精品解析：2025届河北省邢台市名校协作高三一模数学试题

绝密★启用前 数学 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合元素的范围，再结合交集运算得到结果. 【详解】， 又，所以. 故选：B. 2. 若，则复数z的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得，即可得虚部. 【详解】因为，则， 所以复数z的虚部是. 故选：B. 3. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据离心率公式以及长轴长，结合的关系即可求解. 【详解】设椭圆方程为，则，解得， 故椭圆方程为， 故选：A 4. 已知为等比数列，为数列的前n项和，，则（ ） A. 3 B. 18 C. 54 D. 152 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设有且，即可得公比为3，首项为2，利用通项公式求对应项. 【详解】由题设得，作差可得，即， 又为等比数列，故其公比为3，且，即， 所以. 故选：C 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据得到，结合题目条件可得，利用倍角公式可计算的值. 【详解】∵，∴. ∵，∴， ∴，即， 解得或（舍）， ∴. 故选：C. 6. 设函数，则不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 且，即为偶函数， 当时与，与均在上单调递增， 所以与均在上单调递增， 所以在上单调递增，则不等式等价于， 即，解得或， 即不等式的解集为. 故选：B. 7. 已知，若，则（ ） A. B. C. 15 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法可求的值，再利用二项式展开式的通项公式即可得解. 【详解】令，可得，解得， ， 展开式中的系数为. 故选：A. 8. 存在使不等式成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的三角不等式和一元二次不等式计算即可. 【详解】存在,不等式成立，变形即成立， 由于， 因此有， 两边平方， 解得或. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若（为的离心率），则（ ） A. B. 的虚轴长为 C. D. 的一条渐近线的斜率为 【答案】AB 【解析】 【分析】由双曲线方程可求焦点，的坐标，结合离心率定义求离心率，根据求，再求虚轴长，由此判断ABC，再由渐近线方程的定义求渐近线，由此确定渐近线的斜率判断D. 【详解】由，知，，， 由，得，即，， 所以的虚轴长为，故A，B正确，C错误； 由的渐近线方程为，得两条渐近线的斜率分别为，，故D错误． 故选：AB． 10. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（ ） A. 为函数图象的一条对称轴 B. C. 函数在上单调递增 D. 函数的图象与函数的图象交点个数为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角函数平移的性质求得，进而利用三角函数的对称性判断A，同时判断B，利用三角函数的单调性与整体法判断C，利用三角函数与对数函数的图象，数形结合判断D，从而得解. 【详解】对于A，将函数的图象向左平移个单位， 可得到函数的图象， 则， 所以为函数图象的一条对称轴，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，， 而在上单调递增，所以在上单调递增，故C正确； 对于D，对于，其周期为，最大值为， 令，则， 令，则，且， 因为的定义域为，且， 作出与在上的大致图象，如图， 结合图象可知，的与函数的图象交点个数为5，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 点在上，则 C. 点在椭圆上，若，则 D. 过作轴的垂线交于两点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由“双纽线”定义判断A；由“双纽线”定义得到，再计算判断B；由“双纽线”定义和椭圆定义判断C；设，由勾股定理得到，再解方程判断D. 【详解】对于A，，由定义知，A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，，B错误； 对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与， 则，由，得， 则，，C正确； 对于D，设，则，而，则， 又， 则，化简得，解得，， 因此1，，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，满足，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由两边平方结合数量积运算律可求，再结合关系求结论. 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 13. 已知底面半径为3的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱的侧面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出圆锥的轴截面，求出圆锥的高，利用三角形相似求出圆柱的高，再根据侧面积公式计算可得. 