18.2.1　矩形 同步练习 2024—-2025学年人教版数学八年级下册

　矩形(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　矩形的判定 1.在四边形ABCD中,AD∥BC,下列选项中,不能判定四边形ABCD是矩形的是(C) A.AD=BC且AC=BD B.AD=BC且∠A=∠B C.AB=CD且∠A=∠C D.AB∥CD且AC2=AB2+BC2 2.如图,在Rt△ABC中,点D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,AC=8,BC=6,则四边形CEDF的面积是(B) A.6 B.12 C.24 D.48 3.(2024·西安质检)如图,四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,且AC=8,BD=6,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,则四边形EFGH的面积是　12　.  4. (2023·岳阳中考)如图,点M在▱ABCD的边AD上,BM=CM,请从以下三个条件:①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4中选择一个合适的序号作为已知条件,使▱ABCD为矩形. (1)你添加的条件是　①或②　(填序号);  (2)添加条件后,请证明▱ABCD为矩形. 【解析】(2)添加条件①,▱ABCD为矩形,理由如下: 在▱ABCD中,AB=CD,AB∥CD, 在△ABM和△DCM中,, ∴△ABM ≌△DCM, ∴∠A=∠D, 又∵AB∥CD, ∴∠A+∠D=180°, ∴∠A=∠D=90°, ∴▱ABCD为矩形; 添加条件②,▱ABCD为矩形,理由如下: 在▱ABCD中,AB=CD,AB∥CD, 在△ABM和△DCM中,, ∴△ABM ≌△DCM,∴∠A=∠D, 又∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°, ∴∠A=∠D=90°,∴▱ABCD为矩形. 知识点2　矩形判定和性质综合应用 5.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°. (1)求证:四边形ABCD是矩形; 【解析】(1)∵AO=CO,BO=DO, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ABC=∠ADC, ∵∠ABC+∠ADC=180°, ∴∠ABC=∠ADC=90°, ∴四边形ABCD是矩形; (2)若∠ADF∶∠FDC=3∶2,DF⊥AC,求∠BDF的度数. 【解析】(2)∵∠ADC=90°,∠ADF∶∠FDC=3∶2, ∴∠FDC=36°,∵DF⊥AC, ∴∠DCO=90°-36°=54°, ∵四边形ABCD是矩形,∴CO=OD, ∴∠ODC=∠DCO=54°, ∴∠BDF=∠ODC-∠FDC=18°. 知识点3　矩形判定动态的应用 6.如图,四边形ABCD中,AD=6 cm,BC=12 cm,∠A=∠B=90°,动点E从点A出发,以1 cm/s的速度沿AD向点D运动,同时,动点F从点C出发,以2 cm/s的速度沿CB向点B运动,设运动时间为t s. (1)当t=　2　时,四边形CDEF为平行四边形?  【解析】(1)由题意得:AE=t cm,CF=2t cm, 则DE=(6-t)cm,BF=(12-2t)cm, ∵∠A=∠B=90°, ∴∠A+∠B=180°,∴AD∥BC, 当DE=CF时,四边形CDEF为平行四边形, 则6-t=2t,解得t=2, 即当t=2时,四边形CDEF为平行四边形; (2)求当t为何值时,四边形ABFE为矩形? 【解析】(2)∵AD∥BC, ∴当AE=BF时,四边形ABFE为平行四边形, ∵∠A=90°, ∴当AE=BF时,四边形ABFE为矩形, 则t=12-2t,解得t=4, 即当t=4时,四边形ABFE为矩形. 【B层 能力进阶】 7.如图,在平行四边形ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是(B) A.MB=MO B.OM=AC C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND 8.如图,在△ABC中,点P是边BC上一个动点,过点P作直线MN∥AB.MN交∠ABC的平分线于点E,交△ABC的外角∠CBD的平分线于点F.下面给出了四个结论:①PE=PF;②△EBF是直角三角形;③若BE=12,BF=5,则PB=6;④若PC=PB,则四边形CEBF是矩形.其中正确的是(C) A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③④ 9.如图.在△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是　2　.  10.(2023·雅安中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6.P为边AB上一动点,作PD⊥BC于点D,PE⊥AC于点E,则DE的最小值为　3　.  11. (2023·新疆建设兵团中考)如图,AD和BC相交于点O,∠ABO=∠DCO=90°, OB=OC,点E,F分别是AO,DO的中点. (1)求证:OE=OF; 【证明】(1)∵∠ABO=∠DCO=90°, ∴AB∥CD,∴∠A=∠D, 在△AOB与△DOC中,, ∴△AOB ≌△DOC(AAS), ∴AO=DO, ∵点E,F分别是AO,DO的中点, ∴OE=OA,OF=OD,∴OE=OF; (2)当∠A=30°时,求证:四边形BECF是矩形. 【证明】(2)∵OB=OC,OE=OF, ∴四边形BECF是平行四边形, ∵∠A=30°, ∴OB=OA=OE, ∵OE=OF, ∴OB=EF,∵OB=BC, ∴EF=BC,∴四边形BECF是矩形. 【C层 创新挑战(选做)】 12.(几何直观、推理能力、模型观念)在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D在△ABC内,且BD=CD,∠BDC=90°,E,F,G,H分别是AB,AC,BD,CD的中点,求四边形EFHG的面积. 【解析】连接AD并延长交BC于点P,如图所示: ∵AB=AC,BD=CD, ∴AP是线段BC的垂直平分线, ∴BP=CP=BC=×10=5,AP⊥BC, ∵在Rt△BDC中,∠BDC=90°,BP=CP, ∴DP=BC=×10=5, ∴在Rt△APB中,AP===12, ∴AD=AP-PD=12-5=7, ∵E和F分别是AB和AC的中点, ∴EF是△ABC的中位线, ∴EF=BC=×10=5,EF∥BC, ∴同理可证:GH=BC=×10=5,GH∥BC,EG=AD=×7=,EG∥AD, ∴EF∥GH,EF=GH, ∴四边形EFHG为平行四边形, ∵EF∥BC,AP⊥BC, ∴EF⊥AD, ∴EG⊥EF, ∴∠GEF=90°, ∴四边形EFHG为矩形, ∴S四边形EFHG=GH×EG=5×=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　矩形(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　矩形的性质 1.(2024·重庆期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以下说法中错误的是(D) A.∠ABC=90° B.AC=BD C.OB=OC D.OA=AB 2.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE.若∠ADB=40°, 则∠E的度数为(B) A.10° B.20° C.25° D.30° 3.如图,矩形ABCD中,若∠BED=125°,则∠1等于　35°　.  4.在矩形ABCD中,E,F分别在BC和CD上,∠EAF=45°,若AB=3,BC=4,BE=1, AE⊥EF,则EF= 　.  5.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,且BE=DF. (1)求证:∠AEB=∠CFD; 【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴OA=OC,OB=OD,AC=BD,∠ABC=90°, ∵BE=DF,∴OE=OF, 在△AOE和△COF中,, ∴△AOE ≌△COF(SAS), ∴∠AEO=∠CFO, ∴∠AEB=∠CFD; (2)若AB=6,∠AOB=60°,求矩形ABCD的面积. 【解析】(2)∵OA=OC,OB=OD,AC=BD, ∴OA=OB,∵∠AOB=∠COD=60°, ∴△AOB是等边三角形,∴OA=AB=6, ∴AC=2OA=12, 在Rt△ABC中,BC==6, ∴矩形ABCD的面积为AB·BC=6×6=36. 知识点2　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,若∠A=28°.则∠BDC的度数为(C) A.26° B.52° C.56° D.64° 7.(2024·毕节质检)如图,DE是△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=7,BC=10,则EF=(D) A.4 B.3 C.2.5 D.1.5 8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点.若CD=2,则线段EF的长是　2　.  9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,CE是AB边上的中线,与AD交于点F.若∠B=40°,则∠AFC的度数为　105°　.  10.(2023·湖州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,连接DE.已知BC=10,AD=12,求BD,DE的长. 【解析】∵AB=AC,AD⊥BC, ∴BD=BC. ∵BC=10, ∴BD=5. ∵AD⊥BC, ∴∠ADB=90°, ∴在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2, ∵AD=12, ∴AB===13, ∵E为AB的中点, ∴DE=AB=. 【B层 能力进阶】 11.(2023·呼和浩特中考)如图,矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN分别交AD,BC于点M,N.若AM=1,BN=2,则BD的长为(A) A.2 B.3 C.2 D.3 12.(2023·兰州中考)如图,在矩形ABCD中,点E为BA延长线上一点,F为CE的中点,以B为圆心,BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连接BG.若AB=4,CE=10,则AG=(C) A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 13.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2023·哈尔滨中考)矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点F在矩形ABCD边上,连接OF.若∠ADB=38°,∠BOF=30°,则∠AOF=　46°或106°　.  14. (2023·湘西中考)如图,在矩形ABCD中,点E在边BC上,点F是AE的中点,AB=8,AD=DE=10,则BF的长为　2　.  15.如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E是BC上一点,且AE平分 ∠BAD交BD于点F,∠1=15°, (1)∠BAO=　　　　,∠2=　　　　.  答案:60°　30° 【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=∠BAD=90°,OB=OD,OA=OC,AC=BD, ∴OB=OC=OA, ∴∠OCB=∠OBC, ∵AE平分∠BAD, ∴∠BAE=∠DAE=45°, ∴∠AEB=180°-90°-45°=45°, ∵∠1=15°, ∴∠BAO=45°+15°=60°, ∵OA=OB, ∴△AOB是等边三角形, ∴AB=OB,∠ABO=60°, ∴∠CBO=90°-60°=30°, ∵∠BAE=∠AEB=45°, ∴AB=BE, ∴OB=BE, ∴∠OEB=∠EOB=(180°-30°)=75°, ∵∠AEB=45°, ∴∠2=∠OEB-∠AEB=30°. (2)求证:OE=EF. 【解析】 (2)∵∠2=30°,∠BOE=75°, ∴∠EFO=180°-75°-30°=75°, ∴∠EOF=∠EFO, ∴EO=EF; (3)求证:△BEF ≌△COE. 【解析】(3)∵OB=OC,∠OBC=30°, ∴∠OBC=∠OCB=30°, ∵∠BEO=75°=∠EFO, ∴∠BFE=∠OEC=180°-75°=105°, ∵BE=OB,OB=OC, ∴BE=OC, ∴△BEF ≌△COE. 【C层 创新挑战(选做)】 16.(几何直观、推理能力、模型观念)(2024·南京期中)四边形ABCD是矩形,E是BC延长线上一点,连接AC,DE,BE=AC. (1)如图①,若∠ACB=40°,求∠E的度数; 【解析】(1)如图①,连接BD,与AC交于点O, ∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD,OB=BD,OC=AC, ∴OB=OC, ∴∠DBC=∠ACB=40°,∵BE=AC, ∴BD=BE, ∴∠BDE=∠E,∴∠E==70°; (2)如图②,若F是DE的中点,连接AF,CF,求证:AF⊥FC. 【解析】(2)如图②,延长CF交AD延长线于点G, ∵AG∥BE, ∴∠GDF=∠E,∠G=∠ECF, ∵F是DE的中点, ∴DF=EF, ∴△DFG ≌△EFC(AAS), ∴DG=EC,GF=CF. ∴BC+CE=AD+DG,即AG=BE, ∵BE=AC,∴AG=AC, 又∵GF=CF,∴AF⊥FC. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　矩形(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　矩形的性质 1.(2024·重庆期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以下说法中错误的是( ) A.∠ABC=90° B.AC=BD C.OB=OC D.OA=AB 2.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE.若∠ADB=40°, 则∠E的度数为( ) A.10° B.20° C.25° D.30° 3.如图,矩形ABCD中,若∠BED=125°,则∠1等于 .  4.在矩形ABCD中,E,F分别在BC和CD上,∠EAF=45°,若AB=3,BC=4,BE=1, AE⊥EF,则EF= .  5.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,且BE=DF. (1)求证:∠AEB=∠CFD; (2)若AB=6,∠AOB=60°,求矩形ABCD的面积. 知识点2　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,若∠A=28°.则∠BDC的度数为( ) A.26° B.52° C.56° D.64° 7.(2024·毕节质检)如图,DE是△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=7,BC=10,则EF=( ) A.4 B.3 C.2.5 D.1.5 8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点.若CD=2,则线段EF的长是 .  9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,CE是AB边上的中线,与AD交于点F.若∠B=40°,则∠AFC的度数为 .  10.(2023·湖州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,连接DE.已知BC=10,AD=12,求BD,DE的长. 【B层 能力进阶】 11.(2023·呼和浩特中考)如图,矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN分别交AD,BC于点M,N.若AM=1,BN=2,则BD的长为( ) A.2 B.3 C.2 D.3 12.