专题09 全等三角形模型之截长补短与倍长中线模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京专用）

专题09 全等三角形模型之截长补短与倍长中线模型 目录 1 模型1.截长补短模型 1 模型2.倍长中线模型 12 24 模型1.截长补短模型 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 例1．（23-24八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 例3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，，点D在线段上，连接，，，过C作，且，连接，交于F． (1)求的面积； (2)证明：． 例4．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图1，四边形中，，是上一点，平分，平分．则线段的长度满足的数量关系为______；    （2）如图2，将（1）中的条件“”改为“”，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请举出反例； （3）将（1）中的条件“”改为“”，其他条件不变，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． 例5．（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 模型2.倍长中线模型 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 例1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，已知，，，则的长为 ． 例2．（24-25八年级上·吉林长春·期末）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围． （1）经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法，如图②：①延长到E使得；②再连结，把、、集中在中；③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是 ． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）利用小明的作图方法，结合图②，写出与的位置关系并证明． 应用： （3）如图③在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线，则线段、和之间的等量关系为 ． 例3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）【阅读】 如图1，在中，，，是中线，求的取值范围．小明同学的做法是：延长到，使，连接，证明．得到，在中．，即，所以； 【理解】 如图2．是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．求证：； 【运用】 如图3．在中，，为的中点，，求证：． 例4．（23-24八年级下·广西南宁·期中）综合与实践 问题背景：三角形的中位线定理是人教版初中数学八下教材的一个重要命题． 如图1，是的中位线．则，且． (1)如图1，若，则________； (2)回顾证法： 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．图2是其中一种辅助线的添加方法（“倍长中线”法）． 请结合图2，完成“三角形中位线定理”的证明过程； 已知：中，点，分别是，的中点． 求证：，且． (3)方法迁移： 如图3，四边形和均为正方形，连接，，是的中点，连接，已知线段．请求出线段的长． 例6．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）【问题提出】 如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】 经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，经过推理可知，…； （1）由已知和作图得到的理由是______． A．边边边    B．边角边    C．角边角    D．斜边直角边 （2）的取值范围为______． 【问题应用】 （3）如图②，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：． 【问题拓展】 （4）如图③，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的面积为______．    一、单选题 1．（24-25八年级上·山东德州·期末）在中，，中线，则的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图所示，与均为直角三角形，且，，，E是的中点，则的长为（    ） A． B．3 C． D．5 二、填空题 3．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． . 4．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 三、解答题 5．（24-25八年级上·河南信阳·期末）【发现问题】（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，若，求边上的中线的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：如图①，延长到点E，使，连接，得到，他用到的判定定理是__________；（用字母表示），可以求得边上的中线的取值范围是__________． 【解决问题】 （2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”的字样，可以考虑构造全等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图，当平分时，若，求的值（用含m，n的式子表示）； （3）如图，平分，延长到E，使得，连接，若，求的值． 6．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）（1）阅读理解：如图①，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把转化在一个三角形中即可判断：之间的等量关系为 ； （2）如图②，在中，，，是的中线，，，且，求的长； 7．（23-24七年级下·四川成都·期中）在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【问题背景】 （教材原题）如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：（无需证明）． 【问题探究】 (1)如图2，四边形是正方形，点E在上，，，连接，则的度数为 ； (2)如图3，四边形是菱形，点E在上，（），，连接．探究与的数量关系，并证明你的结论． 9．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）【特例感知】 如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （1）中线的取值范围是______． 【类比迁移】 （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：． 10．（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 11．（24-25八年级上·云南保山·期末）（1）【问题背景】如图1：在四边形中，，，．E、F分别是、上的点．且．探究图中线段之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）【探索延伸】如图2，若在四边形中，，．分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？并说明理由； （3）【实际应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 全等三角形模型之截长补短与倍长中线模型 目录 1 模型1.截长补短模型 1 模型2.倍长中线模型 12 24 模型1.截长补短模型 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 例1．（23-24八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形的周长． 【详解】解：在线段AC上作AF=AB， ∵AE是的平分线， ∴∠CAE=∠BAE， 又∵AE=AE， ∴△AEF≌△AEB（SAS）， ∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB， ∵AB∥CD， ∴∠D+∠B=180°， ∵∠AFE+∠CFE=180°， ∴∠D=∠CFE， ∵， ∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠CEF=∠CED， 在△CEF和△CED中 ∵, ∴△CEF≌△CED（AAS） ∴CD=CF， ∴四边形的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 例2．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． （1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线，交于点 ∴,， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 例3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，，点D在线段上，连接，，，过C作，且，连接，交于F． (1)求的面积； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）在中，求出即可解决问题； （2）在上取一点M，使得，只要证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）解：在中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：在上取一点M，使得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 例4．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图1，四边形中，，是上一点，平分，平分．