5.2 余弦函数的图象与性质再认识-【一线调研】2024-2025学年高中数学同步讲练测必修第二册（北师大版）

第一章 三角函数 反思感悟求与正弦函数有关的函数的 函数的最值或值域,应利用换元法,结合正弦函数 的性质、二次函数的性质求解, 值域或最值的常用方法 巩固调练6(1)函数y=sin}x-3sinx十2的 (1)一般函数的值域求法有观察法、配方法、判 最小值为 ( 别式法等,而正弦函数是一种特殊的函数,其一般 ) A.2 B.0 方法也适用,但要结合正弦函数本身的性质. (2)求形如y=a十bsinx(b去0)的函数的最 D.6 值或值域,一般利用正弦函数的有界性(一1< [n2π| (2)函数y-sinx,x 6'3 的值域为 sinx 1)求解,当b>0时,ym=a+b;当$ 0 时,ymx-a-b. (3)求形如y=Asin}x十Bsinx十C(A≠0)的 5.2 余弦函数的图象与性质再认识 夯实·必备知识 知识清单 一、余弦函数的图象 即可,这是利用诱导公式cosx=sin(x+)得 y-cos xxeR 出的. 二、余弦函数的性质 函数 y=cosx 定义域 B 将正弦曲线y=sinx向左平移 值域 [-1,1] 个单位长度得到 奇偶性 偶函数 先在平面直角坐标系内描出五个关键点,即 在区间[(2 -1),2],Z上都单调 [烟 (0.1)(,o).(n.-1)(,o).(2n1) 单调性 递增; 然后用光滑曲线将这五个点顺次连接起来 得y=cosx,xe[0.2n]的图象,最后向左、右 在区间[2,(2+1)],Z上都单调 平移(每次平移2n个单位长度)得余弦函数 递减 y-cosx,xeR的图象 周期性 最小正周期是2x 名师点拨1.余弦函数图象中五点的 当工三2kπ,bEZ时,余弦函数取得最大 确定 值1; y=cosx,x[0,2π]的图象上的关键五点分 最值 当x-(2十1)π,bZ时,余弦函数取得最 为两类:(1)图象与x轴的交点;(2)图象上的最高 小值一1 点和最低点.y=cosx,x[0,2n]与x轴有两个 图象的 交点,即(,o)(3-,.),图象上有两个最高点,即 对称轴 x-kπ,bZ (0,1),(2n,1),一个最低点(n,-1). 图象的 (1+})#Ez# 2.要得到余弦函数y三cos工的图象,只需把 对称中心 .15· 高中同步讲练测·一线调研 数学·必修第二册·BS 名师点拨1.余弦函数有单调区间,但不 值或最小值. 3.利用余弦函数的单调性比较两个余弦函数 是定义域上的单调函数,即余弦函数在整个定义域 内不单调. 值的大小,必须先看两角是否同属于这一函数的同 2.余弦函数图象的对称轴一定过余弦函数图 一单调区间,若不属于,先化至同一单调区间内,再 比较大小. 象的最高点或最低点,即此时的余弦函数值取最大 精研·核心题型 题型一 用五点法作余弦函数的图象 巩固调练1作出函数y=-cosx十1,xC 例1用五点法作y-2cosx-1在区间[0, [0,2]的图象. C 2x]上的图象时,应取的五点为 ) A.(o,1)#(2,o),(rn,-1),(3,o),(2nx,1) B.(0,1),(,-1),(n,-3),(3π,-1) (2π,1) C.(0,1),(π,-3),(2π,1),(3π,-3), (4n,1) 题型二 根据余弦函数的图象求角的范围 D.(0,1)(3-1),(,o),(-1) (22) 的x的取值集合. 反思感悟用五点法画函数y-Acosx十 b(A0),x[0,2n]的图象的步骤 (1)列表: :l{ 0 2 2πt 1 0 -1 0 y-cosx _ y-Acosx+bA+b -A十b A+b (2)描点: 反思感悟用余弦函数图象解不等式的 步骤 在平面直角坐标系中描出(0,A十b).(,),(n, (1)作出余弦函数在区间[0,2r]上的图象. A+b)#(3#,6),(2x,A+)五个点. (2)写出不等式在区间[0,2x]上的解集. (3)根据余弦函数周期确定取值范围. (3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点顺次 巩固谓练2满足cosx0,x[0,2π]的x 连接起来. 的取值范围为 ·16. 第一章 三角函数 题型三 利用余弦函数图象判断方程根的个数 反思 感悟利用余弦函数图象处理函数的 一cosx一0的根的个数. 定义域问题 一些函数的定义域可以借助函数图象直观地 观察得到,但同时要注意区间端点的取舍, 巩固调练4(1)函数y=2cosx-2的定义 域是 (2)函数y= 1-2cosx+lg(2sinx-1)的定 义域是 反思感悟与余弦函数图象有关的根的 题型五与余弦函数有关的函数的奇偶性、对 称性问题 个数问题的处理策略 判断f(x)一Acosx=0(A关0)的根的个数 例5判断下列函数的奇偶性: 时,运用数形结合的方法,转化为判断函数图象交 (1)f(x)-xcosx; 点的个数,由于余弦函数的图象都是介于y一-1 与y-1之间,只需考虑满足一A<f(x)<A的x (3)f(x)一 cosx 的范围,在该范围内f(x)的图象与y一Acosx的 1-sin2. 图象的交点的个数即方程根的个数. 巩固谓练3方程lx-cosx在(-oo,十oo) ( 内的所有根的和为 ) A.2 B.1 C.0 D.-1 题型四 求与余弦函数有关的函数的定义域问 反思感悟判断与余弦函数有关的函数 例4(1)已知函数f(x)的定义域为[0,1),求 f(cosx)的定义域; 奇偶性的处理方法 (2)求函数f(x)=lgcosx十 25一x^{*}的定 (1)判断函数的奇偶性时,必须先检查其定义 义域. 域是否关于原点对称,如果是,再验证f(一x)是 否等于一f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性; 如果不是,那么该函数既不是奇函数,也不是偶 函数. (2)判断与余弦函数有关的函数的奇偶性时, 需注意诱导公式的合理运用. ◇巩冒调练5下列函数中,既是偶函数又存在 零点的是 ( _~_ A.y-2sinx+1 B.y=2sinx-3 C.y-2cosx+1 D.y-2cosx-3 .171 高中同步讲练测·一线调研 数学·必修第二册·BS 题型六 求与余弦函数有关的函数的值域与最 cosx,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配 值问题 方法求值域或最值即可,求解过程中要注意t一cos 1 x的有界性. 巩眉训练6已知函数y-2cosx的定义域为 的最大值和最小值,则M十m=__. (2)函数y=cos②x-4cosx十5的值域为 反愈感悟求与余弦函数有关的函数的 值域的常用方法 (1)求解形如y=acosx十b(a去0)的函数的 最值或值域问题时,利用余弦函数的有界性 (一1<cosx<1)求解,求余弦函数取最值时相应 自变量x的取值集合时,要注意考虑余弦函数的 周期性. (2)求解形如y=acos^②x十bcosx十c(a≠0) 的函数的最值或值域问题时,通过换元,令7 86 函数y一Asin(wx十c)的性质与图象 6.1 探究对一sinx的图象的影响 6.2 探究 对y=sin(x十)的图象的影响 6.3 探究A对y=Asin(wx十)的图象的影响 夯实·必备知识 知识清单 y=sinx图象上的所有点向左(>0)或向右 一、三角函数的图象变换 个单位长度得到的(可简记为左 1.左、右伸缩变换 “十”右“一”), 函数y=sinax的图象是将函数y=sinx图 向左(>0)或向右(q<0) 即-sinx- 平移个单位长度 →y-sin(ax十). 时)或伸长(当0<a<1时)到原来的一倍(纵坐标 3.上、下伸缩变换 函数y-Asin(ax十)(A>0)的图象是将函 不变)得到的,即y一 数y=sin(x十)图象上的每个点的纵坐标伸长 纵坐标不变,横坐标 (当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的 sin2 A倍(横坐标不变)得到的,即 y=sin(ax十g) 横坐标不变,纵坐标 sinx. 伸长(A>1)或缩短(0{<A<1)到原来的A倍 2.左、右平移变换 y-Asin(ax十). 函数y一sin(ax十)的图象,可以看作将函数 .18.