2025届高考物理二轮复习专题讲义：万有引力与航天

2025高考物理二轮复习 万有引力与航天 课前学习任务 一、目标要求 1.会利用开普勒定律分析天体的运行规律。 2.会应用万有引力定律比较卫星的运行参量。 3.熟悉多星模型，会分析卫星的变轨和对接、追及相遇问题。 二、必备知识 1　人造卫星的运行规律 卫星的 发射 地球的第一宇宙速度：v＝＝7.9 km/s 是最小的发射速度和最大的环绕速度 (天体)卫星在 圆轨道上运行 2.关于人造卫星的变轨问题的几个结论 (1)点火加速，v突然增大，G<m，卫星将做离心运动。 (2)点火减速，v突然减小，G>m，卫星将做近心运动。 (3)同一卫星在不同圆轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。 (4)卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。 3.两卫星相距最近和最远满足的条件 (1)相距最近：两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。 (2)相距最远：两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)。 课堂考点突破 考点1　开普勒定律与万有引力定律的应用 考向1　开普勒行星运动定律的应用 例1如图所示，霍曼转移轨道是以较低能耗从地球发送探测器到火星的转移轨道，该轨道以太阳为焦点，近日点、远日点分别与地球轨道、火星轨道相切。在地球上将火星探测器发射，探测器从地球轨道出发，在太阳引力作用下，沿霍曼转移轨道无动力运行到达火星轨道。地球、火星的公转轨道可近似为圆轨道，火星公转轨道半径约为地球公转轨道半径的1.5倍，则探测器从地球轨道运动至火星轨道用时约为(　　) A．0.4年 B．0.7年 C．1年 D．1.4年 考向2　重力和万有引力的关系 例2　宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看作质量分布均匀的球体，半径为R。假设航天员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在该行星极点处，弹簧测力计的读数为F1＝F0；第二次在该行星赤道处，弹簧测力计的读数为F2＝；第三次在该行星赤道平面内深度为的隧道底部，示数为F3；第四次在距该行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中，示数为F4。已知均匀球壳对壳内物体的引力为0，则以下判断正确的是(　　) A．F3＝　 B．F3＝，F4＝0 C．F3＝，F4＝0 D．F3＝4F0，F4＝ 考向3　天体质量和密度的估算 例3　(2024·山东卷)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为(　　) A．　　 B．　　　 C．　　 D． 考向4　万有引力定律的应用 例4　行星绕恒星运动的轨道半径不同，周期就不同，行星表面单位面积单位时间接收到的辐射能量也不同。如图所示为火星和地球环绕太阳运动的示意图。设火星绕太阳做圆周运动的周期为T1，地球绕太阳做圆周运动的周期为T2。在直射时，火星表面单位面积单位时间接收到的辐射能量为E1，地球表面单位面积单位时间接收到的辐射能量为E2。假定太阳的能量辐射各向均匀，则下列关系正确的是(　　) A．　　　 B． C．＝ D． 考点2　人造卫星和天体运动 考向1　人造卫星的运行规律 例5　中国空间站正常绕地运行的轨道可视为圆形，轨道平面与赤道平面的夹角约为42°，轨道离地高约400 km，每天绕地球约转15.4圈，绕行方向自西向东，如图所示。地球半径约为6400 km，下列说法正确的是(　　) A．空间站绕地运行轨道的圆心与地球球心重合 B．空间站绕地运行的线速度比月球绕地运行的线速度小 C．空间站绕地运行的角速度比地面上物体随地球自转的角速度小 D．空间站中航天员所受的重力小，不及其在地面所受重力的十分之一 考向2　双星和多星问题 例6　如图所示，某双星系统中质量较大的B星球正在“吸食”质量较小的A星球的表面物质，从而实现质量转移。若“吸食”过程中A、B球心间距离不变，运动轨道均视为圆周，则在“吸食”的最初阶段，下列说法正确的是(　　) A．A、B运动的周期变大 B．A、B之间的万有引力保持不变 C．B星球做圆周运动的轨道半径变大 D．A星球做圆周运动的线速度变大 考点3　卫星的变轨和追及相遇问题 考向1　变轨问题 例7　(2024·湖北卷)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则(　　) A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同 B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小 D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大 考向2　追及相遇问题 例8 　(多选)如图所示，a、b两颗卫星分别在同一平面内的两个轨道上沿顺时针方向绕地球做圆周运动，它们到地球表面的距离分别为R和2R，此时它们相距最近，时间t后二者第一次相距最远。已知地球半径为R，引力常量为G。下列说法中正确的是(　　) A．两颗卫星绕行的线速度之比 B．两颗卫星绕行的周期之比 C．地球的质量M＝ D．地球的密度ρ＝ 课后提升训练 1．(多选)(2024·湖南卷)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集，并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是(　　) A．其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度 B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度 C．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的 倍 D．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的 倍 2．(多选) 宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星球位于边长为R的等边三角形的三个顶点上，并绕其中心O做匀速圆周运动。忽略其他星球对它们的引力作用，引力常量为G，以下对该三星系统的说法正确的是(　　) A．每颗星球做圆周运动的半径都为R B．每颗星球做圆周运动的加速度都与三颗星球的质量无关 C．每颗星球做圆周运动的周期都为2πR D．若距离R和质量m均增大为原来的3倍，则每颗星球的线速度大小不变 3．(2024·安徽卷)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900 km，周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时(　　) A．周期约为144 h B．近月点的速度大于远月点的速度 C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度 D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 4．(2023·湖北卷)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出(　　) A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8 B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大 C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4 D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前 5．(多选)(2024·河北卷)2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通信。鹊桥二号采用周期为24 h的环月椭圆冻结轨道(如图)，近月点A距月心约为2.0×103 km，远月点B距月心约为1.8×104 km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是(　　) A．鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12 h B．鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1 C．鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线 D．鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9 km/s且小于11.2 km/s 6．(多选)如图所示，近日，某公司发布了全球首款支持卫星通信技术的智能手机。该手机能通过天通一号卫星与外界进行联系。目前，我国已成功发射天通一号01、02、03三颗静止轨道卫星。这些卫星的运行轨道距地球表面的高度约为地球半径的5.6倍。忽略地球自转。对于该系列卫星，下列说法正确的是(　　) A．可以在汕头的上空保持相对静止 B．不同质量的天通一号卫星的环绕速率相等 C．绕地心运行的角速度比月球绕地心运行的角速度大 D．向心加速度比地球表面重力加速度大 7．(2023·山东卷)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为(　　) A．30π　　　　 B．30π C．120π D．120π 答案解析 课堂考点突破 例1　 B　霍曼转移轨道为椭圆，其轨道半长轴r约为地球公转轨道半径r0的n倍，则n＝＝1.25，设探测器经过转移轨道的时间为t，则有，其中T0＝1年，解得t＝T0≈0.7年，故B正确。 例2　 B　设该行星的质量为M，则质量为m的物体在极点处受到的万有引力F1＝＝F0；由于在赤道处，弹簧测力计的读数为F2＝，则Fn2 ＝ F1－F2 ＝ F0 ＝ mω2R；行星半径以内的部分的质量为M′＝物体在处受到的万有引力F3′＝F0，物体需要的向心力Fn3＝mω2·F0，所以在赤道平面内深度为的隧道底部，弹簧测力计的示数为F3＝F3′－Fn3＝F0；物体在距行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中时，物体受到的万有引力恰好提供向心力，所以弹簧测力计的示数为F4＝0，故B正确。 例3　 D　“鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道上运行时，由开普勒第三定律有＝k，对地球同步卫星由开普勒第三定律有＝k′，则有，D正确。 例4　 A　将行星绕太阳运动简化为圆周运动，由万有引力提供向心力，对火星有＝m火，火星表面单位面积单位时间接收到的辐射能量为E1＝，对地球有G＝m地，地球表面单位面积单位时间接收到的辐射能量为E2＝，解得，故选A。 例5　 A　因为万有引力提供向心力，指向地球球心，可知空间站绕地运行轨道的圆心与地球球心重合，A正确；月球绕地的运行周期大于空间站绕地的运行周期，由得T＝，可知月球运行的轨道半径比空间站运行的轨道半径大，由得v＝，可知空间站的线速度大于月球的线速度，B错误；空间站的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，由＝mω2r得ω＝，因此空间站的角速度大于地球同步卫星的角速度，即大于地球上物体随地球自转的角速度，C错误；根据＝mg可知航天员在空间站所受的重力大于其在地面所受重力的十分之一，D错误。 例6　 D　设A、B星球的质量分别为mA、mB，稳定的双星系统两星球角速度大小相等，根据万有引力提供向心力，对A星球有G＝mAω2rA，同理对B星球有G＝mBω2rB，r＝rA＋rB，联立可得G＝ω2r，则ω＝，由于质量在两星球间转移，总质量不变，可知角速度大小不变，由T＝知A、B运动的周期不变，故A错误；由万有引力定律F＝G知，若mB增大，则mA减小，mAmB乘积要变化，可知万有引力变化，故B错误；由于两星球的向心力大小始终保持相等，有mAω2rA＝mBω2rB，则，B星球质量较大，吸食后质量更大，质量较小的A星球质量更小，则变大，即rA变大，rB变小，由于角速度大小不变，由v＝ωr知，B星球线速度变小，A星球线速度变大，故C错误，D正确。 例7　 A　变轨前、后，根据a＝可知，空间站在P点的加速度相同，A正确；由于变轨后的轨道半长轴大于变轨前的轨道半径，则根据开普勒第三定律可知，空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，B错误；变轨时，空间站喷气加速，因此变轨后其在P点的速度比变轨前的大，C错误；变轨后，空间站在近地点的速度最大，大于变轨后在P点的速度，结合C项分析可知，变轨后空间站在近地点的速度大于变轨前的速度，D错误。 例8　 BD　由题意知a卫星的绕行半径为2R，b卫星的绕行半径为3R，由万有引力定律有G，得v＝，则，故A错误；由G＝m2r，可得T＝2π，所以两颗卫星绕行的周期之比，故B正确；由G＝mω2r可得ω＝，由题意有ωat－ωbt＝π，解得M＝，故C错误；由ρ＝πR3，解得ρ＝，故D正确。 课后提升训练 1．BD　地球上的第一宇宙速度等于卫星在近地轨道的环绕速度，根据万有引力定律知，结合mg＝得第一宇宙速度v＝，又g月＝g地，R月＝R地，可知返回舱相对月球的速度小于地球上的第一宇宙速度，选项A错误，B正确；根据万有引力定律知，在近地(月)轨道上有R，又GM＝gR2，得T＝，可得，可知选项C错误，D正确。 2．ACD　由几何关系知每颗星球做圆周运动的半径r＝R，故A正确；任意两颗星球之间的万有引力为F＝，一颗星球受到的合力F1＝F，合力提供向心力，＝ma，解得a＝，与三颗星球的质量m成正比，故B错误；根据合力提供向心力有r，解得T＝2πR，故C正确；由，解得v＝ ，距离R和质量m均增大为原来的3倍，则每颗星球的线速度大小不变，故D正确。 3．B　根据开普勒第三定律有，可得鹊桥二号在捕获轨道运行时周期约为T2＝288 h，A错误；根据开普勒第二定律可知近月点的速度大于远月点的速度，B正确；由捕获轨道进入冻结轨道，鹊桥二号需要减速，做向心运动，所以在捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；根据＝ma，可得a＝，可知在捕获轨道近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。 4．B　火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2，根据开普勒第三定律有，可得＝ ，故A错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确；在星球表面根据万有引力定律有G＝mg，由于不知道火星和地球的质量之比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度之比，故C错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有ω火＝，ω地＝，要发生下一次火星冲日则有t＝2π，得t＝> T地，可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，故D错误。 5．BD　由开普勒第二定律知，离月球越远，卫星的速度越小，则鹊桥二号从C经B到D的运动时间应该大于12 h，A错误；根据＝ma可知，结合题给数据得，B正确；鹊桥二号在C、D两点的速度方向沿轨迹切线方向，不垂直于其与月心的连线，C错误；鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于第一宇宙速度7.9 km/s且小于第二宇宙速度11.2 km/s，D正确。 6．BC　天通一号三颗卫星只能在地球静止轨道上运行，所以该系列卫星不可能在汕头的上空保持相对静止，A错误；根据万有引力提供向心力有G，可得地球卫星的环绕速度大小v＝，天通一号三颗卫星的轨道半径相等，则环绕速率相等，与卫星的质量无关，B正确；根据万有引力提供向心力有G＝mω2r，解得ω＝，天通一号三颗卫星的轨道半径小于月球的轨道半径，故绕地心运行的角速度比月球绕地心运行的角速度大，C正确；根据万有引力提供向心力可得＝ma，由地球表面万有引力等于重力可得＝mg，联立可得a≈g，D错误。 7．C　设地球半径为R，由题知，地球表面的重力加速度为g，则有mg＝G，月球绕地球公转有G＝m月r，r＝60R，联立解得T＝120π，故选C。 学科网（北京）股份有限公司 $$