精品解析：2025年河南省安阳市安阳县九年级中考一模数学试题

2024-2025学年九年级全年教材学情抽样调研 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．请用0.5毫米黑色水笔直接答在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点在反比例函数（）的图象上，则该函数图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如图，在中， ，，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 6. 如图，为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为，踏板长为 ，支撑点A到踏脚D的距离为，现在踏脚着地，则捣头点E离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，C、D、E、F、G均为圆周上的点，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心在第一象限内画线段，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 小明利用如图1所示的电路探究电流与电阻的关系，已知电源电压为 且保持不变，更换了5个阻值不同的定值电阻，依据五次实验的数据描点绘制了如图2所示的图象，已知I与成反比例函数关系．以下说法不正确的是（ ） A. 本实验中电压表的读数为 B. 当定值电阻 时，电流表的示数为 C. 当电流表的示数为 时，定值电阻 D. 电流I与电阻之间的函数关系式为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个三视图形状都一样的几何体：_____________． 12. 如图，已知，， ，则________． 13. 如图，现有四张无差别不透明卡片，正面印有安阳四大景点．将这四张卡片背面向上洗匀，王明和李洋先后分别从中随机抽取一张（不放回）．他们俩抽取的这两张卡片中，是殷墟和中国文字博物馆的概率是________． 14. 如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上．若， ，则阴影部分的面积为_______________． 15. 在中， ，，，点D在边上，且，线段绕点D顺时针旋转 （）后，点A旋转至点E，当点E恰好落在的边上时，的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）已知，求的值． 17. 如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连．为了计算、两点之间的距离，经测量得：，，米，求、两点之间的距离．（参考数据： ，，） 18. 如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与的图象交于点C，求的长． 19. 文峰塔（图1）位于河南省安阳市古城内西北隅，建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，为全国重点文物保护单位．文峰塔由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．如图2，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量文峰塔的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与文峰塔顶点A在同一直线上，已知米，米，目测点D到地面的距离米，到文峰塔的水平距离米，求文峰塔的高度． 20. 如图，是的直径，点C在上，且，． （1）尺规作图：过点作的垂线，交劣弧于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（）所作的图形中，求的正弦值． 21. “动若脱兔”是一个成语，这个成语的含义是在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样．兔子跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． （1）兔子一次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式； （2）若兔子起跳点2米处有一个高度为米的木桩，请问兔子是否能成功越过木桩，避免守株待兔的故事再次上演？ 22. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： （1）直接写出的最小值 ； （2）比较代数式与的大小，并说明理由； （3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 23. 已知点C为和 的公共顶点，将 绕点C顺时针旋转 ，连接，． （1）问题发现：如图1所示，若和 均为等边三角形，则线段与线段的数量关系是________； （2）类比探究：如图2所示，若 ， ，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：如图3所示，若 ，， ，，当点B，D，E三点共线时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级全年教材学情抽样调研 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．请用0.5毫米黑色水笔直接答在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形；一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 点在反比例函数（）的图象上，则该函数图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．将代入即可求出k的值，再根据解答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数（）的图象上， ∴， ∴反比例函数为：， A．，故此点不在反比例函数图象上， B．，故此点不在反比例函数图象上， C．，故此点不在反比例函数图象上， D．，故此点在反比例函数图象上， 故选：D． 3. 在平面直角坐标系 中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”规律进行解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系 中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为， 故选：A 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查判断一元二次方程根的情况，解题的关键是要理解一元二次方程根的情况是由根的判别式的值判断：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根． 先计算求出根的判别式的值，再根据的值来判断根的情况即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴该方程没有实数根， 故选：D． 5. 如图，在中， ，，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作 于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出 ，即得出． 