝对值不等式解出集合，再由交集的运算可得. 【详解】由， 所以. 故选：C 2. 若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义判断在复平面内，复数所对应的点是半径为2的圆，进而求出其周长. 【详解】设， 由，则， 则在复平面内，复数所对应的点组成的图形为以为圆心，为半径的圆， 故复数所对应的点组成的图形的周长为. 故选：D. 3. 已知平行四边形的对角线的交点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量线性运算计算得解. 【详解】在中，. 故选：C 4. 甲、乙两人玩迷宫游戏，已知迷宫的入口编号为1，出口编号分别为2，3，4，5，6，7，两人从入口进入后，他们离开的出口编号之和为8的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式可求概率. 【详解】甲、乙两人分别从6个出口中选择1个出口有6种不同的选法， 故共有种不同的基本事件， 又他们离开的出口编号之和为8的包含的基本事件有共5个， 所以他们离开的出口编号之和为8的概率为. 故选：B. 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，且，若的周长为20，则的实轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，结合已知的线段比例关系以及的周长，求出的值，进而得到双曲线的实轴长. 【详解】设，因为，所以，. 根据双曲线的定义：平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定值（）的点的轨迹为双曲线. 对于点在双曲线右支上，有，即，可得 ①. 对于点在双曲线右支上，有，则 . 已知的周长为，的周长，而. 所以，即 ②. 将①代入②中，得到，即，解得. 根据双曲线的性质，双曲线的实轴长为. 把代入，可得实轴长为. 故选：C 6. 如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 又点为的重心，所以， 则，， 则， 则， 所以点到直线的距离为. 故选：B 7. 已知数列的前项和为，且，若，，则（ ） A. 3 B. 6 C. 1015 D. 2030 【答案】A 【解析】 【分析】变形得到，故为等差数列，设公差为，证明出为等差数列，根据，得到，从而求出，，结合等差数列性质得到. 【详解】由，变形得到 ，即， 故为等差数列，设公差为，则， 故①，则②， 式子②-①得，则，， 所以为等差数列，则， ，即，解得， 所以， 则，，又， 故. 故选：A 8. 已知函数，时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，根据恒成立，得到，不妨取，画出图象，数形结合，利用对称性得到，求出答案. 【详解】时，， 令，则当时，， 故要想在时满足恒成立， 需满足，不妨取， ，， 画出在上的图象，如下： 由图象可知，，， 则， 故， 两式相加得， 所以. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义：已知函数在其定义域上的最大值为，最小值为，若，则称是“间距函数”，则下列函数是“间距函数”的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用的性质，求出最大值和最小值，即可求解；对于B，利用反比例函数的性质，求出最大值和最小值，即可求解；对于C，令，，利用复合函数的单调性，求出最大值和最小值，即可求解；对于D，令，则，求出在区间上最值，即可求解. 【详解】对于选项A，易知的最大值为，最小值为，则，所以选项A错误， 对于选项B，因为在区间上单调递减， 所以的最大值为，最小值为，则，所以选项B正确， 对于选项C，，令，， 当时，，又在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又在区间上单调递增，所以的最大值为，最小值为， 则，所以选项C正确， 对于选项D，令，因为，则，且， 易知在区间上单调递增，所以在区间的最大值为，最小值为， 则，所以选项D正确， 故选：BCD. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的面积为2 B. 若，则直线被圆截得的弦长为 C. 若为等腰三角形，则满足条件的点有2个 D. 若为与轴正半轴的交点，为圆的直径（在第一象限），的中点为，（表示斜率），则点的横坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设P记 则 ，利用，转化求解三角形的面积，判断A；应用圆的弦长几何法求解判断B；分情况讨论，找出使为等腰三角形的所有点可判断C；设点的坐标再结合斜率公式计算求解得出坐标判断 D. 【详解】对于A，，设点P,记 则 因为 , 所以 解得 , 所以 的面积为 ，故A正确； 对于B，若，则， 所以，所以直线，所以， 又因为，圆心到直线距离， 所以直线被圆截得的弦长为，故B正确； 对于C，由椭圆的性质可知，即. 若是以为顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个； 若是以为顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个； 同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个； 故使得为等腰三角形的点共6个，故C错误； 对于D：设，，因为， 所以，所以点的横坐标为，D选项正确. 故选：ABD. 11. 已知直三棱柱的底面为等腰直角三角形，，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱柱的体积为4 B. 以为球心，体积为的球面与侧面的交线的长度为 C. 若，分别为，的中点，点在平面上，则的最小值为 D. 若空间中的一点满足，则的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用体积公式求得体积可判断A；先求得球的半径，进而可求得点的轨迹形状，可求轨迹长判断B；取关于平面的对称点，连接交于线段的中点，可分别求得与的最小值，进而可判断C；由，可确定点在空间中的轨迹，进而可求得的最小值. 【详解】对于A，由直三棱柱的底面为等腰直角三角形，， 所以，所以，故A正确； 对于B，设体积为的球的半径为，所以，解得， 取中点，由，所以，， 由直三棱柱的性质可得平面， 设为球面与侧面的交线上的任一点，所以， 所以，所以轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又点在侧面内，故体积为的球面与侧面的交线的长度为，故B错误； 对于C，取关于平面的对称点，连接交于线段的中点， 又点在平面上，故点为线段的中点时， 的最小值为， 此时的最小值为， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，点满足， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆绕长轴旋转形成的椭球面，且， 所以， 又，所以在椭圆的短轴所在直线上，又， 所以到椭圆的中心的距离为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：D选项，关键在于确定点的轨迹是以为焦点的椭圆绕长轴旋转形成的椭球面，以及在椭圆的短轴上，从而可求得最小值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正项等比数列满足，且，则公比为______________. 【答案】## 【解析】 【分析】设数列公比为q，然后由等比数列通项公式结合题意可得答案. 【详解】设数列公比为q，因，则. 又，则. 故答案为： 13. 某学校统计了所有在职教师（只有一级教师和高级教师）的工资情况，其中一级教师80人，平均工资为4.5千元，方差为0.04，高级教师20人，平均工资为6.5千元，方差为0.44，则该校所有在职教师工资的方差为______________. 