精品解析：2025年陕西省榆林实验中学九年级下学期中考一模数学试题

九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. －的绝对值是：（ ） A. － B. C. －6 D. 6 2. 秦始皇统一六国后创制的汉字书写形式是小篆，下列四个小篆字中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线、被直线所截，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在数轴上表示不等式的解集，下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，为边上的中线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的图象上有两点、，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，是的直径，点在上，连接、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. “数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果二次函数的图象只经过三个象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 分解因式：____________． 10. 在如图所示的三阶幻方中，有些位置填写了数或汉字(其中每个汉字都表示一个数)．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是_____． 中 国 梦 11. 如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，连接、，则的值为_____． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，点在轴负半轴上，点在反比例函数的图象上，若菱形的面积为12，则的值为_____． 13. 如图，在矩形中，点在上，连接，，并延长至点，使得，连接交于点，若，，则的面积为_____． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 解方程． 17. 如图，已知，利用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得的周长为．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在中，点、是边上的两点，，连接、，，求证：． 19. 书院是中国古代教育机构，最早出现在唐玄宗时期，其中“应天书院”“岳麓书院”“嵩阳书院”和“白鹿洞书院”是我国的“四大书院”．某校开展“书院文化讲解员”风采展示活动，甲、乙两位同学分别从嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院古代四大书院中随机选择一个进行讲解． （1）甲选择讲解岳麓书院的概率是_____； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”的概率． 20. 某服装店店庆当天，将一款恤在标价的基础上降价10元，再打九折销售．小天妈妈在店庆当天购买了这款恤，实付款比标价便宜了16元，求这款恤的标价． 21. 某校九年级数学兴趣小组开展“测量学校操场旗杆”的实践活动，其中一个设计方案如图所示，旗杆垂直于水平地面，在地面上选取，两处（，，在同一条直线上），测得地面上，两点的距离为，分别在点和点处测得旗杆顶端的仰角为和．请根据他们的测量数据，求旗杆的高是多少?（参考数据：，，，，，） 22. 行李托运简单便捷，给人们的出行带来了极大的便利，省事又省心．某客运公司规定旅客可以免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李托运费（元）与行李质量之间的关系如图所示． （1）求与之间的函数表达式； （2）若张先生某次出差时所付的行李托运费用为元，求张先生托运行李的质量． 23. 传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，也是传承和弘扬传统文化的重要载体．某中学在全校七、八年级学生中开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 89.5 八年级 89 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀（）的学生共有多少人？ 24. 如图，是的内接三角形，是的直径，是的切线，的平分线交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 某校计划在学校礼堂为毕业班学生举办毕业典礼，想在礼堂入口处设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求B、C所在直线与A、D所在直线均与地面平行，抛物线最高点的五角星（记为点）到的距离为，，，建立如图2所示平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求五角星（点）到的垂直距离． 26. （1）如图①，中，，．点P为上动点，则长度的最小值为___________． （2）如图②，中，，，，点P为平面内一点，，于点．求长度最小值． （3）如图③，光明公司在一块四边形荒地进行观赏种植实验，经过测量发现，四边形中，米，米，．种植方案是：将四边形分成一些区域种植不同的观赏作物，其中点在上，，于点P，交于点．现决定先对区域进行种植实验，请你确定的面积是否有最小值，若有最小值，求出的面积最小值；若没有最小值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. －的绝对值是：（ ） A. － B. C. －6 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点－到原点的距离是，所以﹣的绝对值是， 故选B． 2. 秦始皇统一六国后创制的汉字书写形式是小篆，下列四个小篆字中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：∵A、B、D三个选项中的字都不能沿着一条直线折叠使直线两旁的部分能完全重合， ∴它们都不是轴对称图形，因此都不符合题意； ∵C选项中的字能够沿着一条直线折叠使直线两旁的部分能完全重合， ∴它是轴对称图形，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，解题关键是掌握轴对称图形的定义，即将一个平面图形沿着一条直线折叠能够使直线两旁的部分完全重合，那么这个图形是轴对称图形． 3. 如图，直线、被直线所截，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据对顶角相等可得，进而根据两直线平行同旁内角互补，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 故选：B． 4. 在数轴上表示不等式的解集，下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照移项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，据此可得答案． 【详解】解：， 移项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下： 故选：C． 5. 如图，在中，，为边上的中线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握直角三角形的斜边中线定理．根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：在中，，为的中点， ， ， 故选：A． 6. 一次函数的图象上有两点、，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质判断出函数的增减性是解答本题的关键． 根据一次函数的性质判断出增减性即可解答． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：D． 7. 如图，四边形内接于，是的直径，点在上，连接、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理．连接，根据圆内接四边形的性质求得，再由圆周角定理得到，求得，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 8. “数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果二次函数的图象只经过三个象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 首先配方得到，然后得出抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为，然后根据二次函数的图象只经过三个象限，得到，求解即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为， 二次函数的图象只经过三个象限， 二次函数的图象经过第一，二，三象限 ∴， ∴． 故选：C． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．先提公因式，然后再根据完全平方公式，分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10. 在如图所示的三阶幻方中，有些位置填写了数或汉字(其中每个汉字都表示一个数)．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是_____． 中 国 梦 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．先求得“国”表示的数，再求得“中”表示的数，然后求得“梦”表示的数，最后将它们相加即可． 【详解】解：， 那么国表示的数是， 中表示的数是， 梦表示的数是， 则， 故答案为：． 11. 如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，连接、，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用；求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、正切的定义是解决此题的关键．先利用格点和勾股定理计算、、，再判断的形状，最后求出． 【详解】解：连接、， 则， ， ， ， 是直角三角形． ， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，点在轴负半轴上，点在反比例函数的图象上，若菱形的面积为12，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于，由菱形的性质可知．根据反比例函数中的几何意义，再根据菱形的面积为，即可求出的值．本题考查反比例函数系数的几何意义、菱形的性质，掌握菱形的性质，理解反比例函数系数的几何意义是正确解答的前提． 【详解】解：连接交于， 四边形是菱形， ， 菱形的面积， 顶点在反比例函数的图象上， ， 解得． ∵反比例函数图象在第二象限，则 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，点在上，连接，，并延长至点，使得，连接交于点，若，，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键，根据题意易证，即可得到，再根据全等三角形的判定与性质证得，得到，从而得到，在中，由勾股定理可得：，代入求得，进而得到，最后利用面积公式求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及立方根，负整数指数幂，正确计算是解题的关键． 先计算立方根，负整数指数幂，再计算除法，最后相加减即可． 【详解】解： 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，平方差公式，先根据整式的混合运算进行化简，然后将，代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】解： 当，时，原式 16. 解方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可，熟练掌握求解步骤是解题关键． 【详解】解：， 原方程两边都乘， 得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的解． 17. 如图，已知，利用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得的周长为．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示， 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线以及垂直平分线的性质，根据题意作的垂直平分线交于点，连接，即可求解． 【详解】解：根据作图可得 ∴的周长为 18. 如图，在中，点、是边上的两点，，连接、，，求证：． 【答案】 证明：∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，全等三角形的性质与判定；先根据等边对等角得出，即可得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】略 19. 书院是中国古代教育机构，最早出现在唐玄宗时期，其中“应天书院”“岳麓书院”“嵩阳书院”和“白鹿洞书院”是我国的“四大书院”．某校开展“书院文化讲解员”风采展示活动，甲、乙两位同学分别从嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院古代四大书院中随机选择一个进行讲解． （1）甲选择讲解岳麓书院的概率是_____； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法、概率公式，熟练掌握列表法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中甲选择看A电影的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲乙两同学选择观看同一部电影的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：共有4个书院，甲选择讲解岳麓书院的概率是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：设嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院分别用、、、表示， 列表如下： 共有16种等可能结果，其中甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”的，有7种， ∴甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”的概率为． 20. 某服装店店庆当天，将一款恤在标价的基础上降价10元，再打九折销售．小天妈妈在店庆当天购买了这款恤，实付款比标价便宜了16元，求这款恤的标价． 【答案】这款恤的标价为元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设恤的标价为元，根据题意列出方程求出的值即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设恤的标价为元， 由题意得，， 解得， 答：这款恤的标价为元． 21. 