(2023·兰州中考)如图,在矩形ABCD中,点E为BA延长线上一点,F为CE的中点,以B为圆心,BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连接BG.若AB=4,CE=10,则AG=( ) A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 13.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2023·哈尔滨中考)矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点F在矩形ABCD边上,连接OF.若∠ADB=38°,∠BOF=30°,则∠AOF= .  14. (2023·湘西中考)如图,在矩形ABCD中,点E在边BC上,点F是AE的中点,AB=8,AD=DE=10,则BF的长为 .  15.如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E是BC上一点,且AE平分 ∠BAD交BD于点F,∠1=15°, (1)∠BAO= ,∠2= .  (2)求证:OE=EF. (3)求证:△BEF ≌△COE. 【C层 创新挑战(选做)】 16.(几何直观、推理能力、模型观念)(2024·南京期中)四边形ABCD是矩形,E是BC延长线上一点,连接AC,DE,BE=AC. (1)如图①,若∠ACB=40°,求∠E的度数; (2)如图②,若F是DE的中点,连接AF,CF,求证:AF⊥FC. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　矩形(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　矩形的判定 1.在四边形ABCD中,AD∥BC,下列选项中,不能判定四边形ABCD是矩形的是( ) A.AD=BC且AC=BD B.AD=BC且∠A=∠B C.AB=CD且∠A=∠C D.AB∥CD且AC2=AB2+BC2 2.如图,在Rt△ABC中,点D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,AC=8,BC=6,则四边形CEDF的面积是( ) A.6 B.12 C.24 D.48 3.(2024·西安质检)如图,四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,且AC=8,BD=6,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,则四边形EFGH的面积是 .  4. (2023·岳阳中考)如图,点M在▱ABCD的边AD上,BM=CM,请从以下三个条件:①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4中选择一个合适的序号作为已知条件,使▱ABCD为矩形. (1)你添加的条件是 ①或② (填序号);  (2)添加条件后,请证明▱ABCD为矩形. 知识点2　矩形判定和性质综合应用 5.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若∠ADF∶∠FDC=3∶2,DF⊥AC,求∠BDF的度数. 知识点3　矩形判定动态的应用 6.如图,四边形ABCD中,AD=6 cm,BC=12 cm,∠A=∠B=90°,动点E从点A出发,以1 cm/s的速度沿AD向点D运动,同时,动点F从点C出发,以2 cm/s的速度沿CB向点B运动,设运动时间为t s. (1)当t= 时,四边形CDEF为平行四边形?  (2)求当t为何值时,四边形ABFE为矩形? 【B层 能力进阶】 7.如图,在平行四边形ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是( ) A.MB=MO B.OM=AC C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND 8.如图,在△ABC中,点P是边BC上一个动点,过点P作直线MN∥AB.MN交∠ABC的平分线于点E,交△ABC的外角∠CBD的平分线于点F.下面给出了四个结论:①PE=PF;②△EBF是直角三角形;③若BE=12,BF=5,则PB=6;④若PC=PB,则四边形CEBF是矩形.其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③④ 9.如图.在△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是 .  10.(2023·雅安中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6.P为边AB上一动点,作PD⊥BC于点D,PE⊥AC于点E,则DE的最小值为 .  11. (2023·新疆建设兵团中考)如图,AD和BC相交于点O,∠ABO=∠DCO=90°, OB=OC,点E,F分别是AO,DO的中点. (1)求证:OE=OF; (2)当∠A=30°时,求证:四边形BECF是矩形. 【C层 创新挑战(选做)】 12.(几何直观、推理能力、模型观念)在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D在△ABC内,且BD=CD,∠BDC=90°,E,F,G,H分别是AB,AC,BD,CD的中点,求四边形EFHG的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$