【答案】0.76## 【解析】 【分析】利用分层抽样的平均数和方差公式即可. 【详解】设一级教师的平均工资和方差为、，高级教师的平均工资和方差为、，因一级教师的占比，高级教师的占比， 则全校教师的平均工资为(千元)， 则教师工资的方差为 . 故答案为：0.76 14. 已知函数满足，则实数____________，设为的导函数，则不等式的解集为____________. 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】令即可代入求解,求导，即可代入化简，根据一元二次不等式的求解得空2. 【详解】由可得令，则， 故，解得， 由可得， 故得， 化简可得，解得或， 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，点到直线的距离为，求的周长. 【答案】（1） （2）14. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解. （2）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及三角形面积公式列式求解. 【小问1详解】 在中，，， 则，而，， 解得，则，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得，不妨设，则， 由余弦定理得，解得， 由，得，解得， 所以，即的周长为14. 16. 如图，已知正方体的棱长为2，是棱上靠近的四等分点. （1）求点到平面距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等体积法即可求得结果. （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量之间夹角公式即可求得结果. 【小问1详解】 由正方体的性质可知平面，故是三棱锥的高， 所以四面体的体积为， 由题意知，，， 所以，又， 故点到平面的距离； 【小问2详解】 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则，令，得，故， 设平面的法向量为， 则，令，得，故， 设平面与平面的夹角为， 则. 17. 随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表： 性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 男性 48 72 女性 24 56 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？ （2）现从被调查的日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人性别不同的概率. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）无关； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得列联表，再计算，对比临界值表即可得解； （2）根据题意，求出有且仅有2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 由题意，列联表如下： 性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 合计 男性 48 72 120 女性 24 56 80 合计 72 128 200 零假设为：日均刷“抖音”时间的长短与性别无关， 则， 故依据小概率值的独立性检验，我们推断零假设成立， 即日均刷“抖音”时间的长短与性别无关. 【小问2详解】 由分层随机抽样可知，抽取男性用户2人，女性用户1人. 记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件，“2人性别不同”为事件，则， ， 故 18. 已知函数. （1）求的极值； （2）若当时，，求实数的取值范围； （3）设实数，满足，证明：. 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对求导，再利用极值的定义，即可求解； （2）构造函数，根据条件得当时，恒成立，对分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出在区间上的最小值，即可求解； （3）利用（1）和（2）中结果，在同一直角坐标系中作出，，结合条件，数形结合，即可求解. 【小问1详解】 由题可知，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，没有极小值. 【小问2详解】 设，根据题意，当时，恒成立. 又， 若，则，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，不符合题意， 若，令，得或. 若，则恒成立，所以在上单调递增， 又当时，，不符合题意， 若，则，当时，，所以在上单调递增， 当时，，不符合题意 ， 若，则，当时，， 当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以在上成立， 要使上也成立，只需，即，得， 故的取值范围是. 【小问3详解】 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，且当时，. 又由（2）知当时，，故可作出，在上的大致图象如下， 除了点，的图象都在的图象的下方， 当时，直线与曲线有两个交点，横坐标分别为，， 直线与曲线有两个交点，横坐标分别为和， 由图可知. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在第（3），根据（1）和（2）中结果，在同一坐标系中作出，的图象，将问题转化用图形直观反映. 19. 设，是抛物线上除顶点以外的两点，过点，分别作的切线，两条切线相交于点. （1）若且，求直线的方程； （2）设，分别为直线，与轴的交点，证明：的外接圆过定点； （3）若的焦点为，点，在的准线上的射影分别为点，，证明：点是的外心.附：抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）作图，由对称性得到两条切线斜率，然后由导数求得切点即坐标，然后得到直线的方程； （2）设直线方程和点坐标，由导数得出直线方程，然后得到点坐标，同理求出点坐标.联立直线方程和抛物线方程，得到一元二次方程，由韦达定理得到坐标的参数的关系.联立直线的方程求得点坐标.由三点坐标求得三角形外接圆圆心和半径，从而得到三角形外接圆的方程，然后得到定点； （3）作图，由抛物线的光学性质得到角相等，再由抛物线的性质得到三角形全等，从而证明点到三个点距离相等，从而得证. 【小问1详解】 根据对称性可知在，两点处的切线斜率为 由得，从而， 令，得，所以， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 由题意可设直线，点，. 因为，所以直线，即， 令，得，所以. 同理，直线，令，得，所以 联立直线与的方程，得，消去整理得， 则，. 由解得所以 因为，，故的外接圆圆心落在直线上， 由，知线段的中点为，， 所以线段的垂直平分线方程为， 令，得，即圆心的坐标为. 设的外接圆半径为， 则， 所以圆的方程为， 即. 令得所以的外接圆过定点. 【小问3详解】 如图所示，将和视为从焦点射出的光线，直线和分别为，对应的反射光线，则与恰好是反射光线的反向延长线. 由抛物线的光学性质可得， 而，，故， 故， 同理可得，即，即点是的外心. 【点睛】方法点睛，本题考查了抛物线的综合运用.本题中的抛物线是函数关系，所以可以利用导数和切点坐标来求抛物线的切线方程，从而得到三个点的坐标，然后利用直线与抛物线方程得到这三个点坐标的关系，从而找到三个点外接圆的方程，即可求得圆的定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $