精品解析：河南省南阳市方城县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024年秋期期终八年级阶段性调研 数 学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、考场、座位号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将其序号填写在答题卡上．每小题3分，共30分．） 1. 64的立方根是（　　） A. 4 B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，中，，以点B为中心，将旋转到 ，使点E恰好在上，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示是某校举行学生“环保知识”竞赛成绩的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），其中成绩在80分以下的学生有（　　）人． A. 140 B. 120 C. 70 D. 60 7. 如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ） A. 与一定相等 B. 与一定不相等 C. 与一定相等 D. 与一定不相等 8. 如图，正方形 的边长为，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ） A. 18 B. C. 9 D. 10. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（ ） A. 25 B. 20 C. 16 D. 12 二、填空题（每小题3分，共15分．） 11. 比较大小：_______．（填“”“”或“”） 12. 把多项式分解因式的结果是______． 13. 请写出定理“等边对等角”的逆定理：______． 14. 如图，在中，，，，平分交于点，则的长是 _________ ． 15. 如图，在中，，点D在边上，、关于所在的直线对称， 的角平分线交边于点G，连接．为等腰三角形时，_________． 三、解答题（本题含8个小题，共75分．） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，． （1）求证：； （2）作 的角平分线，交于点F；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （3）与的关系是______．（直接写出结论） 18. 先化简，再求值：，其中， ． 19. 笔直的河流一侧有一旅游地点G，河边有两个漂流点A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离．近阶段由于点G到点A的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新建一个漂流点C（点A、B、C在同一条直线上），并新建一条路，测得 km，km，km． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求原路线的长． 20. 随着互联网的发展，同学们的学习习惯也有了改变，一些同学在做题遇到困难时，喜欢上网查找答案．针对这个问题，某校调查了部分学生对这种做法的意见（分为赞成、无所谓、反对）（每人必选且只选一种），并将调查结果绘制成图1和图2两个不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了多少名学生？ （2）将图1补充完整； （3）扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数为______； （4）结合自己的学习习惯和做法，你有什么感想？ 21. 数学兴趣小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形；有角平分线时，常过角平分线上一点作平行线构造等腰三角形．如图（1），P为的平分线上一点，过点P作 交于点D，易证为等腰三角形． （1）基本运用：如图（2），把长方形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，重合部分的是等腰三角形吗？为什么？ （2）解决问题：如图（3），在四边形中，，E为的中点，且平分 ，连接．求证： ． 22. 认真观察下面的算式，结合你发现的规律，完成下面的问题． 算式① 算式② 算式③ 算式④ …… （1）请写出：算式⑤______，算式⑥______ （2）上述算式的规律可以用以下文字概括：两个连续奇数的平方差能被8整除．设两个连续奇数分别为 和 （n为整数），请说明这个规律是成立的； （3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例． 23. 在等腰直角中， ，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，过点E作 于点F，连接． （1）尝试发现：如图1，当点D在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小琳同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易证 ，于是可得 ．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想 ，要进一步证明 ，可尝试证明，由已知，得 ，于是可得： （ ① ），所以可得 （ ② ），因此猜想 成立．请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______． （2）类比探究：如图2，当点D在线段的延长线上时， ①再探究线段与的数量关系并证明； ②若，求线段的长； （3）拓展应用：如图3，若 ，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期期终八年级阶段性调研 数 学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、考场、座位号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将其序号填写在答题卡上．每小题3分，共30分．） 1. 64的立方根是（　　） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴64的立方根是4， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了立方根的定义，一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算及整式加减，解题关键是熟练掌握运算法则． 根据幂的运算法则，整式加减运算法则逐选项判断即可． 【详解】解：A．，该选项错误，不符合题意； B．与不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意； C．，该选项错误，不符合题意； D．，该选项正确，符合题意． 故选D． 3. 如图，中，，以点B为中心，将旋转到 ，使点E恰好在上，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理等知识，明确旋转前后对应边相等是解题的关键． 由勾股定理得出，再由旋转的性质得，即可求得结果． 【详解】解：∵中，， ， 由旋转知，， ∴ ， 故选：B． 4. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 5. 如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得 ，进而可得的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴ ， ∴的周长， 故选：． 6. 如图所示是某校举行学生“环保知识”竞赛成绩的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），其中成绩在80分以下的学生有（　　）人． A. 140 B. 120 C. 70 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布直方图，熟练掌握频数分布直方图是解题的关键．根据频数分布直方图得到信息即可得到答案． 【详解】解：其中成绩在80分以下的学生有：（人）． 故选：D． 7. 如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ） A. 与一定相等 B. 与一定不相等 C. 与一定相等 D. 与一定不相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，由角平分线的性质得到 ，由平行线间间距相等可知，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵点P在的平分线上， ∴ ， 由平行线间间距相等可知， ∴， 由于和的长度未知，故二者不一定相等， 故选：A， 8. 如图，正方形的边长为 ，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出即求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴这个点表示的实数是， 故选： ． 9. 如图，在中，，，为边的中点，点 ，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ） A. 18 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出 ，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴ ∴ ， ∴ 又∵ ∴ 故选：C 10. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（ ） A. 25 B. 20 C. 16 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理以及完全平方公式及其变形．正确根据图形的关系求得和的值是关键． 根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解． 【详解】解：如图， ∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，设大正方形边长为， ， ， ∴直角三角形的面积是， 又∵直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ， ， ， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分．） 11. 比较大小：_______ ．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握利用平方比较无理数大小的方法是解题的关键．通过比较两个数平方后的值来判断大小． 【详解】解：∵， ，且， ∴， 故答案为：． 12. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，直接提取公因式即可得解，熟练掌握提公因式法分解因式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 请写出定理“等边对等角”的逆定理：______． 【答案】等角对等边 【解析】 【分析】本题考查了定理和逆定理．定理是经过推理证明得到的真命题，可以作为推理论证的依据，它的逆命题如果也是真命题，那么它的逆命题也是定理，即一个定理和它的逆定理的题设和结论正好相反． 等边对等角的题设是等边，结论是等角，故它的逆定理的题设是等角，结论是等边，由此即可得解． 【详解】解：定理“等边对等角”的逆定理是“等角对等边”． 故答案为：等角对等边． 14. 如图，在中，，，，平分交于点，则的长是 _________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和角平分线的性质是解题的关键． 由勾股定理得 ，再由角平分线的性质得 ，设，然后由三角形面积关系得出方程，解方程即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， 如图，过作于点 ， 平分， ， 设， ， ， 即， 解得：， 即的长为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，点D在边上，、关于所在的直线对称， 的角平分线交边于点G，连接．为等腰三角形时，_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据题意，先求出 ，再利用轴对称性质得 ，再证明 ，继而得到 的度数，为等腰三角形时分三种情况讨论，①当时， ②当时， ③当时，利用的内角和分别求出即可． 【详解】解：在中，， ， 、关于所在的直线对称， ， ， ， 是 的角平分线， ， 在 与 中， ， ， ， ， 如图，令与交点为Q， 因为为等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时， ， ， ， 又， 在中， ， ； ②当 时， ， 在中， ， ； ③当时， ， ， 在中， ， ； 综上所述： 当或时，为等腰三角形． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；轴对称的性质，三角形全等的判定定理——，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键． 三、解答题（本题含8个小题，共75分．） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根，再计算加减即可得解； （2）先根据多项式乘以多项式、单项式乘以多项式的法则去括号，再合并同类项即可得解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 17. 如图，． （1）求证：； （2）作 的角平分线，交于点F；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （3）与的关系是______．（直接写出结论） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，得，即得； （2）根据，，可得，得； （3）根据，，即得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，分别以点C、D为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点G， 作射线交于点F， 即为所求作； 【小问3详解】 解：∵，， ∴． 故答案为：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式得到化简的结果，再把，代入计算即可． 【详解】解： 当，时，原式 19. 笔直的河流一侧有一旅游地点G，河边有两个漂流点A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离．