精品解析：上海市七宝中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试卷

2025届七宝中学高三（下）开学考试数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 设全集，集合，则______． 2. 已知平面向量，，且，则______． 3. 若复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则_______． 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为____________． 5. 已知随机变量服从二项分布，且，那么一次试验成功概率的值为_____________． 6. 已知函数的定义域和值域都是，则_________. 7. 已知扇形的周长为6cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积是___________． 8. 已知且，则的展开式中的系数的值为______． 9. 已知是函数的图象在轴上的两个相邻交点，若，则_______． 10. 已知首项为的数列的前项和为，定义在上恒不为零的函数，对任意的，都有．若点在函数的图象上，且不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为______． 11. 设，由不等式组表示的封闭区域面积的最小值为______. 12. 已知，存在，当时，都有，则的取值范围是______． 二、单选题（本大题共4题，满分20分） 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 15. 2023年1月底，人工智能聊天程序迅速以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：） A. 75 B. 77 C. 79 D. 81 16. 已知数列是公比为的等比数列，且，则下列叙述中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求角A的大小； （2）若，且的面积为，求a的值． 18. 近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能.某机构在网上随机对人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据： 青年人 中年人 老年人 对该种APP有需求 对该种APP无需求 其中的数据为统计的人数，已知本次被调研的青年人数为. （1）求，的值. （2）在犯错误的概率不超过的前提下，对该种APP的需求，是否与是青年人还是中老年人有关？ 参考公式：，其中. 临界值表： 01 0.05 001 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在三棱锥中． （1）求三棱锥在各个顶点处离散曲率的和； （2）若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点A到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度． 20. 已知双曲线的右顶点，它的一条渐近线的倾斜角为. （1）求双曲线方程； （2）过点作直线交双曲线于，两点（不与点重合），求证：； （3）若过双曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围. 21. 已知函数，且曲线在点处的切线斜率是 （1）求a的值. （2）证明： （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届七宝中学高三（下）开学考试数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 设全集，集合，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义可求. 【详解】由题设有， 故答案为： 2. 已知平面向量，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示求解作答. 【详解】因向量，，且，则有，解得， 所以. 故答案为： 3. 若复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则_______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据复数的运算法则计算可得，再由共轭复数的概念以及模长计算可得结果. 【详解】由可得； 则可得，因此. 故答案为：5 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抽象函数的定义域求法计算即可． 【详解】由，得，所以函数的定义域为． 故答案为： 5. 已知随机变量服从二项分布，且，那么一次试验成功的概率的值为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用独立重复试验的概率公式可得出关于的等式，即可求得的值. 【详解】因为，则， 因为，则，即，解得. 故答案为：. 6. 已知函数的定义域和值域都是，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】先分析的单调性，然后对进行分类讨论或，结合单调性以及可求得结果. 【详解】因为在上单调递减，且， 当时，在上单调递减， 因为函数的定义域和值域都是， 所以，这与矛盾，不符合题意； 当时，在上单调递增， 因为函数的定义域和值域都是， 所以，则，因为， 所以， 故答案为：. 7. 已知扇形的周长为6cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据扇形的周长求出半径，再根据扇形的面积公式计算即可. 【详解】设扇形半径为， 则，解得， 所以该扇形的面积为. 故答案为：. 8. 已知且，则的展开式中的系数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由正态分布的性质可得，再结合二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】由且，则，即， 则对于，有， 有， 故展开式中的系数的值为. 故答案为：. 9. 已知是函数的图象在轴上的两个相邻交点，若，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，根据求，利用建立等量关系可得结果. 【详解】由题意得， 令，得，则， ∴或， ∴或， ∵，∴或，解得或． 故答案为：或. 10. 已知首项为的数列的前项和为，定义在上恒不为零的函数，对任意的，都有．若点在函数的图象上，且不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，可得，求出等比数列的前项和，结合恒成立问题可得的取值范围. 【详解】∵对任意，都有， ∴令，得，即， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴. ∵不等式对恒成立， ∴，解得，故实数的取值范围为. 故答案为：. 11. 设，由不等式组表示的封闭区域面积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】确定直线与曲线的交点间距离，再利用祖暅原理列出面积表达式，利用对勾函数单词性求出最小值. 【详解】令直线与曲线的交点为， 由，得，即，即，因此， 由祖暅原理，该区域面积表示为：， 由对勾函数性质知，函数在是严格减函数，在是严格增函数， 而，且，， 所以该区域面积的最小值． 故答案为： 12. 已知，存在，当时，都有，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令，得，故点在圆心为原点的单位圆上，点在曲线上，转化为向量与的夹角大于，利用数形结合即可解出. 【详解】令，故，故原不等式可化为：， 令，得， 故点在圆心为原点的单位圆上，点在曲线上， 作出大致图象如下： 故不等式的几何意义是：向量与的夹角大于， 设， 则当时，单调递减，当时，单调递增， 故当，故当且仅当时取等号，故， 故时，函数与直线恰好相切，切点为原点， 易知存在，在时使得恒成立， 当时，不存在一个给定的，使得恒成立， 综上，的取值范围是． 故答案为：. 【点睛】有结论点睛：常用的不等式：，，，，，. 二、单选题（本大题共4题，满分20分） 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用充分条件和必要条件的定义判断. 详解】若，则，故充分； 若，则或，故不必要； 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 14. 本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率的加法公式即可求解. 【详解】记吹风为事件，下雨为事件， 因为， 所以既吹南风又下雨的概率为， 故选：B. 15. 2023年1月底，人工智能聊天程序迅速以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：） A. 75 B. 77 C. 79 D. 81 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，进而可得不等式，解不等式即得. 【详解】根据题意得该指数衰减的学习率模型为，当时，，代入得，解得， 当学习率衰减到0.2以下（不含0.2）时，，则， 即，则， 故选：B. 16. 已知数列是公比为的等比数列，且，则下列叙述中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的性质，结合使用导数进行分析，逐一判定． 【详解】对A，若，则, 所以. 当时，,, 设，, 在区间内单调递增， 内单调递减， 所以,与矛盾， 所以，所以，正确，故A正确； 对B，若恒成立，①恒成立， 在①式中由时成立，可得, 若,则, 在①式中取得到 所以与矛盾， 所以，故B正确； 对C，因为，所以. 当时，,,所以. 与假设矛盾，故不成立， 当时，,,所以. 与假设矛盾，故不成立， ， 因为，所以， 当时， (由当且仅当时取等号得到，此结论是高中数学课本习题中常见结论，详细证明参见D中证明) 所以， 所以. 当时，， 所以，则，故C正确； 对D，由可知，且， 所以，即， 设， 由，可知： 当时，单调递增；当时，单调递减． ，即在上恒成立． 当时，，则， 当时，，则，故D错误． 故选：D 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求角A的大小； （2）若，且的面积为，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，求出即可； （2）由三角形面积公式得，再由余弦定理即可得结果. 【小问1详解】 由正弦定理得，即， 由于，所以， 由于，所以. 【小问2详解】 由 可得： ∴， 由余弦定理得：， ∴ 18. 近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能.某机构在网上随机对人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据： 青年人 中年人 老年人 对该种APP有需求 对该种APP无需求 其中的数据为统计的人数，已知本次被调研的青年人数为. （1）求，的值. （2）在犯错误的概率不超过的前提下，对该种APP的需求，是否与是青年人还是中老年人有关？ 参考公式：，其中 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）有关 【解析】 【分析】（1）根据条件，建立方程组，即可求解出的值； （2）根据（1）得出列联表，再求得，即可求解. 【小问1详解】 由题知，解得. 【小问2详解】 由（1）知青年人和中老年人对APP是否有需求的列联表为 青年人 中老年人 合计 对该种APP有需求 对该种APP无需求 合计 所以， 故在犯错误的概率不超过的前提下，对该种APP的需求，与是青年人还是中老年人有关. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在三棱锥中． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点A到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用离散曲率的定义列式计算得解. （2）利用线面垂直的判定性质，结合离散曲率求出，进而求出点到平面距离. （3）利用线面角大小，结合余弦定理列出方程求解即得. 【小问1详解】 由离散曲率的定义得 ，， ，所以． 【小问2详解】 由平面平面，得， 又，平面，则平面， 由平面，得，即，又， 即，解得， 过点A作于点，由平面平面，得， 又平面，则平面， 因此点A到平面的距离为线段的长，在中，， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 过点作交于点，连接， 由平面，得平面，则为直线与平面所成的角， 依题意，， 则， 设， 在，， 由，得，， 因此，而，解得， 所以. 20. 已知双曲线的右顶点，它的一条渐近线的倾斜角为. （1）求双曲线的方程； （2）过点作直线交双曲线于，两点（不与点重合），求证：； （3）若过双曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）首先得到，由渐近线的倾斜角得到斜率，从而求出； （2）分直线的斜率不存在与存在且不为两种情况讨论，设线、点，联立消元、列出韦达定理，通过计算证明； （3）设直线方程为，，由向量共线的坐标表示得到，再由点在双曲线上推导出，再联立直线与得到、、的关系，最后由面积公式及对勾函数的性质计算可得. 【小问1详解】 易知， 又双曲线的渐近线为， ，， 故双曲线的方程为． 【小问2详解】 由已知可得直线的斜率不为， 当直线的斜率不存在时由，解得或， 不妨令，， 所以，， 则，即，所以， 当直线的斜率存在且不为时， 设直线的方程为，，， 联立，整理得， 其中，且时，则， 所以， 所以， ， 即，． 【小问3详解】 由题意可知，若直线有斜率则斜率不为0， 故设直线方程为， 设， 点在双曲线上，， ， ③， 又， ④， 联立， 由，所以， 所以⑤，⑥， 分别在第一象限和第四象限，， 由④式得：， ⑦ 将⑤⑥代入⑦得：， ， 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 21. 已知函数，且曲线在点处的切线斜率是 （1）求a的值. （2）证明： （3）证明： 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导可得，结合已知可求； （2）利用导数求得函数的单调区间，可求函数的最小值可得结论； （3）令，求导，令，求导可得存在，使得，从而可得在上单调递减，在上单调递增，可得函数的最小值，证明最小值大于0即可. 【小问1详解】 因为， 所以，所以， 因为曲线在点处的切线斜率是， 所以， 解得； 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 由，得， 由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以； 【小问3详解】 令， 则， 令，则， 所以在上单调递增， 又， 所以存在，使得， 即，即， 且当时，，则， 当时，，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$