第17章《勾股定理》复习巩固卷（1）2024－2025学年人教版数学八年级下册

第17章《勾股定理》 复习巩固卷（1） 考试时间:120分钟 满分120分 一、单选题（本大题共10小题，总分30分）） 1．下列数据中不能作为直角三角形的三边长是（　　） A．1、1、 B．5、12、13 C．3、5、7 D．6、8、10 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，连AD，BD，则△ABD的周长为（　　） A．18 B．24 C．12 D．30 3．如图，在一块四边形ABCD空地中植草皮，测得AB＝3m，BC＝4m，DA＝13m，CD＝12m，且∠ABC＝90°．若每平方米草皮需要200元，则需要（　　）元投入． A．16800 B．7200 C．5100 D．无法确定 4．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（　　） A．25 B．36 C．49 D．64 5．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　） A．1米 B．米 C．2米 D．3米 6．如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 7．意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为S1，右边图中空白部分的面积为S2，小聪同学得出了以下四个结论：①S1＝a2+b2+ab；②S2＝c2+ab；③S1＝S2；④a2+b2＝c2．则其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BP平分∠ABC交AC于点P，PE⊥AB于点E，若BC＝8，AC＝6，则△AEP的周长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 9．如图，∠AOB＝30°，OA＝6cm，点M是射线OB上一个动点，当△AOM为直角三角形时，OM的长为（　　） A． B． C． D．或 10．如图所示为“赵爽弦图”，其中△ABE、△CBF、△CDG、△ADH是四个全等的直角三角形，且两条直角边之比为1：2，连接BG、DE，分别交AE、CG于点M、N，则四边形GBED和四边形GMEN的面积比为（　　） A．5：2 B．2：1 C．：1 D．：1 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．若直角三角形两直角边长分别为12和16，则斜边长为　 　． 12．如图，已知AB＝AC，B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为 　 　． 13．如图，Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，则其内部五个小直角三角形的周长之和为　 　． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AC＝8，BC＝4时，阴影部分的面积为 　 　． 15．如图，这是用面积为6的四个全等的直角△ABE，△BCF，△CDG和△DAH拼成的“赵爽弦图”，如果AB＝5，那么正方形EFGH的边长为 　 　． 16．如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，CD⊥AB，∠ABC的平分线交CD于点E，则DE＝ 　 　． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．在△ACB中，∠ACB＝90°． （1）已知a＝6，b＝8，求c的值； （2）已知AB＝10，AC＝9，求BC的值． 18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠A角平分线，DE⊥AB于点E，CD＝2，BC＝6，则求BE的长． 19．如图，有一块四边形的土地，∠D＝90°，AB＝20m，BC＝25m，CD＝12m，AD＝9m，求该四边形土地ABCD的面积． 20．如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，AB＝CD＝25，OB＝7，AC＝4． （1）求OC的长； （2）求BD的长． 21．阅读下列内容，设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，则该三角形是钝角三角形；若③a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形． 例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，由于62＝36＜42+52，故由上面③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题． （1）若一个三角形的三条边长分别是6，7，8，则该三角形是　 　三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； （2）若一个三角形的三条边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，则x的值为　 　． 22．如图，某湿地公园有一块四边形草坪ABCD，公园管理处计划修一条A到C的小路，经测量，∠D＝90°，AD＝7m，DC＝24m，AB＝20m，CB＝15m． （1）求小路AC的长； （2）淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗以2m/s的速度在小路上沿B→C→A的方向奔跑，跑到点A处停止奔跑．现在小狗从点B出发，奔跑t秒后到达小路CA上的某点，此时小狗与淇淇的距离最近，求t的值． 23．某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是A﹣B﹣D和A﹣C﹣D．已知AB＝90米，AC＝150米，点C在点B的正东方120米处，点D在点C的正北方60米处． （1）试判断AB与BC的位置关系，并说明理由； （2）通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：） 24．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E是AB上一点，AD＝3，AE＝BC＝6，∠1＝∠2． （1）求AB的长度； （2）判断△CDE的形状，并说明理由． 25．请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简得a2+b2＝c2，这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： （1）如图2，△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． （2）2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标都包含赵爽弦图，如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为a，较长直角边长为b，且a2+b2＝ab+10，则小正方形的面积为多少？ （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是　 　； A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 （4）请借助图4，利用“双求法”验证勾股定理． 参考答案 一、单选题（本大题共10小题，总分30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C A D D C D B 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．20． 12．． 13．24． 14．16． 15．1． 16．． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．解：（1）如图，∵∠ACB＝90°，a＝6，b＝8， ∴c10； （2）如图，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝9， ∴BC． 18．解：∵DE⊥AB于E，CD＝2， ∵AD是角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DE＝DC＝2，而BC＝6， ∴BD＝6﹣2＝4， 在Rt△BDE中，． 19．解：连接AC， 在Rt△ACD中， ∵AC2＝AD2+CD2， ∴AC2＝92+122， 解得：AC＝15， 在△ABC中，AC＝15，AB＝20，BC＝25， ∵AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC为直角三角形， 则S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC9×1215×20＝204． 即四边形土地ABCD的面积为204． 20．解：（1）在Rt△AOB中， 由勾股定理得，OA24， ∵AC＝4． ∴OC＝OA﹣AC＝24﹣4＝20； （2）在Rt△COD中， 由勾股定理得，OD15， ∴BD＝OD﹣OB＝15﹣7＝8． 21．解：（1）∵82＜62+72， ∴该三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）∵一个三角形的三条边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形， ∴x2＝52+122或122＝52+x2， 解得x＝13或x， 故答案为：13或． 22．解：（1）∵∠D＝90°，AD＝7m，DC＝24m， 在Rt△ADC中，AC25（m）， ∴小路AC的长为25m； （2）如图所示：过B作BH⊥AC， 当小狗在小路CA上奔跑，且跑到点H的位置时，小狗淇淇的距离最近． ∵AB＝20m，CB＝15m．AC＝25m， ∴AC2＝625，AB2+BC2＝625， 即AC2＝AB2+BC2， ∴∠ABC＝90°， 则S△ABCAB•BCAC•BH， 即BH12（m）， HC9（m）， ∵由题意可得：HC+BC＝9+15＝24（m）， 则24÷2＝12（s）， 当小狗在小路CA上奔跑时，小狗需要跑12秒与淇淇的距离最近． 23．解：（1）AB⊥BC， 理由如下：在△ABC中，AB＝90米，AC＝150米，BC＝120米， ∵AB2+BC2＝902+1202＝22500，AC2＝1502＝22500， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC； （2）在Rt△BCD中，BC＝120米，DC＝60米， 由勾股定理得：BD60（米）， AB+BD＝90+60222米，AC+CD＝150+60＝210（米）， ∵222＞210， ∴A﹣C﹣D路线更短． 24．解：（1）∵∠1＝∠2， ∴DE＝CE， 又∵∠A＝∠B＝90°， ∴在Rt△ADE与Rt△BEC中， DE＝CE，AE＝BC， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC， ∴AD＝BE＝3， ∴AB＝BE+AE＝9； （2）△CDE是等腰直角三角形，理由如下 ∵Rt△ADE≌Rt△BEC， ∴∠AED＝∠BCE， ∵∠BCE+∠CEB＝90°， ∴∠CEB+∠AED＝90°， ∴∠DEC＝90°， ∵DE＝CE， ∴△CDE为等腰直角三角形． 25．（1）解：∵AD是BC边上的高， ∴AD⊥BC， ∵AB＝4，AC＝5，BC＝6，BD＝x， ∴CD＝BC﹣BD＝6﹣x， 在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2， 即42﹣x2＝52﹣（6﹣x）2，整理可得12x＝27， ∴； （2）解：设大正方形的边长为c， 根据题意，c2＝18， ∴a2+b2＝c2＝18， ∵a2+b2＝ab+10， ∴ab＝8， 又∵小正方形的边长为：b﹣a， ∴（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2＝18﹣2×8＝2， 即小正方形的面积为2； （3）解：勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故答案为：D； （4）证明：， 梯形的面积又可表示为：， ∴， 即a2+b2＝c2， ∴直角三角形的三边满足此关系式，其中c为斜边，a，b为直角边． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$