则线段的长度满足的数量关系为______；    （2）如图2，将（1）中的条件“”改为“”，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请举出反例； （3）将（1）中的条件“”改为“”，其他条件不变，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3），理由见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和SAS综合（SAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，根据题意作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）过点有作，根据得出，再根据平分，得出，即可证明，最后根据全等三角形对应边相等，即可得结果； （2）在上截取，连接，先证明，再证明，最后根据全等三角形的性质可得结论； （3）在上截取，，连接，先证明，再证明，然后证明为等边三角形，最后求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点有作，   ， ． 又， ． 平分， ． 又． ． ． 同理可得． ． 故答案为：； （2）成立，理由如下： 在上截取，连接，如图所示：   、分别平分、， ，， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3），理由如下： 在上截取，，连接，如图所示：   、分别平分、， ，， 在和中， ， ， 在和中， ，， ， ， 为等边三角形 ， ； 例5．（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 【答案】(1)图见解析， (2)成立，证明见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】（1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）解：补全图形，如图：    解题思路为先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：； （2）成立，证明如下： 延长到点，使，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴．’ 故答案为：． 模型2.倍长中线模型 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 例1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，已知，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，延长至点E，使，则，由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再由勾股定理得，然后证明，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至点E，使， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 例2．（24-25八年级上·吉林长春·期末）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围． （1）经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法，如图②：①延长到E使得；②再连结，把、、集中在中；③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是 ． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）利用小明的作图方法，结合图②，写出与的位置关系并证明． 应用： （3）如图③在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线，则线段、和之间的等量关系为 ． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【知识点】根据三角形中线求长度、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）由中线的性质可求解； （2）由可证，可得，可求解； （3）延长，交于点F，证明，推出，再证明即可解决问题． 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：； （2）， 理由如下：由题可知 ， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）． 理由：如图，延长，交于点F， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 例3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）【阅读】 如图1，在中，，，是中线，求的取值范围．小明同学的做法是：延长到，使，连接，证明．得到，在中．，即，所以； 【理解】 如图2．是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．求证：； 【运用】 如图3．在中，，为的中点，，求证：． 【答案】【理解】详见解析【运用】详见解析 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】【理解】由可证，可得，进而可证，利用等角对等边即可得解； 【运用】同上可证，可得，进而可证，最后由勾股定理即可得解． 【详解】【理解】证明：如图，延长到点，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【运用】如图，延长至，使，连接，， ， 是的垂直平分线， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理并能灵活运用类比的方法是解决此题的关键． 例4．（23-24八年级下·广西南宁·期中）综合与实践 问题背景：三角形的中位线定理是人教版初中数学八下教材的一个重要命题． 如图1，是的中位线．则，且． (1)如图1，若，则________； (2)回顾证法： 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．图2是其中一种辅助线的添加方法（“倍长中线”法）． 请结合图2，完成“三角形中位线定理”的证明过程； 已知：中，点，分别是，的中点． 求证：，且． (3)方法迁移： 如图3，四边形和均为正方形，连接，，是的中点，连接，已知线段．请求出线段的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了四边形综合应用，涉及三角形的中位线的定理，平行四边形的判定及性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质等知识点，熟读题意合理作出辅助线是解题的关键． （1）根据中位线定理求解即可； （2）延长到点，使得，连接，证出后，利用全等的性质证出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质求解即可； （3）延长到点，使，连接，，证出四边形是平行四边形后，结合正方形的性质，证出，通过全等的性质求解即可． 【详解】（1）∵是的中位线， ∴ （2）解：由题意可得：延长到点，使得，连接如图所示： ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴在和中： ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，且 （3）延长到点，使，连接，，如图所示： ∵点是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∴， ∴在和中： ， ∴， ∴， ∵， ∴． 例6．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）【问题提出】 如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】 经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，经过推理可知，…； （1）由已知和作图得到的理由是______． A．边边边    B．边角边    C．角边角    D．斜边直角边 （2）的取值范围为______． 【问题应用】 （3）如图②，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：． 【问题拓展】 （4）如图③，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的面积为______．    【答案】（1）B；（2）；（3）见解析；（4）16 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握倍长中线法构造全等三角形． （1）根据题意利用证明出求解； （2）根据三角形三边关系得到，然后结合求出； （3）延长到点G使，连接，首先证明出，然后得到，，然后结合得到，，进而可证明出； （4）延长到点H，使，连接，首先证明出，得到，，然后结合平行线的性质和角平分线的概念得到，，进而求出和得长度，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）在和中， ， ∴， ∴由已知和作图得到的理由是边角边， 故选：B； （2）∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的取值范围为； 故答案为：； （3）如图所示，延长到点G使，连接，    ∵，，， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）如图所示，延长到点H，使，连接，    ∵，，， ∴， ∴，； ∵， ∴，； ∵平分， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴的面积为． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东德州·期末）在中，，中线，则的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，中线的性质，三角形三边关系，倍长中线，进而根据三角形三边关系求解是解题的关键．延长至E，使，连接，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， ∵AD是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， 的长度不可能是7． 故选：A． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图所示，与均为直角三角形，且，，，E是的中点，则的长为（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．延长交的延长线于点，先证和全等，得出，，于是求出的长，在中利用勾股定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：延长交的延长线于点， ， ∴， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，则， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理得， ， 故选：C． 二、填空题 3．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． . 【答案】 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．延长至，使，连接，根据证明，则，根据可得，由此可得，即可得出，然后利用线段的和差即可求出的长．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】 如图，延长至G，使，连接， 在和中 ， ， ． ，， ， ， ， ． ， ， ． 故答案为： 4．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 【答案】/ 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明是本题的关键．延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 5．（24-25八年级上·河南信阳·期末）【发现问题】（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，若，求边上的中线的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：如图①，延长到点E，使，连接，得到，他用到的判定定理是__________；（用字母表示），可以求得边上的中线的取值范围是__________． 【解决问题】 （2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”的字样，可以考虑构造全等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图，当平分时，若，求的值（用含m，n的式子表示）； （3）如图，平分，延长到E，使得，连接，若，求的值． 【答案】（1）；；（2）；（3）16 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键． （1）根据定理解答，再根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系计算，得到答案； （2）过作于，于，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （3）根据已知和（1）（2）的结论求出和的面积，即可求出答案． 【详解】解：（1）解：，，， ， 小亮证明用到的判定定理是， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：；，； （2）如图，过作于，于， 为的角平分线， ， ，， ； （3）， 由（1）知：， ， ， ，，平分， 由（2）知：， ， ． 6．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）（1）阅读理解：如图①，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把转化在一个三角形中即可判断：之间的等量关系为 ； （2）如图②，在中，，，是的中线，，，且，求的长； 【答案】（1）；（2）4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，中线的定义，等腰三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． （1）先判断出，得出，得出，进而得出，，即可得出结论； （2）证明，则，，可求，根据线段垂直平分线的性质可得的长； 【详解】解：（1）延长交的延长线于点F， ∵， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， （2）如图2，延长，交于点F， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴ 7．（23-24七年级下·四川成都·期中）在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论； （2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数； （3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段、、的数量关系． 此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形． 【详解】（1）证明：的高、交于点，如图1所示： ，， ，， ， （2）解：在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）解：、、的数量关系是：，证明如下： 在上截取，连接，如图2所示： 是的高，， ，， 在和中， ， ， ，， 由（2）可知：，即， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【问题背景】 （教材原题）如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：（无需证明）． 【问题探究】 (1)如图2，四边形是正方形，点E在上，，，连接，则的度数为 ； (2)如图3，四边形是菱形，点E在上，（），，连接．探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质证明 【分析】（1）连接，过点E作，交于点H，由可证，可得，即可求出； （2）由可得，可得，，由角的数量关系可求解． 【详解】（1）解：如图2，连接，过点E作，交于点H， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：．证明如下： 证明：如图3，在的延长线上取点G，使得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 9．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）【特例感知】 如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （1）中线的取值范围是______． 【类比迁移】 （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了三角形综合题和倍长中线问题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识． （1）延长到，使得，连接，得出，根据三角形三边关系即可求解； （2）延长交延长线于，得到，得到，，进而求得，可证明结论； （3）延长到点，使得 ，连接，得出，从而得到，，进而得到从而证明． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使得，连接． 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ； 故答案为：； （2）证明：如图2，延长交的延长线于点， ， ， ，， 为的中点， ， ， ，， ， ， 即， 平分； （3）证明：如图3，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 10．（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1），见解析 （2）①AC   ②DF，见解析 （3） 【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和SSS综合（SSS）、角平分线的有关计算 【分析】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解． 【详解】（1）． 理由：∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）①AC   ②DF． 辅助线如图1所示．    （3）如图2，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 11．（24-25八年级上·云南保山·期末）（1）【问题背景】如图1：在四边形中，，，．E、F分别是、上的点．且．探究图中线段之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）【探索延伸】如图2，若在四边形中，，．分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？并说明理由； （3）【实际应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．    【答案】（1）；（2）仍然成立，理由见详解（3）210海里 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，实际问题的转化，本题中求证是解题的关键． （1）延长到点G，使，连结，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G，使，连结，即可证明可得 再证明可得即可解题； （3）连接，延长相交于点C，然后与（2）同理可证． 【详解】解：（1） 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵ （2）仍然成立 理由：如图，延长至点，使，连接   ， ， ， 即 ， （3）如图，连接，延长、相交与点，    在四边形中， ， ，符合（2）中的条件． 结论成立 即（海里） 答：此时两舰艇之间的距离为210海里 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$