【详解】如图作出圆锥的轴截面，根据题意可知, , 所以可得, 根据三角形相似可得, 所以,可求得, 根据圆柱侧面积公式可得. 故答案为： 14. 已知，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方的非负性证明，即可得到，再给出的例子即可得到答案. 【详解】因为，所以，故. 又因为，故，从而，这就得到. 而当，时，有，且. 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某社区组织居民开在垃圾分类知识竞赛活动.随机对该社区名居民的成绩进行统计，成绩均在内，将成绩分成组进行统计分析：第组有人，第组有16人，第组有人，第组有人，第组有人.现使用分层随机抽样的方法在第，组共选取人参加垃圾分类志愿者工作. （1）对该社区名居民进行问卷调查，部分数据如下表所示，补全表格数据，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为居民喜欢垃圾分类与性别有关； 不喜欢垃圾分类 喜欢垃圾分类 合计 男 女 合计 （2）若从参加垃圾分类志愿者工作的人中随机选取人参加垃圾分类知识宣讲工作，记来自第组的人数为，求的分布列及数学期望. 附：，. 【答案】（1）补充列联表如下所示， 不喜欢垃圾分类 喜欢垃圾分类 合计 男 女 合计 有关 （2）的分布列为数学期望为【解析】 【分析】（1）根据题干完成联表，进而求得，即可判断相关性； （2）根据古典概型概率公式计算公式，进而可分布列与期望. 【小问1详解】 补充列联表如下所示， 不喜欢垃圾分类 喜欢垃圾分类 合计 男 女 合计 零假设：居民喜欢垃圾分类与性别无关， 则， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为喜欢垃圾分类与性别有关； 【小问2详解】 用分层随机抽样的方法在第，组抽取的人数分别是，， 所以可能的取值为，，， ，，， 所以的分布列为 . 16. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数取得极大值，无极小值； （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值； （2）利用参变分离，转化为，恒成立，再转化为利用导数求函数的最值问题. 【小问1详解】 当时，，， ，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，函数取得极大值，无极小值； 【小问2详解】 由题意可知，， 即恒成立，即，恒成立， 设，， 设，， ， 设，所以，得（负值舍去）， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的最大值为，即恒成立， 所以单调递减，且， 所以当时，，即，单调递增，当时，，即，单调递减， 所以的最大值为， 所以. 17. 在直三棱柱中， ，分别为，的中点，且，． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为为直棱柱，所以平面， 又因为平面，所以， 因为 ，为中点，所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）依题意可得，，即可得到平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设平面的法向量，则， 取， 又平面的法向量， 记二面角为，则， 则， 即二面角的正弦值为． 【点睛】 18. 已知动点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C． （1）求C的轨迹方程，并说明其形状； （2）过直线x＝3上的动点P(3，p)(p≠0)分别作C的两条切线PQ、PR(Q、R为切点)，N为弦QR的中点，直线l：3x＋4y＝6分别与x轴、y轴交于点E、F，求△NEF的面积S的取值范围． 【答案】（1）(x＋1)2＋y2＝4，曲线C是以(－1，0)为圆心，2为半径的圆 （2） 【解析】 【分析】（1）设出点M的坐标，利用直接法建立关系式，化简即可求解； （2）写出以CP为直径的圆的方程，然后利用Q，R是两个圆的交点得到QR所在直线方程，联立直线QR与圆C的方程，利用韦达定理求出点N的纵坐标，从而得出点N在以OC为直径的圆上，求出该圆的圆心以及半径，利用点，直线与圆的位置关系即可求解． 【小问1详解】 设M(x，y)，由＝，得＝， 化简得x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4， 故曲线C是以(－1，0)为圆心，2为半径的圆． 【小问2详解】 由（1）知C(－1，0)，又P(3，p)，(p≠0)， 则线段CP的中点的坐标为，|CP|＝， 故以线段CP为直径的圆的方程为(x－1)2＋＝， 整理得x2＋y2－2x－py－3＝0①． 由题意知，Q、R在以CP为直径的圆上， 又Q、R在圆x2＋y2＋2x－3＝0②上， 由②－①，得4x＋py＝0， 所以弦QR所在直线的方程为4x＋py＝0，可得QR恒过坐标原点O(0，0)． 由得(16＋p2)y2－8py－48＝0， 设Q(x1，y1)，R(x2，y2)，则y1＋y2＝， 所以点N的纵坐标＝＝， 因为p≠0，所以≠0，所以点N与点C(－1，0)，O(0，0)均不重合． 