【详解】解：如图，过点A作 于点D． ∵ ， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 6. 如图，为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为，踏板长为 ，支撑点A到踏脚D的距离为，现在踏脚着地，则捣头点E离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 先说明，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∴， ∴， 解得米． ∴捣头点E离地面的高度0.8米． 故选：B． 7. 如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据坡度等于铅直高与水平距离的比值，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴； ∴； 故选A． 8. 如图，是的直径，C、D、E、F、G均为圆周上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，解题的关键是利用圆周角与所对弧的关系求解． 连接 ，，利用圆周角定理，分析所对弧的度数和，进而求出三个角的和． 【详解】连接 ，， ∵，，， ∴， 故选：C． 9. 如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心在第一象限内画线段，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标平面内的位似变换，掌握在平面直角坐标系中以原点为位似中心的坐标变化规律是解题的关键． 根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或即可解答． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∵以原点为位似中心，线段在第一象限内的位似图形为线段， ∴线段和线段的位似比为， ∴点坐标为，即， 故选：． 10. 小明利用如图1所示的电路探究电流与电阻的关系，已知电源电压为 且保持不变，更换了5个阻值不同的定值电阻，依据五次实验的数据描点绘制了如图2所示的图象，已知I与成反比例函数关系．以下说法不正确的是（ ） A. 本实验中电压表的读数为 B. 当定值电阻 时，电流表的示数为 C. 当电流表的示数为 时，定值电阻 D. 电流I与电阻之间的函数关系式为 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可求出电流I与电阻之积为V，即本实验中电压表的读数为2.5 V，可判断A；由A选项可知，可判断D；将Ω代入，即得出A，可判断B；由图象可知当A时，，可判断C． 【详解】由图象可知，电流I与电阻之积为V， ∴本实验中电压表的读数为2.5 V， ∴电流I与电阻之间的函数关系式为，故选项A，D正确； 当Ω时，A，故选项B正确； 当A时，由图象可知，故选项C错误． 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．根据图象正确求出反比例函数解析式是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个三视图形状都一样的几何体：_____________． 【答案】球（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知常见几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：球的三视图都是圆，则符合题意的几何体可以是球， 故答案为：球（答案不唯一）． 12. 如图，已知，， ，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，因为，所以，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，现有四张无差别不透明卡片，正面印有安阳四大景点．将这四张卡片背面向上洗匀，王明和李洋先后分别从中随机抽取一张（不放回）．他们俩抽取的这两张卡片中，是殷墟和中国文字博物馆的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法求概率， 先列出表格得出所有可能出现的结果，再得出符合条件的结果，然后根据概率公式得出答案． 【详解】将这四张卡片分别记为A，B，C，D，列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中是殷墟和中国文字博物馆的结果有：，，共2种， ∴他们俩抽取的这两张卡片中，是殷墟和中国文字博物馆的概率为． 故答案为：． 14. 如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上．若， ，则阴影部分的面积为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及圆周角定理，熟知圆周角定理及扇形的面积公式是解题的关键．连接 ，，由 的度数得出的度数，再将阴影部分的面积转化为扇形的面积，最后根据扇形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：连接 ，， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵ ， ∴． 故答案为：． 15. 在中， ，，，点D在边上，且，线段绕点D顺时针旋转 （）后，点A旋转至点E，当点E恰好落在的边上时，的长为________． 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 根据直角三角形性质和勾股定理可求得 ，的长，即可求， ，分类讨论当点落在上；当点落在上，再根据勾股定理、等边三角形的性质、旋转的性质，可求 的面积． 【详解】解：∵ ，，， ∴， ∴， ∵点D在边上，且， ∴， ∴ ， ∴，由旋转得， 如图1，点E落在边上， ∵，， ∴是等边三角形， ∴； 如图2，点E落在边上， ∵，， ∴； ∵，且 ∴点E不能落在边上， 综上所述，的长为4或，故答案为：4或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂，负整数幂，特殊角的三角函数值，比例的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先计算零指数幂，负整数幂，特殊角的三角函数值，然后计算加减； （2）设，则，，，然后代入求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）解：设，则，，， ∴． 17. 如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连．为了计算、两点之间的距离，经测量得：，，米，求、两点之间的距离．（参考数据： ，，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（其他问题），利用三角形的内角和定理得出是解题的关键． 由三角形的内角和定理可得，然后根据即可求出、两点之间的距离． 【详解】解：，， ， ， 在中， ，米， （米）， 、两点之间的距离约为米． 18. 如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与的图象交于点C，求的长． 【答案】（1）反比例函数的解析式为 （2） 【解析】 【分析】（1）把代入求出 ，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）作平移后的直线，过点C作轴于D，根据平移求出，得出点B的坐标为，求出C点坐标为，根据勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得 ， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：作平移后的直线，过点C作轴于D，如图： 将直线向上平移3个单位后，其函数解析式为， 当 时，， ∴点B的坐标为， 联立解析式得：， 解得：， ∴C点坐标为， ∴， 在 中， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，勾股定理，直线的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 19. 文峰塔（图1）位于河南省安阳市古城内西北隅，建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，为全国重点文物保护单位．文峰塔由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．如图2，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量文峰塔的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与文峰塔顶点A在同一直线上，已知米，米，目测点D到地面的距离米，到文峰塔的水平距离米，求文峰塔的高度． 【答案】文峰塔的高度为38.65米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质应用，求出 ，再根据相似三角形对应边比例列式即可求解． 【详解】解：∵， ∴四边形为矩形， ∴， 由题意可得：，， ∴ ， ∴， ∵米，米，米， ∴，解得：， 故（米）， 答：文峰塔的高度为38.65米． 20. 如图，是的直径，点C在上，且，． （1）尺规作图：过点作的垂线，交劣弧于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（）所作的图形中，求的正弦值． 【答案】（1） 作图所示，直线即为所求； （2） 【解析】 【分析】（）作线段的垂直平分线，交劣弧于点，交于点，连接即可； （ ）由圆周角定理和勾股定理得，进而得，又由垂直平分线的性质得，，即由三角形中位线性质得 ，即得到，利用勾股定理求出，最后根据正弦的定义解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵ 是的垂直平分线， ∴，， 又∵， ∴是的中位线， ∴ ， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的画法和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，直角三角形的性质，三角函数，根据题意正确画出图形是解题的关键． 21. “动若脱兔”是一个成语，这个成语的含义是在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样．兔子跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． （1）兔子一次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式； （2）若兔子起跳点2米处有一个高度为米的木桩，请问兔子是否能成功越过木桩，避免守株待兔的故事再次上演？ 【答案】（1） （2）兔子能成功越过木桩，避免守株待兔的故事再次上演 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）先求出抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）求出 时，的值，再根据比较大小即可得． 【小问1详解】 解：由题意可知，该抛物线的顶点坐标为，即为， ∴可设该抛物线的解析式为， 把代入得∶， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：当 时，， 因为， 所以兔子能成功越过木桩，避免守株待兔的故事再次上演． 22. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知 可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论 取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： （1）直接写出的最小值 ； （2）比较代数式与的大小，并说明理由； （3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和是解题的关键． （1）原式配方后得到，然后利用完全平方式的非负性即可得出答案； （2）将两式相减后利用配方法即可判断； （3）利用，由可得，代入后配方得，于是得解． 【小问1详解】 解：， 无论 取何实数，都有， ，即的最小值为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ； 【小问3详解】 解：四边形的面积为： ， 四边形面积的最大值为． 23. 已知点C为和 的公共顶点，将 绕点C顺时针旋转 ，连接，． （1）问题发现：如图1所示，若和 均为等边三角形，则线段与线段的数量关系是________； （2）类比探究：如图2所示，若 ， ，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：如图3所示，若 ，， ，，当点B，D，E三点共线时，求的长． 【答案】（1） （2） ，理由为： 如图2，∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ，则， ∴ ， ∴， ∴ ； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的判定证明，根据全等三角形的对应边相等可得结论； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得到，证明 得到即可得到结论； （3）先根据等腰直角三角形的性质和得到， ，证明 得到 ，分点D在线段上时和E在线段上时两种情况，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求得 ，，进而求得即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，∵和 均为等边三角形， ∴， ， ， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ， 故答案为： ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵ ，， ， ∴ ， ， ， ∴， ， ∴ ，则， ∴ ， 当点D在线段上时，如图4， ∵ ， ，， ∴由得 ， ∴， 则 ， ∴； 当E在线段上时，如图5， 则 ， ∴， 综上，当点B，D，E三点共线时，的长为或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解答的关键是找到全等三角形或相似三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $