专题07分式压轴题（5大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（浙教版）

专题07 分式压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、分式的特殊值 2 类型二、分式运算之运用 3 类型三、分式之乘法公式“活”用 4 类型四、分式的创新题 6 类型五、分式方程的解 7 压轴能力测评 9 1、 分式的概念、有意义及分式的值 1. 分式的概念 一般地，用A，B表示两个整式，A÷B表示成的形式．如果B中含有字母，式子就叫做分式． 2．分式的意义 对于分式而言，当B≠0时，分式有意义；当B＝0时，分式无意义. 3. 分式的值 ①求分式的值，就是把字母的值代入分式即可求得分式的值.； ②如果字母不能求出来，考虑整体代换，以及利用乘方公式进行变形后代换； 二. 分式的基本性质 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：，（A、B、C为整式，B、C≠0） 三、分式的运算 ±＝．[来源:Z:学 ． ． ． 四、分式方程的概念及其解法 1．分式方程 分母中含有未知数的方程叫分式方程； 2．分式方程的解 ①增根：解分式方程后求得根，代入原分式方程分母中，会使分母为零，不是方程的解； ②无解：无解包括两类： 一类是增根； 二类把分式方程化简成. 类型一、分式的特殊值 例1．已知为整数，且分式的值也为整数，则满足条件的所有的值之和为 　　． 变式1-1．对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有　　 A．3 B．4 C．5 D．6 变式1-2．探索： （1）如果，则　　； （2）如果，则　 　； 总结：如果（其中、、为常数），则　 　； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数的值． 例2．若，则的值为 　　． 变式2-1．若的值为，则的值为　　 A． B． C． D．． 变式2-2．已知：，则的值为 　　． 类型二、分式运算之运用 例3．若，则 　　． 变式3-1．若分式，则分式的值等于　　 A． B． C． D． 变式3-2．若，则分式的值为　　． 例4．已知，则　　． 变式4-1． 已知，，满足，．则的值是 　　． 变式4-2． 若，，则　　． 类型三、分式之乘法公式“活”运用 例5．若，则　　． 变式5-1．已知实数满足：． （1）求的值； （2）当时，求的值． 变式5-2．求解下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． 例6．如果，则的值等于　　 变式6-1．已知，则　　． 变式6-2．阅读理解：（请仔细阅读，认真思考，灵活应用） 【例】已知实数满足，求分式的值． 解：观察所求式子的特征，因为，我们可以先求出的倒数的值， 因为 所以 【活学活用】 （1）已知实数满足，求分式的值； （2）已知实数满足，求分式的值． 类型四、分式的创新题 例7．【阅读材料】若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．例如分式，，，，是的“关联分式”． 【解决问题】 （1）已知分式，，请直接判断是不是的“关联分式”？ （2）求分式的“关联分式”； 【拓展延伸】 （3）观察（1）（2）的结果，直接写出分式的“关联分式”：　 　． 变式7-1．定义：若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“互联分式”．如与，因为，，所以是的“互联分式”． （1）判断分式与分式是否是“互联分式”，请说明理由； （2）小红在求分式的“互联分式”时，用了以下方法：设的“互联分式”为，， ， 请你仿照小红的方法求分式的“互联分式”． （3）解决问题：仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数，的值，使是的“互联分式”． 变式7-2． 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． （1）下列三组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有 　　（只填序号）； （2）若，均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”求分式的值． 类型五、分式方程的解 例8．若关于的分式方程无解，则的值为 　　． 变式8-1．关于的方程无解，则　　． 变式8-2．若关于的分式方程有正整数解，则整数的值为　　． 例9．（1）解下列方程：①根为　　；②根为　　；③根为　　； （2）根据这类方程特征，写出第个方程为　　，其根为　　． （3）请利用（2）的结论，求关于的方程为正整数）的根． 变式9-1．我们把形如，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为， ，． 再如为十字分式方程，可化为， ，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则 　　， 　　． （2）若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． （3）若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 变式9-2．已知，则的值为 　． 1．已知，则　　． 2．已知为整数，则能使代数式的值为整数的值之和为　　． 3．若，则　　；　　． 4．设，则 ． 5．若关于的方程无解，则的值是　　． 6．若分式方程的解为整数，则整数　　． 7．若非零实数，，满足，我们称，，为相机组合，记为，，． （1）若满足相机组合，，，求的值． （2）若，，构成相机组合，，，求分式的值． 8．定义：代数式中只含有两个字母（如，，若把其中的一个字母均换成另一个字母，同时另一个字母均换成这个字母，若所得代数式是和原代数式相同的代数式，我们称这样的代数式为“对称式”．如，，等． （1）代数式①，②，③，④中，是对称式的有 　 　． （2）若关于，的代数式是常数，是对称式，求常数的值． （3）在（2）的条件下，若，当时，求的值． 9．阅读下列材料，回答问题： 关于的方程：的解是，；的解是，；的解是，； ①请观察上述方程与解的特征，猜想关于的方程的解； ②请你写出关于的方程的解． 10．阅读下面例题的分析与解答，再回答问题： 例：已知，，求的值 分析：问题中有和，但已经条件中并没有平方项，因而需要从已知条件中变形出和行．若将两个已知等式两边分别相乘，得解题．联想到完全公式，若将第一等式分别平方则可出现和再将第二个等式代入即可解决这个问题． 解： 即 作出什么样变形或者需要先要求出什么式子的值才能进行下一步．这需要我们联想相关的公式和类似的已经会做的题型． 问题： （1）若已知，求和的值； 11．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，， 则和都是“和谐分式”． （1）下列各式中，属于“和谐分式”的是：　　（填序号）； ①；②；③；④ （2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为： 　　． （3）应用：已知方程组有正整数解，求整数的值． 12．阅读材料：小明发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式，他还发现像，等神奇对称式都可以用，表示． 例如：，．请根据以上材料解决下列问题： （1）①，②，③，④中，是神奇对称式的有 　　（填序号）； （2）已知． ①若，，则神奇对称式　　． ②若，且神奇对称式的值为，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 分式压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、分式的特殊值 2 类型二、分式运算之运用 5 类型三、分式之乘法公式“活”用 7 类型四、分式的创新题 10 类型五、分式方程的解 13 压轴能力测评 16 1、 分式的概念、有意义及分式的值 1. 分式的概念 一般地，用A，B表示两个整式，A÷B表示成的形式．如果B中含有字母，式子就叫做分式． 2．分式的意义 对于分式而言，当B≠0时，分式有意义；当B＝0时，分式无意义. 3. 分式的值 ①求分式的值，就是把字母的值代入分式即可求得分式的值.； ②如果字母不能求出来，考虑整体代换，以及利用乘方公式进行变形后代换； 二. 分式的基本性质 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：，（A、B、C为整式，B、C≠0） 三、分式的运算 ±＝．[来源:Z:学 ． ． ． 四、分式方程的概念及其解法 1．分式方程 分母中含有未知数的方程叫分式方程； 2．分式方程的解 ①增根：解分式方程后求得根，代入原分式方程分母中，会使分母为零，不是方程的解； ②无解：无解包括两类： 一类是增根； 二类把分式方程化简成. 类型一、分式的特殊值 例1．已知为整数，且分式的值也为整数，则满足条件的所有的值之和为 　　． 【答案】：0 【解析】：解：， 为整数，分式的值也为整数， 当时，分式，符合题意； 当时，分式值，符合题意； 当时，分式值，符合题意； 当时，分式值，符合题意； 满足条件的的值为0、、、3，所有满足条件的数的和为， 答案：0． 变式1-1．对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】：A 【解析】：解：由题意，， 且为正整数，为非负整数，必为正整数． 为6的正因数，可能为1，2，3，6． 为非负整数，可能为0，1，4． 又为正整数， 或或均符合题意，共3种可能． 选：． 变式1-2．探索： （1）如果，则　　； （2）如果，则　 　； 总结：如果（其中、、为常数），则　 　； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数的值． 【答案】：（1）1； （2）-13；总结：； 应用：2或0； 【解析】：解：探索：（1）已知等式整理得：，即， 解得：；答案：1； （2）已知等式整理得：，即，解得：； 总结：； 答案：； 应用：， 为整数且为整数，， 或0． 例2．若，则的值为 　　． 【答案】：； 【解析】： 解：，， ， 答案：． 变式2-1．若的值为，则的值为　　 A． B． C． D．． 【答案】：D; 【解析】：解：， ， 原式． 选：． 变式2-2．已知：，则的值为 　　． 【答案】：； 【解析】： 解：，， 原式 答案：． 类型二、分式运算之运用 例3．若，则 　　． 【答案】：； 【解析】：解：由，得 则． 答案：． 变式3-1．若分式，则分式的值等于　　 A． B． C． D． 【答案】：B; 【解析】：解：整理已知得； 将整体代入分式得 ． 选：． 变式3-2．若，则分式的值为　　． 【答案】：; 【解析】：解：， ， ． 答案：． 例4．已知，则　　． 【答案】：4； 【解析】：解：设 则 ， 答案：4． 变式4-1． 已知，，满足，．则的值是 　　． 【答案】： 【解析】：解：根据题意得：， ①②得：，即，把代入①得：， 则原式， 答案： 变式4-2． 若，，则　　． 【答案】：3； 【解析】：解：①，②， ①②得：，， 解得：． 答案：3． 类型三、分式之乘法公式“活”运用 例5．若，则　　． 【答案】： 【解析】：解：将方程的两边平方，得：，， ，． 答案：． 变式5-1．已知实数满足：． （1）求的值； （2）当时，求的值． 【答案】：（1） ； （2）11； 【解析】：解：（1），而， ，； （2），， ，即， ，， 即， ． 变式5-2．求解下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】：（1）322； （2）5； （3）207； 【解析】：解：（1），，即， ，即，； （2），，即， ； （3）， 将两边同时除以得，， ，， ， ． 例6．如果，则的值等于　　 【答案】：； 【解析】：解：，，即，则， ，原式， 答案：． 变式6-1．已知，则　　． 【答案】：； 【解析】：解：，． ．．． ， ． 答案：． 变式6-2．阅读理解：（请仔细阅读，认真思考，灵活应用） 【例】已知实数满足，求分式的值． 解：观察所求式子的特征，因为，我们可以先求出的倒数的值， 因为 所以 【活学活用】 （1）已知实数满足，求分式的值； （2）已知实数满足，求分式的值． 【答案】：（1）-10； （2）； 【解析】：解：（1）， ； （2）， ，即， ， ， ． 类型四、分式的创新题 例7．【阅读材料】若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．例如分式，，，，是的“关联分式”． 【解决问题】 （1）已知分式，，请直接判断是不是的“关联分式”？ （2）求分式的“关联分式”； 【拓展延伸】 （3）观察（1）（2）的结果，直接写出分式的“关联分式”：　 　． 【答案】：（1）是； （2）； （3）； 【解析】：解：（1） ， ， ， 是的“关联分式”； （2）设分式的“关联分式”为，根据新定义得： ， ， 分式的“关联分式”为； （3）设分式的“关联分式”为，根据新定义得： ，解得：， 答案：． 变式7-1．定义：若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“互联分式”．如与，因为，，所以是的“互联分式”． （1）判断分式与分式是否是“互联分式”，请说明理由； （2）小红在求分式的“互联分式”时，用了以下方法：设的“互联分式”为，， ， 请你仿照小红的方法求分式的“互联分式”． （3）解决问题：仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数，的值，使是的“互联分式”． 【答案】：（1）是； （2）； （3），； 【解析】：解：（1）与是“互联分式”，理由如下： ， ，， 与是“互联分式”． （2）设的“互联分式”为， ，， ． 的“互联分式”为：． （3）根据题意可得：，解得：． ，． 变式7-2． 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． （1）下列三组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有 　　（只填序号）； （2）若，均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”求分式的值． 【答案】：（1）②③； （2）或．； 【解析】： 解：（1）①，②，③， 属于“友好分式组”的有②③， 答案：②③． （2） ， 与属于“友好分式组”，， 或， ①，②，把①代入， 把②代入， 综上所述：的值为或． 类型五、分式方程的解 例8．若关于的分式方程无解，则的值为 　　． 【答案】：或1 【解析】：解：去分母得：， 解得：， 由分式方程无解，得到，即或，即， 综上，的值为或1． 答案：或1 变式8-1．关于的方程无解，则　　． 【答案】：或或6； 【解析】：解：方程都乘以得，， 当时，即时，方程不成立，方程无解，符合题意； 当，即时，解得， 方程无解，，， 当时，，解得； 当时，，解得． 或或6． 答案：或或6． 变式8-2．若关于的分式方程有正整数解，则整数的值为　　． 【答案】：0； 【解析】：解：原式； ；； ， 分式方程有正整数解，，即， ，， ，，即，， 数的值为：． 答案：． 例9．（1）解下列方程：①根为　　；②根为　　；③根为　　； （2）根据这类方程特征，写出第个方程为　　，其根为　　． （3）请利用（2）的结论，求关于的方程为正整数）的根． 【答案】：（1）①，； ②， ；③，； （2） 出第个方程为，根是，；； （3），．； 【解析】：解：（1）①去分母，得：，即，， 则，，解得：，， 经检验：，都是方程的解； ②去分母，得：，即，， 则，，解得：，， 经检验：，是方程的解； ③去分母，得：，即，，则，， 经检验，是方程的解； （2）出第个方程为，解是，； （3），即， 则或，解得：，． 变式9-1．