近阶段由于点G到点A的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新建一个漂流点C（点A、B、C在同一条直线上），并新建一条路，测得 km，km，km． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求原路线的长． 【答案】（1）是直角三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，注意计算的准确性即可． （1）根据题意可得，即可判断； （2）由（1）得：，根据，，即可求解； 【小问1详解】 解：是直角三角形，理由如下： ∵ km，km，km， ∴， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 解：∵点A到点B的距离等于点A到点G的距离， ∴ ， ∵ 又由（1）得：， ∴， 即：， 解得：． 20. 随着互联网的发展，同学们的学习习惯也有了改变，一些同学在做题遇到困难时，喜欢上网查找答案．针对这个问题，某校调查了部分学生对这种做法的意见（分为赞成、无所谓、反对）（每人必选且只选一种），并将调查结果绘制成图1和图2两个不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了多少名学生？ （2）将图1补充完整； （3）扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数为______； （4）结合自己的学习习惯和做法，你有什么感想？ 【答案】（1）200名 （2）见解析 （3） （4）见解析 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、求解扇形图某部分的圆心角，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）由赞成的人数除以其占比即可得到答案； （2）根据（1）中的结果和统计图中的数据可以求得反对的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）由乘以持“反对”意见的学生的占比即可得到答案； （4）能帮助学习． 【小问1详解】 解：（名）， 答：此次抽样调查中，共调查了200名学生； 【小问2详解】 解：反对的人数为：（名）， 补全的条形统计图如图所示； 【小问3详解】 解：扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数是： ； 故答案为：； 【小问4详解】 答：做题遇到困难时，上网查找答案，方便，快捷，能助力学习． 21. 数学兴趣小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形；有角平分线时，常过角平分线上一点作平行线构造等腰三角形．如图（1），P为的平分线上一点，过点P作 交于点D，易证为等腰三角形． （1）基本运用：如图（2），把长方形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，重合部分的是等腰三角形吗？为什么？ （2）解决问题：如图（3），在四边形中，，E为的中点，且平分，连接．求证： ． 【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由，得到，由折叠的性质可知 ，则， 可以得到，由此即可得到答案； （2）延长交延长线于点F，同（1）可证，然后证明得到，即可得到． 【小问1详解】 解：是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 如图所示，延长交延长线于点F， ∵， ∴ ，， ∵平分， ∴， ∴ ， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∴（三线合一定理）． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于添加辅助线，能够熟练掌握等腰三角形的性质与判定条件． 22. 认真观察下面的算式，结合你发现的规律，完成下面的问题． 算式① 算式② 算式③ 算式④ …… （1）请写出：算式⑤______，算式⑥______ （2）上述算式的规律可以用以下文字概括：两个连续奇数的平方差能被8整除．设两个连续奇数分别为 和 （n为整数），请说明这个规律是成立的； （3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）说法不成立，反例见解析 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用、数字类规律探索，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． （1）根据题干中所给式子规律写出算式⑤、算式⑥即可； （2）利用平方差公式可得，即可得解； （3）设两个连续偶数分别为和（n为整数），利用平方差公式可得，即可得出结论，再写出反例即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：算式⑤，算式⑥； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：， 故两个连续奇数的平方差能被8整除； 【小问3详解】 解：说法不成立， 设两个连续偶数分别为和（n为整数）， ， 故两个连续偶数的平方差不能被8整除， 反例为：． 23. 在等腰直角中， ，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，过点E作 于点F，连接． （1）尝试发现：如图1，当点D在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小琳同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易证 ，于是可得 ．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想 ，要进一步证明 ，可尝试证明，由已知，得 ，于是可得： （ ① ），所以可得 （ ② ），因此猜想 成立．请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______． （2）类比探究：如图2，当点D在线段的延长线上时， ①再探究线段与的数量关系并证明； ②若，求线段的长； （3）拓展应用：如图3，若 ，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①等式性质1，② （2）① ， 证明：∵中，， ∴ ， 由旋转知 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， , ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据 ，得 ，理由是等式性质1，可得 ； （2）①根据 ， ，，得，得 ，可得 ，即得 ；②由 ，得； （3）由 ，当点D在右侧时，得 ，即得，当点D在左侧时，得，即得． 【小问1详解】 解：∵中，， ∴ ， 由旋转知 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ （ 等式性质1 ）， ∴ （ ）， 故答案为：等式性质1，； 【小问2详解】 解：①略 ②当时， ， ∴； 【小问3详解】 解：当 时， 由（1）（2）知， ， 当点D在右侧时， ， ∴； 当点D在左侧时， ， ∴． 故线段的长为或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形与旋转．熟练掌握等腰直角三角形性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $