模拟卷15（全国高中数学联赛一试）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优全真模拟卷（全国通用）

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题15 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．已知集合，若，则实数的取值范围是_____． 2．已知的三内角满足成等差数列，则的值为_____． 3．四个相同的红球和四个相同的蓝球排成一行，将它们从左到右分别编号为，则红球的编号之和小于蓝球的编号之和的概率为_____． 4．正实数满足，则的最大值为_____． 5．正五棱锥中，两相邻侧面所成二面角的取值范围是_____． 6．设实数．如果依次成等差数列，则的值为_____． 7．过圆外一点作两条互相垂直的直线和，分别与圆交于四点，则四边形面积的最大值为_____． 8．对四位数，若，则称为好数．任取一个四位数，其为好数的概率是_____． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）已知实数满足 求的最大值． 10．（本题满分20分）已知椭圆的两焦点分别为和，过椭圆上不为长轴端点的任一点作椭圆的切线，分别交直线和于和，证明：四点共圆． 11．（本题满分20分）已知复数满足，且 证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题15参考答案及评分标准 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．已知集合，若，则实数的取值范围是_____． 答案：或． 解：对集合，我们有，对集合，我们有，由得，，解得或． 2．已知的三内角满足成等差数列，则的值为_____． 答案：2． 解：因为成等差数列，所以 注意到，则有 3．四个相同的红球和四个相同的蓝球排成一行，将它们从左到右分别编号为，则红球的编号之和小于蓝球的编号之和的概率为_____． 答案：． 解：注意到红球编号之和小于蓝球的编号之和的概率与蓝球编号之和小于红球的编号之和的概率相同．我们先求红球和蓝球编号之和相等的组数．设红球编号分别为，注意到八个球的编号之和为，则有，分类列举知共有8组解满足上述条件： 于是红球的编号之和小于蓝球的编号之和的概率为 4．正实数满足，则的最大值为_____． 答案：2． 解：构造四边形，使得，则由余弦定理得 于是为正三角形，，从而为圆内接四边形． 当为圆的直径时取等号． 5．正五棱锥中，两相邻侧面所成二面角的取值范围是_____． 答案：． 解：设正五棱锥为，不妨设底面正五边形固定，顶点运动，相邻两侧面的二面角为．当向下运动逼近极端位置（底面中心）时，趋于平角；当向上运动，趋于无穷远处，则正五棱锥趋于正五棱柱，趋于正五边形的内角．故所求范围是． 6．设实数．如果依次成等差数列，则的值为_____． 解：设，则 成等差数列，所以 所以， 7．过圆外一点作两条互相垂直的直线和，分别与圆交于四点，则四边形面积的最大值为_____． 答案：． 解法一：过圆心作，设，则． 由切割线定理，，所以 令，注意到 则由均值不等式，有 于是， 当且仅当时，等号成立． 解法二：设的中点分别为，则 由柯西不等式，知 当时取等号，故四边形面积的最大值为． 8．对四位数，若，则称为好数．任取一个四位数，其为好数的概率是_____． 答案：． 解：当时，有种取法，有种取法，当时．对应的有种取法．从而好数个数为 于是，所求概率为． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）已知实数满足 求的最大值． 解：若中有0，或有奇数个负数，则． 若中有偶数个负数，则负数必为2个或4个．不妨设．并令，则 令，则 所以，． 又由 所以 当时上式取等号，故的最大值为． 10．（本题满分20分）已知椭圆的两焦点分别为和，过椭圆上不为长轴端点的任一点作椭圆的切线，分别交直线和于和，证明：四点共圆． 证明：设与轴的交点为，记，其中，并设点坐标为，则切线方程为 令，得，则 所以，，于是，同理，，所以，四点共圆． 11．（本题满分20分）已知复数满足，且 证明：． 证明：首先证明一个引理：对任意复数，有 引理的证明：设，则 注意到 由，得 所以，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$