某校九年级数学兴趣小组开展“测量学校操场旗杆”的实践活动，其中一个设计方案如图所示，旗杆垂直于水平地面，在地面上选取，两处（，，在同一条直线上），测得地面上，两点的距离为，分别在点和点处测得旗杆顶端的仰角为和．请根据他们的测量数据，求旗杆的高是多少?（参考数据：，，，，，） 【答案】旗杆的高度大约是 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，利用锐角三角函数的定义解直角三角形是解题的关键．设为，分别在和表示出、，再利用列出方程，代入三角函数值的数据解出的值即可解答． 【详解】解：设为， 在中，， ， ， ． 在中，， ， ， ． 又， ， 解得：， 答：旗杆的高度大约是． 22. 行李托运简单便捷，给人们的出行带来了极大的便利，省事又省心．某客运公司规定旅客可以免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李托运费（元）与行李质量之间的关系如图所示． （1）求与之间的函数表达式； （2）若张先生某次出差时所付的行李托运费用为元，求张先生托运行李的质量． 【答案】（1） （2）张先生托运行李的质量为 【解析】 【分析】本题主要考查求一次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求解函数表达式是解题的关键． （1）根据利用待定系数法，即可求出当行李的质量超过规定时，与之间的函数表达式； （2）令，求出值，此题得解． 【小问1详解】 解：设与的函数表达式为， 由题意可得： 解得： ∴； 【小问2详解】 当，， ， 答：张先生托运行李的质量为． 23. 传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，也是传承和弘扬传统文化的重要载体．某中学在全校七、八年级学生中开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 89.5 八年级 89 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀（）的学生共有多少人？ 【答案】（1）90；；25 （2）八年级的成绩更好，理由如下： 七年级和八年级的平均数一样，但八年级的中位数和众数大， 八年级的成绩更好． （3）580人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、求中位数、众数、由样本估计总体，由扇形统计图和题意得出必要信息和数据是解题的关键． （1）根据众数的定义可得出a的值，求出八年级20名学生的竞赛成绩在D组的人数可得出m的值，再根据中位数的定义求出b的值，即可解答； （2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级，即可得出结论； （3）利用样本估计总体思想求解即可． 【小问1详解】 解：由题中的信息可得，七年级抽取的学生的竞赛成绩众数为90，即； 八年级20名学生的竞赛成绩在A组的有（人），在B组的有（人）， 八年级20名学生的竞赛成绩在D组的有（人）， 八年级20名学生的竞赛成绩在D组的所占百分比为，即； 八年级20名学生的竞赛成绩的中位数是按从小到大顺序排列的第10和第11位的平均数， 八年级20名学生的竞赛成绩的中位数位于C组中，且按从小到大顺序排列的第1和第2位的平均数， 八年级抽取的学生的竞赛成绩中位数为，即． 故答案为：90；；25． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀的学生共有580人． 24. 如图，是的内接三角形，是的直径，是的切线，的平分线交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：是的直径， ． ． 是的切线， ． ． ． ． 又， ． ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟记圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键. （1）根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，由互余关系得，根据圆周角定理，即可得出结论； （2）连接，根据圆周角定理及等腰直角三角形的性质、勾股定理计算即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． 平分， ． ． ， ． ． 25. 某校计划在学校礼堂为毕业班学生举办毕业典礼，想在礼堂入口处设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求B、C所在直线与A、D所在直线均与地面平行，抛物线最高点的五角星（记为点）到的距离为，，，建立如图2所示平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求五角星（点）到的垂直距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出抛物线解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）由题意得出点的横坐标为2，代入抛物线计算即可得，进而求解即可． 【小问1详解】 由题意可得点的坐标为，点的坐标为，则顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将点B的坐标代入上式，得， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 由题意得，点的横坐标为2， ∴代入得， ∴ 五角星（点）到的垂直距离为． 26. （1）如图①，中，，．点P为上动点，则长度的最小值为___________． （2）如图②，中，，，，点P为平面内一点，，于点．求长度最小值． （3）如图③，光明公司在一块四边形荒地进行观赏种植实验，经过测量发现，四边形中，米，米，．种植方案是：将四边形分成一些区域种植不同的观赏作物，其中点在上，，于点P，交于点．现决定先对区域进行种植实验，请你确定的面积是否有最小值，若有最小值，求出的面积最小值；若没有最小值，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）的面积有最小值，平方米 【解析】 【分析】（1）当时，的长最小，此时，根据直角三角形斜边中线的性质即可解答； （2）如图②，以C为圆心，以1为半径画圆，则点P在上运动，过点C作于D，交于M，先根据面积法可得，由垂线段最短可得，即可解答； （3）如图③，作辅助线构建矩形和相似三角形，证明，则，根据直角三角形斜边中线的性质得：，则点P在以O为圆心，以25为半径的圆上运动，结合（2）中的结论即可解答． 【详解】解：（1），， ， ∵点P为上动点， ∴当时，的长最小，此时， ； 即长度的最小值是； 故答案为：； （2）如图②，以C为圆心，以1为半径画圆，则点P在上运动，过点C作于D，交于M， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 长度的最小值是； （3）的面积有最小值， 如图③，延长，交于点N，连接，取的中点为O，过点O作于H，交于M，连接，过点P作于T， ，， 四边形是平行四边形， ， 是矩形， ，， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 是的中点， ， 点P在以O为圆心，以25为半径的圆上运动， ，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 是的中位线， ， ， 由（2）同理得：的最小值为， 的面积有最小值，最小值（平方米）． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了垂线段最短，平行四边形和矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识，熟练掌握垂线段最短和勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $