专题08 相似三角形模型之（双）A字型、（双）8字型、母子型模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（湖北专用）

专题09 相似模型之（双）A字型、（双）8字型、母子型模型 目录 1 模型1.相似模型之“A”字模型 1 模型2.相似模型之“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型） 16 模型4.相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） 21 29 模型1.相似模型之“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 例1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且，． (1)求证：； (2)若，求的值． 例2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点G，H分别在、上，与的交点为M，且矩形长是宽的3倍． (1)求证：； (2)试求矩形的周长． 例3．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值． 例4．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）【知识点】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心． 【解决问题】如图，在中，分别是边的中点，交于点，求证：； 【应用】如图，在中，分别是边的中点，交于点，若的面积为，则四边形的面积为_________； 【拓展】如图，在中，是边的中点，是的重心，过点的直线分别交边于点，若，，，则_________． 模型2.相似模型之“X”字模型（“8”字模型） “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 例1．（24-25九年级上·河北·期末）如图，在中，点在边上，平分，分别交于点．    (1)求证：； (2)求证：． 例2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，，与交于点E，且，，． (1)求的长． (2)求证：． 例3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，对角线相交于点，平分，过点作分别交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，，求的长． 例4．（24-25九年级上·陕西西安·期末）   【问题提出】 （1）如图1，与相交于点，连接，，，，若的长为21，求的长； 【问题解决】 （2） 如图2，四边形是一个植物园的花卉区，经测量，，工作人员计划将该花卉区进行扩建，在对角线上取一点，在边的延长线上取一点，连接，，，与交于点，根据工作人员的规划要求，与相等，与互相垂直，在扩建部分区域内）新增加一种花卉，请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 模型3.相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 例1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平行四边形中，连接对角线，延长至点E，使，连接，分别交、交于点F、G． (1)求证：； (2)若，求的长． 例2．（24-25九年级上·四川眉山·期末）如图，在正方形中，点G是对角线上一点，的延长线交于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 例3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 模型4.相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 例1．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在中，是上一点，已知． (1)求证：； (2)已知，求的度数． 例2．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点是边的上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的面积． 例3．（2025·上海崇明·一模）已知中，，，，，垂足为，点是线段上一点（不与、重合），过点作交的延长线于点与交于点，连接．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当是等腰三角形时，求的长． 例4．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在中，，三条边及边上的高分别记为． (1)求证：； (2)求证：； (3)若将变为锐角，其他不变，如图，设其外接圆的直径为，试探索并写出这4个量的一个等量关系，然后给出证明． 一、单选题 1．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，是的斜边上的高，，，那么与的面积之比是（   ）    A． B． C． D． 2．（2025·山东·一模）如图，中，的平分线交于点，交的延长线于点，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25九年级上·山西长治·期中）如图，在中，，分别是边，上的点，连结，，且．若，的面积为3，则的面积为（   ） A．21 B．18 C．15 D．12 4．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平行四边形中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于G，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作，交于点，则的长为 ． 6．（2025·湖北·模拟预测）如图，在中，延长到点D，延长到点E，连接，，F是边上一点，连接，若，且，，则 ， ．    7．（2023·河南商丘·模拟预测）如图，在中，，分别是，上的点，，，，的角平分线交于点，交于点，则的值为 . 8．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，工人师傅将一块锐角三角形的铁片通过切割加工成矩形铁片，已知的边长，高，若矩形铁片的一边在边上，点，分别在，边上，若满足，则矩形铁片的面积为 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，垂足为D． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在中，点为边上一点，分别过点，作，，交的延长线于点，交于点，且，． (1)求的长； (2)若的面积为，求的面积． 11．（2025·上海青浦·一模）已知梯形中，，点在边上，，，联结． (1)如图1，联结，求与的面积之比； (2)如图2，如果，求的正切值； (3)如图3，联结交于点，如果，且，求边的长． 12．（2025·湖北武汉·模拟预测）问题提出 （1）如图（1），在中，，且分别交于点D，E，则____．（填“>”“<”或“=”）． 问题探究 （2）如图（2），是的角平分线，过点D作交于点E，求证：． 问题拓展 （3）如图（3），在菱形中，，点G在射线上，且．连接交于点F，过点F作交于点H，若，求的长． 13．（2025·浙江宁波·一模）（1） 如图1， 在中， D是上一点，交于点G，则   （用图中已有线段表示） （2） 如图2，在中， M、N是上的两点， 且满足， 在上取一点D， 过点D作分别交 的延长线、于点 P、Q，求 的值： （3） 如图3， 在正方形中， 点E是上一点， 连接交于点F， 在上取一点 P， 使得， 若     求的长． 14．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）上数学综合实践课上，在学习了图形的相似后，老师组织同学们以“探究相似基本模型”为主题的数学活动．对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图①，在中，，，垂足为D．这是我们比较熟悉的一个相似基本模型． （1）易知：在和中，由，∠ ，证得，可得出 ；进而得到． （2）如图②，F为线段上一点，作射线，并在射线上取点E，连接，使． ①此时可证，进而得出 ； ②猜想是 三角形，直接利用（1）和（2）的①问中所得结论证明你的猜想． （二）探索应用 如图③，是直角三角形，，线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接并延长至点E，且使． （3）线段绕点A顺时针旋转一周的过程中，若，线段长度的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 相似模型之（双）A字型、（双）8字型、母子型模型 目录 1 模型1.相似模型之“A”字模型 1 模型2.相似模型之“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型） 16 模型4.相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） 21 29 模型1.相似模型之“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 例1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合、同位角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，同位角相等两直线平行等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理可得，由可得，进而可得，再结合，可证得，于是可得，由同位角相等两直线平行可得结论； （2）由（1）可得，由平行线分线段成比例定理及可得，进而可得，设，则，，，由此即可求出的值． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 又， ， ， ； （2）解：由（1）可得：， 又， ， ， ， 设，则，，， ． 例2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点G，H分别在、上，与的交点为M，且矩形长是宽的3倍． (1)求证：； (2)试求矩形的周长． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由矩形的性质可得，即得，，进而可得，再根据相似三角形的性质即可求证； （2）设设，，由相似三角形的性质可得，解方程求出x即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，，则， ∵； ∴， 解得， ∴这个矩形的周长= 例3．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由得，所以，同理可得，故，即得答案； （2）先证明，得到，设，求出，的值，即可求得答案． 【详解】解：（1）， ， ， 同理， ， ， ；     （2），恰好将三等分， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， 设，则，， 由得，， （负值舍去）， ． 例4．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）【知识点】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心． 【解决问题】如图，在中，分别是边的中点，交于点，求证：； 【应用】如图，在中，分别是边的中点，交于点，若的面积为，则四边形的面积为_________； 【拓展】如图，在中，是边的中点，是的重心，过点的直线分别交边于点，若，，，则_________． 【答案】[解决问题]见解析；[应用] ；[拓展] 【知识点】重心的有关性质、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了主要考查了三角形的重心，中位线定理，相似三角形的性质与判定，掌握知识点的应用是解题的关键． [解决问题] 连接，由中位线定理得，，证明，最后由相似三角形的性质即可求证； [应用] 连接，由中位线定理得，，证明，则，所以，由上得，则的面积为，的面积为，的面积为，故有，设，则，求出，最后由面积和差即可求解； [拓展] 过点作交于，交于，证明∴，，，，求出，，，则，再证明，由相似三角形的性质和线段和差即可求解； 【详解】[解决问题]证明：如图，连接，    ∵分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴； [应用]解：连接，    ∵分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由上得， ∵的面积为， ∴的面积为，的面积为，的面积为， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， ∴四边形， 故答案为：； [拓展]解：如图，过点作交于，交于，    ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 模型2.相似模型之“X”字模型（“8”字模型） “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 例1．（24-25九年级上·河北·期末）如图，在中，点在边上，平分，分别交于点．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）角平分线得到，三角形的内角和定理，得到，进而得到即可； （2）根据，得到，，推出，证明，得到，进而得到即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 设，， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 例2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，，与交于点E，且，，． (1)求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是根据题目灵活选取相似三角形的判定方法． （1）由可得，由相似三角形的性质即可求得结果； （2）证明，再根据，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 例3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，对角线相交于点，平分，过点作分别交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，推出，即可得出结论； （2）先根据勾股定理得出，再证明，得出，求出，再证明，得出，求出，，再根据勾股定理求出，进而可求出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ 例4．（24-25九年级上·陕西西安·期末）   【问题提出】 （1）如图1，与相交于点，连接，，，，若的长为21，求的长； 【问题解决】 （2） 如图2，四边形是一个植物园的花卉区，经测量，，工作人员计划将该花卉区进行扩建，在对角线上取一点，在边的延长线上取一点，连接，，，与交于点，根据工作人员的规划要求，与相等，与互相垂直，在扩建部分区域内）新增加一种花卉，请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据菱形的判定定理得到四边形是菱形，连接，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，得到，等量代换得到，连接交于，根据菱形的性质得到，，根据余角的性质即可得到结论． 【详解】解：（1），， ， ， ，的长为21， ， ； （2）， 理由：， 四边形是菱形， 连接， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 连接交于， ，， ， ， ， ．    模型3.相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 例1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平行四边形中，连接对角线，延长至点E，使，连接，分别交、交于点F、G． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行四边形的性质，证明，即可得出结论； （2）证明出，得到，由（1）可知，，得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 例2．（24-25九年级上·四川眉山·期末）如图，在正方形中，点G是对角线上一点，的延长线交于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质可证得，从而推出，即，得证； （2）根据题意得到和证明，，推出，，设，则，，即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ，即， ； （2）解：，， ， 四边形是正方形， ，，， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ，， ， ， ， ， 的长为． 例3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由，可证，则，同理可得：，则，两边同时除以，可得． （2）由，，，，可得，，证明，则，同理，，则，两边同时除以得，，进而可得；（3）由（1）可知，，，则，解得，，则，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：， ∴，两边同时除以，得． （2）证明：∵，，，，∴，， ∵，∴，∴，同理，， ∴，∴， 两边同时除以得，，∴； （3）解：由（1）可知，，， ∴，解得，，∴，解得，，∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的判定．解题的关键在于明确相似三角形的判定条件． 模型4.相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 例1．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在中，是上一点，已知． (1)求证：； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据“两边对应成比例且它们的夹角相等”可判断三角形相似，进而求解即可； （2）由三角形内角和可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：，， ， ； （2）解：，， ， ， ． 例2．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点是边的上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由，得即可证明结论； （2）由相似三角形的性质求得，进而即可得解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ ∴ ∵ ∴ （2）解：由（）得且 ∴ ∵， ∴ ∴ 例3．（2025·上海崇明·一模）已知中，，，，，垂足为，点是线段上一点（不与、重合），过点作交的延长线于点与交于点，连接．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据题意，，证明即可求证； （2）根据题意可得，则有，由，得到，如图所示，作，垂足是，由勾股定理、三角函数的计算得到，在中，，则有，得到，再根据，即可求解； （3）根据等腰三角形的判定和性质分类讨论：第一种情况：当时，可证平分，根据角平分线的性质，锐角三角函数即的计算可解得；第二种情况：当时，可得，则，即，即可求解；第三种情况：当时，结合（2）的计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 即； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 如图所示，作，垂足是，   ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ，即， ； （3）解：若是等腰三角形，那么或或， 第一种情况：当时， ， ， 又， ， ，即  ， ， ∵， ∴， ∴， ， 在中，， ，即 第二种情况：当时 ， ， ， ，即， ； 第三种情况：当时， ， ， 又， ， ， ， 由（2）可知，在中，， ， ， ，即； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 例4．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在中，，三条边及边上的高分别记为． (1)求证：； (2)求证：； (3)若将变为锐角，其他不变，如图，设其外接圆的直径为，试探索并写出这4个量的一个等量关系，然后给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、同弧或等弧所对的圆周角相等、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等，能够根据所求内容找到相关的量是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）根据勾股定理得，式子变形可得，又有，即可证明； （3）过点作直径交圆于点，连接，即可证明，推出，即． 【详解】（1）证明：，，，，， ， ． （2）证明：在中，，根据勾股定理得，， ， ， 又（已证）， ， ． （3）解：，证明如下： 过点作直径交圆于点，连接， 为圆的直径， ， ， ， ，即：． 一、单选题 1．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，是的斜边上的高，，，那么与的面积之比是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】利用直角三角形的性质和余角的性质可证，然后利用相似三角形的性质求解即可． 本题考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的性质． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴与的面积之比， 故选：D． 2．（2025·山东·一模）如图，中，的平分线交于点，交的延长线于点，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查平行四边形的性质，等角对等边，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质，结合角平分线的定义，推出，进而求出的长，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 3．（24-25九年级上·山西长治·期中）如图，在中，，分别是边，上的点，连结，，且．若，的面积为3，则的面积为（   ） A．21 B．18 C．15 D．12 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由可得，由可得，于是可得，进而可得，由和是共底同高的三角形，且可得，进而可得，再根据即可求出的面积． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 和是共底同高的三角形，且， ， ， ， 故选：． 4．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平行四边形中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于G，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质计算选择即可．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据得到，继而得到，得到；根据得到，继而得到，可以推出，由此得到继而得到可以判断A；根据，可以判断B；根据题意，得可以判断C；根据，得到继而得到，可判断D． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴，故B正确，不符合题意； 根据题意，得，故C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题 5．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作，交于点，则的长为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（2025·湖北·模拟预测）如图，在中，延长到点D，延长到点E，连接，，F是边上一点，连接，若，且，，则 ， ．    【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，由相似三角形的判定方法得，，由相似三角形的性质，即可求解；能熟练利用相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； 故答案为：，． 7．（2023·河南商丘·模拟预测）如图，在中，，分别是，上的点，，，，的角平分线交于点，交于点，则的值为 . 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，再证明，最后根据相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵的角平分线交于点，交于点， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，工人师傅将一块锐角三角形的铁片通过切割加工成矩形铁片，已知的边长，高，若矩形铁片的一边在边上，点，分别在，边上，若满足，则矩形铁片的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的应用，设与的交点为点，设，则，证明，推出，代入数据求出的值即可推出结果．熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．也考查了矩形的判定和性质． 【详解】解：如图，设与的交点为点， 设， ∵， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴，， ∴，，， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴，， ∴ ∴矩形铁片的面积为， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，垂足为D． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意得，进而问题可求证； （2）根据（1）中相似，然后结合相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴ ∵，， ∴， ∴． 10．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在中，点为边上一点，分别过点，作，，交的延长线于点，交于点，且，． (1)求的长； (2)若的面积为，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）先证明，得，故有，然后证明，则，然后代入即可求解；， （）由（）知，根据根据相似三角形的性质得，所以，从而求出，然后求出，最后根据面积和差即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：由（）知， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴的面积为． 11．（2025·上海青浦·一模）已知梯形中，，点在边上，，，联结． (1)如图1，联结，求与的面积之比； (2)如图2，如果，求的正切值； (3)如图3，联结交于点，如果，且，求边的长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． （1）延长，交的延长线于点，可证得，从而，进而得出，进一步得出结果； （2）延长，交的延长线于点，设作于，可证得，，从而，进而得出，从而得出，，从而得出，，进而得出，，，，，进一步得出结果； （3）设，，以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，作于，从而，，，可证得，从而，从而得出，从而得出，根据，根据，从而得出，从而，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1，延长，交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长，交的延长线于点，作于， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，设，则，， ，， 在中， ，， ， ； （3）解：如图3，以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，作于， 设，， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 12．（2025·湖北武汉·模拟预测）问题提出 （1）如图（1），在中，，且分别交于点D，E，则____．（填“>”“<”或“=”）． 问题探究 （2）如图（2），是的角平分线，过点D作交于点E，求证：． 问题拓展 （3）如图（3），在菱形中，，点G在射线上，且．连接交于点F，过点F作交于点H，若，求的长． 【答案】（1）=；（2）证明见解析；（3） 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先判定，然后根据相似三角形的性质列比例式即可解答； （2）由平行线等分线段定理可得、，再根据平行线的性质、角平分线的定义以及等角对等角可得，再结合以及等量代换即可证明结论； （3）由菱形的性质可得，类比（2）可得再结合已知条件可得、，进而得到、，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：=． （2）证明：∵， ∴， ， ∵是的角平分线， ∴ ∴， ∴， ∴ ， ∴． （3）∵菱形， ∴， 又∵， ∴类比由(2)中结论可得∶， ∵， ∴，即，解得：， ∴， 如图，过点B作，垂足为点 Q， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 13．（2025·浙江宁波·一模）（1） 如图1， 在中， D是上一点，交于点G，则   （用图中已有线段表示） （2） 如图2，在中， M、N是上的两点， 且满足， 在上取一点D， 过点D作分别交 的延长线、于点 P、Q，求 的值： （3） 如图3， 在正方形中， 点E是上一点， 连接交于点F， 在上取一点 P， 使得， 若     求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，，可得，从而可得答案； （2）如图，过作交于，交于，结合（1）得：，证明，可得，证明，可得，从而可得答案； （3）如图，过作交于，交于，证明，可得，设，则，求解，证明，可得，结合，再进一步解方程即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）如图，过作交于，交于， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）如图，过作交于，交于， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，本题属于相似三角形的综合题，难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 14．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）上数学综合实践课上，在学习了图形的相似后，老师组织同学们以“探究相似基本模型”为主题的数学活动．对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图①，在中，，，垂足为D．这是我们比较熟悉的一个相似基本模型． （1）易知：在和中，由，∠ ，证得，可得出 ；进而得到． （2）如图②，F为线段上一点，作射线，并在射线上取点E，连接，使． ①此时可证，进而得出 ； ②猜想是 三角形，直接利用（1）和（2）的①问中所得结论证明你的猜想． （二）探索应用 如图③，是直角三角形，，线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接并延长至点E，且使． （3）线段绕点A顺时针旋转一周的过程中，若，线段长度的最小值为 ． 【答案】（1），或（，）；；（2）①；②直角，见解析；（3） 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、三角形三边关系的应用、求一点到圆上点距离的最值 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、三角形三边关系等内容，熟练掌握相关知是解题的关键． （1）由题易得，再根据，得到，所以，进而得到； （2）①根据相似三角形的性质直接得解即可； ②由前述两问可得到，进而可证出，从而得解； （3）证，得到，当最大时，最小，而，当且仅当三点共线时取等，进而得解． 【详解】解：（1）由题易知，或， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，或（，）；； （2）①∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②为直角三角形，证明如下， 证明：由（1）得， 由（2）①得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 故答案为：直角； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最小， 由题可知，点D在以A为圆心，2为半径的圆上运动， ∴，当且仅当三点共线时取等， 此时， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$