因为N为弦QR的中点，且C(－1，0)为圆C的圆心，所以CN⊥QR，即CN⊥ON， 所以点N在以OC为直径的圆上，该圆的圆心为G，半径为． 因为直线3x＋4y＝6分别与x轴、y轴交于点E、F， 所以E(2，0)，F，因此|EF|＝， 圆心G到直线3x＋4y＝6的距离d＝＝． 设△NEF的边EF上的高为h， 则点N到直线3x＋4y＝6的距离h的最小值为d－r＝－＝1； 点N到直线3x＋4y＝6的距离h的最大值为d＋r＝＋＝2． 所以S的最小值＝××1＝，最大值＝××2＝． 因此△NEF的面积S的取值范围是． 19. 已知函数． （1）若，证明：； （2）记数列的前项和为． （i）若，证明：． （ii）已知函数，若，，，证明：. 【答案】（1）证明如下： 设，当时，， 所以在上为增函数，故当时，， 所以当时， 设，当时，， 所以在上单调递增，故当时，， 所以当时， 故当时， 因为，当时，， 所以在上为增函数， 因为当时，，且由， 可得，所以，即， 所以 （2）（i）证明如下： 因为， 所以， 则， 所以， 即， 所以 （ii）证明如下： 函数， 因为当时，， 所以当时，， 所以当时，， 因此， 故，即 因为， 所以当时，， 综上，，所以， 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）先构造函数证明，，再由的单调性得出即可证明； （2）（i）利用错位相减法求和后放缩即可得证；（ii）利用函数不等式可得，得出递推关系，累乘后可得，求和即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】关键点点睛：在第一步的证明过程中，首先要构造函数，利用导数证明几个不等式，比较难想到，当求出单调性后，得到，再由单调性得到，技巧性很强，一般不容易想到，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 数学 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则复数z的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知为等比数列，为数列的前n项和，，则（ ） A. 3 B. 18 C. 54 D. 152 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，则不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 7. 已知，若，则（ ） A. B. C. 15 D. 35 8. 存在使不等式成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若（为的离心率），则（ ） A. B. 的虚轴长为 C. D. 的一条渐近线的斜率为 10. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（ ） A. 为函数图象的一条对称轴 B. C. 函数在上单调递增 D. 函数的图象与函数的图象交点个数为5 11. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 点在上，则 C. 点在椭圆上，若，则 D. 过作轴的垂线交于两点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，满足，，则_______． 13. 已知底面半径为3的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱的侧面积为__________. 14. 已知，则的最大值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某社区组织居民开在垃圾分类知识竞赛活动.随机对该社区名居民的成绩进行统计，成绩均在内，将成绩分成组进行统计分析：第组有人，第组有16人，第组有人，第组有人，第组有人.现使用分层随机抽样的方法在第，组共选取人参加垃圾分类志愿者工作. （1）对该社区名居民进行问卷调查，部分数据如下表所示，补全表格数据，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为居民喜欢垃圾分类与性别有关； 不喜欢垃圾分类 喜欢垃圾分类 合计 男 女 合计 （2）若从参加垃圾分类志愿者工作的人中随机选取人参加垃圾分类知识宣讲工作，记来自第组的人数为，求的分布列及数学期望. 附：，. 16. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 在直三棱柱中， ，分别为，的中点，且，． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值． 18. 已知动点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C． （1）求C的轨迹方程，并说明其形状； （2）过直线x＝3上的动点P(3，p)(p≠0)分别作C的两条切线PQ、PR(Q、R为切点)，N为弦QR的中点，直线l：3x＋4y＝6分别与x轴、y轴交于点E、F，求△NEF的面积S的取值范围． 19. 已知函数． （1）若，证明：； （2）记数列的前项和为． （i）若，证明：． （ii）已知函数，若，，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $