2024年甘肃省临夏州中考数学二模试卷

2024年甘肃省临夏州中考数学二模试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。 1．﹣6的相反数是（　　） A．6 B．﹣6 C． D．﹣ 2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≥﹣1 C．x≤0 D．x≤﹣1 3．如图，这是一个正三棱柱切去一部分后得到的几何体，则该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 4．计算：＝（　　） A．﹣9x4y5 B．﹣4x4y5 C．﹣9x5y4 D．﹣4x5y3 5．在平面直角坐标系中，把直线y＝3x向左平移2个单位长度，平移后的直线解析式是（　　） A．y＝3x+2 B．y＝3x﹣2 C．y＝3x+6 D．y＝3x﹣6 6．物理课上，小琪同学发现一个有趣的现象．如图，一束平行于主光轴DE的光线AB经凸透镜折射后，其折射光线BC与一束经过光心O的光线MN相交于点P，F为焦点，小琪同学测得∠NPF＝50°，∠POF＝20°，她利用所学的数学知识很快计算出了入射光线AB与折射光线BC的夹角∠ABC的度数．聪明的你也一定知道∠ABC的度数是（　　） A．120° B．130° C．150° D．160° 7．“共享单车”为人们提供了一种经济便捷、绿色低碳的共享服务，成为城市交通出行的新方式．小张对他所在小区居民当月使用“共享单车”的次数进行了抽样调查，并绘制成了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法错误的是（　　） A．小张一共抽样调查了74人 B．样本中当月使用“共享单车”30次～40次的人数最多 C．样本中当月使用“共享单车”不足20次的有12人 D．样本中当月使用“共享单车”的不足30次的人数多于40次～60次的人数 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AB的中点，连接DE．若AC＝6cm，则DE＝（　　） A．6cm B．3cm C．2cm D．1cm 9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心的圆，且圆心O在水面上方．若圆被水面截得的弦AB的长为8m，圆心O到AB的距离为3m，则tan∠OAB的值是（　　） A． B． C． D． 10．如图1，在矩形ABCD中，BC＝2AB，M为AD的中点，N是线段BD上的一动点．设DN＝x，MN+AN＝y，图2是y关于x的函数图象，其中Q是图象上的最低点，则a的值为（　　） A．7 B．8 C． D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。 11．分解因式：9a2﹣6ab+b2＝　 　． 12．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣4＝0的一个根是x＝1，则代数式8﹣a﹣b的值为 　 　． 13．随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘新购买的新能源车，去相距200km的古镇旅行，原计划以v km/h的速度匀速前行，因急事实际以计划速度的1.2倍匀速行驶，结果比原计划提前了0.5h到达，则可列方程 　 　． 14．春节期间，小宇去表哥家拜年，好学的他发现在表哥新装修的房子里，钢琴房的背景墙上有用岩板作的几何图案造型．如图，这个图案是由正六边形ABCDEF、正方形EDMN及△FEN拼成的（不重叠，无缝隙），则∠EFN的度数是 　 　． 15．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若∠ABC＝120°，AB＝6，则菱形ABCD的面积为 　 　． 16．如图，半径为的⊙O经过正方形ABCD的两个顶点A，D，与边CD交于点M，过点M作⊙O的切线交BC于点N，若∠CMN＝30°，则BN的长为 　 　． 三、解答题：本大题共6小题，共32分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17．（4分）计算：． 18．（4分）解不等式组：． 19．（4分）化简：． 20．（6分）如图，用直尺和圆规在△ABC内找一点P，使它到三边的距离都相等．（保留作图痕迹，不写作法） 21．（6分）某校从人工智能社团的甲、乙、丙、丁4名学生中任选2名学生参加市人工智能比赛． （1）若甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，则恰好选中乙的概率是 　 　． （2）任意选取2名学生参加比赛，求丙参加的概率．（用画树状图或列表的方法求解） 22．（8分）无人机在生活中被广泛应用，小哲同学喜欢用无人机进行探索研究，寒假期间，他和小组成员共六人，一起利用无人机测量了家附近某大楼BC的高度，他设计的测量方案如下： 课题 测量大楼的高度 测量工具 无人机 测量图例 测量方法 小哲和组员共六人，利用无人机测量大楼BC的高度，无人机在空中点P处． （1）首先测量点P与地面上点A的距离； （2）然后，在点P处测量点A的俯角，楼顶点C的俯角； （3）测量点A与大楼BC的距离AB． 测量数据 （1）点P与地面上点A的距离为100m； （2）在点P处测量点A的俯角为60°，楼顶点C的俯角为30°； （3）测量点A与大楼BC的距离AB为80m． 说明 点A，B，C，P在同一水平面内． 请你根据上述信息，求大楼BC的高度．（结果保留根号） 四、解答题：本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 23．（7分）2024年央视总台春晚以“龘（dá）”字为主视觉符号，体现了中国传统篆刻艺术．某校为了弘扬中国传统文化，举办了以“传承文明”为主题的竞赛，并从七、八年级各随机选取20名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A．x＜85；B.85≤x＜90；C.90≤x＜95；D.95≤x≤100，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息． 七年级C组学生的分数分别为94，92，92，91． 八年级C组学生的分数分别为91，92，93，93，94，94，94，94，94． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七 91 a 95 八 91 93 b （1）填空：a＝　 　，b＝　 　． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在以“传承文明”为主题的竞赛中，哪个年级的学生对“传承文明”的了解情况更好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）该校现有七年级学生1200名，请估计七年级竞赛成绩为优秀的学生人数． 24．（7分）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点A（a，2），D． （1）点D的坐标为 　 　． （2）不等式的解集是 　 　． （3）已知AB∥x轴，以AB，AD为边作菱形ABCD，求菱形ABCD的面积． 25．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长CE，交AB的延长线于点F． （1）求证：CF是⊙O的切线． （2）当BD＝6，sin时，求EF的长． 26．（8分）综合与实践： 问题情境：如图1，在等腰直角三角板ABC和等腰直角三角板DBE中，∠ACB＝∠DEB＝90°，AC＝BC＝4，DE＝BE＝2，点A，D，B在同一条直线上，点C，E，B在同一条直线上，将△BDE绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后，连接CE，AD． 猜想证明：（1）如图2，在等腰直角三角板DBE旋转的过程中，判断△ADB与△CEB是否相似．并说明你的理由． 问题解决：（2）如图3，当旋转角α为60°时，求线段AD的长． （3）在等腰直角三角板BDE旋转的过程中，当点A，E，D在同一条直线上时，请直接写出点D到直线AC的距离． 27．（10分）综合与探究 如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，作直线AC． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若P是抛物线y＝ax2+bx﹣2上的一点，设点P的横坐标为m（﹣3＜m＜0），△APC的面积为S，求S关于m的函数表达式．当m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值． （3）若点M是抛物线y＝ax2+bx﹣2上的一点，过点M作MN∥BC交x轴于点N，是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。 1．【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案． 【解答】解：﹣6的相反数是6． 故选：A． 2．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，再解不等式即可． 【解答】解：由题意得：x+1≥0， 解得：x≥﹣1， 故选：B． 3．【分析】俯视图是从上边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案． 【解答】解：该几何体的俯视图如图所示： 故选：A． 4．【分析】根据单项式乘单项式的运算法则即可得出答案． 【解答】解：原式＝﹣4x5y3 故选：D． 5．【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，把直线y＝3x向左平移2个单位长度所得的直线的解析式是y＝3（x+2）＝3x+6．即y＝3x+6， 故选：C． 6．【分析】根据平行线的性质求得∠ABC，再根据三角形的外角性质求得∠PFO，然后利用对顶角相等求解即可． 【解答】解：∵∠NPF＝50°，∠POF＝20°， ∴∠PFO＝∠NPF﹣∠POF＝50°﹣20°＝30°， ∵光线平行于主光轴， ∴∠ABC+∠OFP＝180°，又∠PFO＝30°， ∴∠ABC＝180°﹣∠PFO＝180°﹣30°＝150°， 故选：C． 7．【分析】将各组人数相加可得总人数，据此判断A；样本中当月使用“共享单车”30～40次的人数最多，据此可判断B；样本中当月使用“共享单车”不足20次的人数有8+4＝12人，据此可判断C；样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数有14+8+4＝26人，40～60次的人数有28人，据此可判断D． 【解答】解：A、小张一共抽样调查了4+8+14+20+16+12＝74（人），故此选项正确，不符合题意； B、样本中当月使用“共享单车”30～40次的人数有20人，50～60次的人数有12人，所以样本中当月使用“共享单车”30～40次的人数最多，故此选项正确，不符合题意； C、样本中当月使用“共享单车”不足20次的人数有8+4＝12（人），故此选项正确，不符合题意； D、样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数有14+8+4＝26（人），40～60次的人数有16+12＝28（人），因为26＜28，所以样本中当月使用“共享单车”的次数不足30次的人数少于40～60次的人数，故此说法错误，符合题意， 故选：D． 8．【分析】先计算AB＝6cm，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，即得答案． 【解答】解：∵AB＝AC，AC＝6cm， ∴AB＝6cm， ∵AD⊥BC，E是AB的中点， ∴． 故选：B． 9．【分析】过O作半径OC⊥AB于C点，根据垂径定理得到AC＝4m，然后根据锐角三角函数的定义即可求解． 【解答】解：过O作半径OC⊥AB于C点， ∵OC⊥AB，弦AB的长为8m， ∴AC＝BC＝AB＝4m， ∴tan∠OAB＝． 故选：A． 10．【分析】由图象右端点的横坐标为，得出，从而求得AB＝5，AD＝10，AM＝MD＝5，作点M关于BD的对称点E，连接AE交BD于N，连接ME交BD于O，连接DE，得y＝AN+MN＝AE，根据两点之间，线段最短，得到此时y最小，最小值为AE的长度，通过证明△MOD∽△BAD，求出，，过点E作EF⊥AD于F，利用勾股定理求出MF＝2，EF＝4，AF＝AM+MF＝7，从而求得AE的长度，即可求解． 【解答】解：∵图象右端点的横坐标为， ∴， ∵矩形ABCD中， ∴∠BAD＝90°，AD＝BC， ∴AB2+AD2＝BD2， ∵BC＝2AB， ∴， ∴AB＝5， ∴AD＝10， ∵M为AD的中点， ∴AM＝MD＝5， 作点M关于BD的对称点E，连接AE交BD于N，连接ME交BD于O，连接DE，如图， ∴MN＝NE，DE＝DM＝5， ∴y＝AN+MN＝AE， 根据两点之间，线段最短，得此时y最小， ∵点M关于BD的对称点E， ∴BD垂直平分ME， ∵∠MDO＝∠ADB，∠BAD＝∠MOD＝90°， ∴△MOD∽△BAD， ∴，即， ∴， ∴， 过点E作EF⊥AD于F， 由勾股定理，得ME2﹣MF2＝EF2＝DE2﹣DF2， ∵DF＝DM﹣MF， ∴， 解得：MF＝2， ∴，AF＝AM+MF＝5+2＝7， ∴， ∵Q是图象上的最低点， ∴a是y的最小值， ∴， 故选：D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。 11．【分析】根据完全平方公式进行分解，即可解答． 【解答】解：9a2﹣6ab+b2＝（3a﹣b）2， 故答案为：（3a﹣b）2． 12．【分析】把x＝1代入一元二次方程ax2+bx﹣4＝0可得到a+b＝4，再把8﹣a﹣b变形为8﹣（a+b），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：把x＝1代入一元二次方程ax2+bx﹣4＝0得a+b﹣4＝0， 所以a+b＝4， 所以8﹣a﹣b＝8﹣（a+b）＝8﹣4＝4． 故答案为：4． 13．【分析】原计划速度为v km/h，则实际速度为1.2v km/h，根据时间＝路程÷速度结合实际比原计划提前0.5h到达，即可得出关于v的分式方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：＝0.5． 故答案为：＝0.5． 14．【分析】正六边形的每个内角为120°，即可求∠DEF，正方形每个内角为90°，即可求∠DEN，进而求∠FEN的大小，根据EF＝EN即可求∠EFN的度数． 【解答】解：∵正六边形的每个内角为120°，正方形每个内角为90°， ∴∠DEF＝120°，∠DEN＝90°， ∴∠FEN＝150°， ∵DE＝EF，DE＝EN， ∴EF＝EN， ∴∠EFN＝＝15°． 故答案为：15°． 15．【分析】由菱形的性质，易得AC⊥BD及∠BAC的度数，然后利用含30°角的直角三角形的性质，求出OA的长，进而求得△AOB的面积，从而求得菱形ABCD的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°， ∴∠BAD＝60°，AC⊥BD， ∴∠BAC＝30°， ∵AB＝6， ∴， ∴， ∴， ∴菱形ABCD的面积＝． 故答案为：． 16．【分析】过点O作OE⊥AD于E，连接OD，先由切线的性质得到∠OMN＝90°，从而得到∠OMD＝60°，得出△ODM是等边三角形，则∠ODM＝∠OMD＝60°，，即可得到∠ODE＝30°，即可求得DE＝3，利用垂径定理，得出AD＝6，则可求得，在解Rt△MCN，求得，即可由BN＝BC﹣CN求解． 【解答】解：过点O作OE⊥AD于E，连接OD，如图， ∵MN是⊙O的切线， ∴∠OMN＝90°， ∵∠CMN＝30°， ∴∠OMD＝180°﹣∠OMN﹣∠CMN＝60°， ∵OM＝OD， ∴△ODM是等边三角形， ∴∠ODM＝∠OMD＝60°，， ∵正方形ABCD， ∴∠ADC＝90°，AD＝CD＝BC， ∴∠ODE＝30° ∵OE⊥AD， ∴AD＝2DE，∠OED＝90°， ∴， ∴， ∴AD＝2DE＝6， ∴BC＝CD＝AD＝6， ∴， 在Rt△MCN中，∠CMN＝30°，∠MCN＝90°， ∴，即 ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共32分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17．【分析】利用负整数指数幂，绝对值的性质，二次根式的运算法则计算即可． 【解答】解：原式＝4﹣（2﹣2）﹣3 ＝4﹣2+2﹣3 ＝6﹣5． 18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式①得：x＞1， 解不等式②得：x＞﹣10， 则不等式组的解集为x＞1． 19．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【解答】解： ＝÷ ＝÷ ＝• ＝1． 20．【分析】分别作∠ABC和∠ACB的平分线，交点即为点P． 【解答】解：由题意知，点P为△ABC三个内角的平分线的交点． 如图，点P即为所求． 21．【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中恰好选中乙的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及丙参加的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中恰好选中乙的结果有1种， ∴恰好选中乙的概率是． 故答案为：． （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中丙参加的结果有：甲丙，乙丙，丙甲，丙乙，丙丁，丁丙，共6种， ∴丙参加的概率为＝． 22．【分析】过P作 PH⊥AB于H，过C作CQ⊥PH于Q，而 CB⊥AB，则四边形 CQHB是矩形，先解Rt△APH，求出PH，AH，得到CQ的长度，再解Rt△PQC，得到PQ的长，即可解决问题． 【解答】解：如图所示： 过P作 PH⊥AB于H，过C作CQ⊥PH于Q，而 CB⊥AB， 则四边形 CQHB是矩形， ∴QH＝BC，BH＝CQ， 由题意可得：AP＝100米，∠PAH＝60°，∠PCQ＝30°，AB＝80米， ∴PH＝APsin60°＝100×＝50（米），AH＝APcos60°＝50（米）， ∴CQ＝BH＝80﹣50＝30（米）， ∴PQ＝CQ•tan30°＝10（米）， ∴BC＝QH＝50﹣10＝40（米）， ∴大楼的高度BC为40米． 四、解答题：本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 23．【分析】（1）结合条形统计图、扇形统计图、七、八年级C组同学的分数，可得； （2）可以对比优秀率； （3）求出七、八年级优秀人数，再相加可得． 【解答】解：＝， 中位数是第10位、第11位的平均数，观察条形统计图可得，中位数在C组， ∴a＝＝92.5， 观察扇形统计图和八年级C组同学的分数可得，b＝94， 故答案为：92.5，94； （2）七年级竞赛成绩为优秀率＝＝60%， 八年级竞赛成绩为优秀率＝20%+45%＝65%， ∵65%＞60%， ∴八年级学生对学生对“传承文明”的了解情况更好（3）七年级优秀人数； （3）1200×60%＝720（人），七年级竞赛成绩为优秀的学生人数大约为720人． 24．【分析】（1）将点A的坐标分别代入正比例函数与反比例函数中，即可得出k的值，再根据反比例函数的对称性可得点B的坐标； （2）利用图象可得反比例函数图象在正比例函数图象下方时，自变量的取值范围； （3）作AH⊥BC于H，由勾股定理求出AB的长，利用菱形的面积公式可得答案． 【解答】解：（1）将A（a，2）代入得： a＝2， ∴a＝， ∴A（，2）， 将A（，2）代入得： ∴k＝2×＝3， ∵点A与D关于原点对称， ∴D（﹣，﹣2）； 故答案为：（﹣，﹣2）； （2）由图象知，当x＜﹣或0＜x＜时，， 故答案为：x＜﹣或0＜x＜； （3）作AH⊥BC于H， ∵A（，2），D（﹣，﹣2）， ∴AH＝4，DH＝3， 由勾股定理得，AD＝5， ∵四边形ABCD是菱形， ∴DC＝AD＝5， ∴菱形ABCD的面积为5×4＝20． 25．【分析】（1）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3＝2∠1，由已知∠4＝2∠1，得到∠4＝∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线； （2）连接AD．由已知条件易求AB的长，进而可求出BF，BE的长，再由勾股定理即可求出EF的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OC． ∵OA＝OC， ∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠1+∠2， ∴∠3＝2∠1， ∵∠ABD＝2∠BAC， ∴∠ABD＝∠3， ∴OC∥BD， ∵CE⊥DE， ∴OC⊥CF， ∵OC是⊙O的半径， ∴CF是⊙O的切线； （2）解：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵DE⊥CF， ∴CF∥AD， ∴∠BAD＝∠F， ∴sin∠BAD＝sin∠F＝＝， ∴AB＝BD＝10， ∵OC＝AB＝5， ∵OC⊥CF，OC＝5，sin∠F＝， ∴sin∠F＝＝＝， 解得BF＝， ∴sin∠F＝＝， ∴BE＝BF＝2， 在Rt△BEF中，由勾股定理看得：EF＝＝． 26．【分析】（1）由∠ACB＝∠DEB＝90°，AC＝BC＝4，DE＝BE＝2，求得AB＝4，DB＝2，∠CBA＝∠CAB＝∠EBD＝∠EDB＝45°，则＝＝，∠ABD＝∠CBE＝45°﹣∠ABE，所以△ADB∽△CEB； （2）取BC的中点H，连接EH，作AG⊥CE于点G，可证明△BEH是等边三角形，则∠BEH＝∠BHE＝60°，EH＝BH＝CH＝2，进而证明∠HEC＝∠HCE＝30°，则∠CEB＝90°，所以C、E、D三点在同一条直线上，求得CE＝BC＝2，CG＝AC＝2，AG＝AC＝2，则DG＝2，所以AD＝AG＝2； （3）分两种情况讨论，一是点B与点C在直线AE的同侧，求得AE＝2，作DK⊥AC于点K，DL⊥CB交CB的延长线于点L，可证明∠DBL＝∠BAE，则＝cos∠DBL＝cos∠BAE＝，求得BL＝，则DK＝4+；二是点A，E，D在同一条直线上，且点B与点C在直线AE的异侧，此时α＞180°，不符合题意． 【解答】解：（1）△ADB∽△CEB， 理由：如图2，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，AC＝BC＝4，DE＝BE＝2， ∴AB＝＝4，DB＝＝2，∠CBA＝∠CAB＝45°，∠EBD＝∠EDB＝45°， ∵＝＝，＝＝， ∴＝， ∵∠ABD＝∠CBE＝45°﹣∠ABE， ∴△ADB∽△CEB． （2）如图3，取BC的中点H，连接EH，作AG⊥CE于点G，则∠AGC＝90°， ∵BH＝CH＝BC＝2，BE＝2， ∴BH＝BE， 由旋转得∠CBE＝60°， ∴△BEH是等边三角形， ∴∠BEH＝∠BHE＝60°，EH＝BH＝CH＝2， ∴∠HEC＝∠HCE， ∵∠BHE＝∠HEC+∠HCE＝2∠HEC＝60°， ∴∠HEC＝∠HCE＝30°， ∴∠CEB＝∠HEC+∠BEH＝90°， ∴∠CEB+∠DEB＝180°， ∴C、E、D三点在同一条直线上， ∵＝cos30°＝， ∴CE＝BC＝×4＝2， ∴CD＝CE+DE＝2+2， ∵∠ACG＝∠ACB﹣∠HCE＝60°， ∴＝cos60°＝，＝sin60°＝， ∴CG＝AC＝2，AG＝AC＝×4＝2， ∴DG＝CD﹣CG＝2+2﹣2＝2， ∵∠AGD＝90°，AG＝DG＝2， ∴AD＝＝AG＝×2＝2， ∴线段AD的长为2． （3）点D到直线AC的距离为4+或4﹣， 理由：如图4，点A，E，D在同一条直线上，且点B与点C在直线AE的同侧， ∵AB＝4，BE＝2，∠AEB＝∠DEB＝90°， ∴AE＝＝＝2， 作DK⊥AC于点K，DL⊥CB交CB的延长线于点L，则∠L＝90°， ∵∠DBL+∠ABE＝180°﹣∠CBA﹣∠EBD＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°， ∴∠DBL＝∠BAE， ∴＝cos∠DBL＝cos∠BAE＝， ∴BL＝＝＝， ∵∠C＝∠L＝∠CKD＝90°， ∴四边形KCLD是矩形， ∴DK＝LC＝BC+BL＝4+； 当点A，E，D在同一条直线上，且点B与点C在直线AE的异侧，此时α＞180°，不符合题意， 综上所述，点D到直线AC的距离为4+． 27．【分析】（1）将点A、B坐标直接代入函数解析式即可得出答案； （2）过点P作x轴的垂线交线段AC于Q，再根据S△APC＝OA•PQ，根据二次函数的性质即可得答案； （3）分两种情况：①当四边形BCMN 为平行四边形时，②当四边形BCNM为平行四边形时，分别求解即可得答案． 【解答】解：（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+2得， ， 解得， ∴该抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2； （2）如图，抛物线y＝x2+x﹣2与y轴交点C（0，﹣2）， 设直线AC的解析式为y＝kx+t， 则， ∴， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣2， 设P（p，p2+p﹣2），则Q（p，﹣p﹣2）， ∴PQ＝﹣p﹣2﹣（p2+p﹣2）＝﹣p2﹣2p， ∴△APC的面积为S＝OA•PQ＝×3（﹣p2﹣2p）＝﹣p2﹣3p＝﹣（p+）2+， ∴当m＝﹣时，S有最大值，S的最大值为； （3）存在． ①如图2，当四边形BCMN 为平行四边形时，CM∥BN． ∵抛物线y＝x2+x﹣2的对称轴为直线x＝﹣1，点C（0，﹣2）． ∴点M（﹣2，﹣2）； ②如图3，当四边形BCNM为平行四边形时，过点M作MQ⊥x轴于点Q． ∵BC＝MN，BC∥MN， ∴∠MNQ＝∠CBO． ∵∠MQN＝∠COB＝90°， ∴△MNQ≌△CBO（AAS）， ∴NQ＝OB＝1，MQ＝OC＝2． 设点， ∴，解得 ，， ∴点 或 ， 综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或 或 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$