我们把形如，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为， ，． 再如为十字分式方程，可化为， ，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则 　　， 　　． （2）若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． （3）若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】：（1），； （2）； （3）； 【解析】：解：（1）可化为， ，． （2）由已知得，， ． （3）原方程变为， ，，． 变式9-2．已知，则的值为 　． 【答案】：　4或8； 【解析】：解：，， ，或， ①由得，，， 把代入得：； ②由得：， ， 综上所述，的值是4或8； 答案：4或8． 1．已知，则　　． 【答案】：1； 【解析】：解：，，． 原式， 当时，原式． 答案：1． 2．已知为整数，则能使代数式的值为整数的值之和为　　． 【答案】：-4； 【解析】：解： ， 分式的值为整数，，， ，，1，．． 答案：． 3．若，则　　；　　． 【答案】：，1； 【解析】：解：， ，即， 则， ， 则（负值舍去）， ， 答案：，1． 4．设，则 ． 【答案】：； 【解析】：解：，， ，即 ； 5．若关于的方程无解，则的值是　　． 【答案】：3或1； 【解析】：解：去分母，得：， 整理，得：， 当时，分式方程无解，则，解得：； 当整式方程无解时，， 答案：3或1． 6．若分式方程的解为整数，则整数　　． 【答案】：； 【解析】：解：方程两边同时乘以得， 得，得， ，为整数，或， 为增根，， ． 答案：． 7．若非零实数，，满足，我们称，，为相机组合，记为，，． （1）若满足相机组合，，，求的值． （2）若，，构成相机组合，，，求分式的值． 【答案】：（1）； （2）-2； 【解析】：解：（1）满足相机组合，，， ，， ，， 将检验是方程的根，； （2），，构成相机组合，，， ，， ． 8．定义：代数式中只含有两个字母（如，，若把其中的一个字母均换成另一个字母，同时另一个字母均换成这个字母，若所得代数式是和原代数式相同的代数式，我们称这样的代数式为“对称式”．如，，等． （1）代数式①，②，③，④中，是对称式的有 　 　． （2）若关于，的代数式是常数，是对称式，求常数的值． （3）在（2）的条件下，若，当时，求的值． 【答案】：（1）②③④； （2）-1； （3）8； 【解析】： 解：（1）由题知，因为与不相同，所以①不是对称式． 因为，所以②是对称式． 因为，所以③是对称式． 因为，所以④是对称式． 答案：②③④． （2）因为关于，的代数式是常数，是对称式， 所以， 得，， 因为，所以，所以， 解得． （3）将代入等式得， ， 得，， 因为，所以， 所以． 9．阅读下列材料，回答问题： 关于的方程：的解是，；的解是，；的解是，； ①请观察上述方程与解的特征，猜想关于的方程的解； ②请你写出关于的方程的解． 【答案】：①； ②； 【解析】：解：①根据题意得：方程的解为，； ②方程变形得：， ，， 则，． 答案：①；② 10．阅读下面例题的分析与解答，再回答问题： 例：已知，，求的值 分析：问题中有和，但已经条件中并没有平方项，因而需要从已知条件中变形出和行．若将两个已知等式两边分别相乘，得解题．联想到完全公式，若将第一等式分别平方则可出现和再将第二个等式代入即可解决这个问题． 解： 即 作出什么样变形或者需要先要求出什么式子的值才能进行下一步．这需要我们联想相关的公式和类似的已经会做的题型． 问题： （1）若已知，求和的值； （2）若已经，则　　； 【答案】：（1）7；47； （2）23； 【解析】：解：（1）将两边平方可得：，所以； 将两边平方可得：， 可得：； （2），，， 将两边平方可得：， 可得：；答案：23； 11．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，， 则和都是“和谐分式”． （1）下列各式中，属于“和谐分式”的是：　　（填序号）； ①；②；③；④ （2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为： 　　． （3）应用：已知方程组有正整数解，求整数的值． 【答案】：（1）①③④； （2）； （3）或．； 【解析】：解：（1）①，故是和谐分式；②，故不是和谐分式； ③，故是和谐分式；④，故是和谐分式； 答案：①③④； （2）， 答案：； （3）解方程组得， 方程组有正整数解，即且能被5整除， 解得或． 12．阅读材料：小明发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式，他还发现像，等神奇对称式都可以用，表示． 例如：，．请根据以上材料解决下列问题： （1）①，②，③，④中，是神奇对称式的有 　　（填序号）； （2）已知． ①若，，则神奇对称式　　． ②若，且神奇对称式的值为，求的值． 【答案】：（1）①④； （2）①； ②0或．； 【解析】：解：（1）①交换、后为，故①是神器对称式； ②交换、后为，故②不是神器对称式； ③交换、后为，故③不是神器对称式； ④交换、或交换、或交换、后都是，故④是神器对称式； 答案：①④； （2），，， ①，，，，， 答案：； ②，， ，， ，或， 的值为0或． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$