18.2.1 矩形 暑假巩固练习2024-2025学年人教版八年级数学下册

人教版八年级下册 18.2.1 矩形 暑假巩固 一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 1.如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，BE与CD相交于点F，BF＝2CE，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G.下列结论中：①∠A＝67.5°；②DF＝AD；③BE＝2BG；④DH⊥BC，正确的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，在四边形ABDC中，∠BDC＝90°，AB⊥BC，E、F分别是AC、BC的中点，BE、DF的大小关系是(　　) A.BE＞DF B.BE＝DF C.BE＜DF D.无法确定 3.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为斜边AC的中点，BD＝6 cm，则AC的长为(　　) A.3 B.6 C.6 D.12 4.如图，已知AB是Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，O是AB的中点，其中OC是2 cm，则OD＝__________. 5.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，AB＝16，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是 　     　． 6.如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，E是AB的中点． （1）求证：DE＝CE； （2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC． 7.如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM. (1)求证：EF＝AC. (2)若∠BAC＝45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系． 二、矩形的性质和判定的综合 1.如图，在矩形ABCD中，AB＝，M为对角线AC上的一动点，ME⊥CD于点E，MF⊥AD于点F，连接EF．若BC ：AC＝3 ：，则EF的最小值为（　　） A. B. C. D. 2.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB∥DC，AB，BC，CD分别为2,2,2＋2，则∠BAD的度数等于(　　) A. 120° B. 135° C. 150° D. 以上都不对 3.下列关于矩形的说法，正确的是(　　) A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 矩形的对角线相等且互相平分 D. 矩形的对角线互相垂直且平分 4.如图，AB∥CD，∠A＝∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝2cm，则AB与CD之间的距离为__________ cm. 5.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是对角线AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥AD于点E，PF∥BC交CD于点F，连接EF，则EF的最小值为 　     　． 6.在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D，交BC边于点E，DF∥BC，交AB边于点F，交AC边于点G，点H在FG的延长线上，GH＝DG，连接AF、CF. (1)如图1，求证：四边形ADCH为矩形； (2)如图2，当∠ACB＝60°，DG＝2FD时，请直接写出图中与线段AD长相等的线段． 7.如图，在矩形ABCD中，AB＝24 cm，BC＝8 cm，点P从A开始沿折线A－B－C－D以4 cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？ 三、矩形的性质 1.如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为　　 ①；②；③是等边三角形；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则OC的长为(　　) A.2 B.3 C.23 D.4 3.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点H是AC的中点，沿对角线AC把矩形剪开得到两个三角形，固定△ABC不动，将△ACD沿AC方向平移，（A'始终在线段AC上）得到△A'C'D'，连接HD'，设平移的距离为x，当HD'长度最小时，平移的距离x的值为（　　） A. B. C. D. 4.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为____________． 5.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，CD的中点，连接BE，BF，且G，H分别是BE，BF的中点，已知BD＝20，则GH的长为　     ． 6.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AD于点F，OF＝2 cm，AE⊥BD于点E，且BE∶BD＝1∶4，求AC的长． 7.如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE＝DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点． (1)求证：CP＝AQ； (2)若BP＝1，PQ＝2，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积． 四、矩形的判定 1.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是(　　) A.AB＝BE B.BE⊥DC C.∠ADB＝90° D.CE⊥DE 2.如图，在锐角△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，下列结论中正确的是(　　) ①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形． A.①② B.①④ C.①③④ D.②③④ 3.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（　　） A. B. C. D. 4.如图，已知点D是△ABC的边BC(不含点B，C)上的一点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F、要使四边形AFDE是矩形，则在△ABC中要增加的一个条件是________________． 5.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从 ①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°这六个条件中， 可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如①②⑤→四边形ABCD是矩形．请再写出符合要求的两个：__________；______________. 6.求证：四个角都相等的四边形是矩形. 7.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE. (1)求证：四边形ACED是矩形； (2)若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长． 人教版八年级下册 18.2.1 矩形 暑假巩固（参考答案） 一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 1.如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，BE与CD相交于点F，BF＝2CE，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G.下列结论中：①∠A＝67.5°；②DF＝AD；③BE＝2BG；④DH⊥BC，正确的个数是(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】∵∠ABC＝45°，CD⊥AB于D， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴BD＝CD，∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝22.5°，∴∠A＝67.5°； 故①正确； ∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E， ∴∠DBF＋∠A＝90°，∠ACD＋∠A＝90°， ∴∠DBF＝∠ACD， 在△BDF与△CDA中， ∠DBF=∠ACD，BD=CD，∠BDF=∠CDA=90°， ∴△BDF≌△CDA(ASA)， ∴AD＝DF， 故②正确； ∴DH不平行于AC，∵BH＝CH，∴BG≠EG；∴BE≠2BG， 故③错误． ∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E， ∴∠ABE＝∠CBE，∠AEB＝∠CEB＝90°， ∴在△ABE与△CBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，∠AEB=∠CEB=90°， ∴△ABE≌△CBE(ASA)， ∴AE＝CE＝AC， ∴BE⊥AC， ∵△BCD是等腰直角三角形，H是BC边的中点， ∴DH⊥BC， 故④正确； 故选C. 2.如图，在四边形ABDC中，∠BDC＝90°，AB⊥BC，E、F分别是AC、BC的中点，BE、DF的大小关系是(　　) A.BE＞DF B.BE＝DF C.BE＜DF D.无法确定 【答案】A 【解析】在Rt△BDC中，BF＝CF，∴DF＝BC，Rt△ABC中，AE＝CE，∴BE＝AC，∵BC＜AC，∴BE＞DF，故选A. 3.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为斜边AC的中点，BD＝6 cm，则AC的长为(　　) A.3 B.6 C.6 D.12 【答案】D 【解析】∵∠ABC＝90°，点D为斜边AC的中点，∴AC＝2BD，∵BD＝6cm，∴AC＝12cm，故选D. 4.如图，已知AB是Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，O是AB的中点，其中OC是2 cm，则OD＝__________. 【答案】2cm 【解析】∵AB是Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，O是AB的中点，∴OC＝OD，∵OC＝2cm，∴OD＝2cm， 5.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，AB＝16，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是 　     　． 【答案】2 【解析】如图，取AB的中点T，连接CT，DT． ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠CBP＝90°， ∵∠CBP＝∠BAD， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∴∠ADB＝90°， ∵， ∴， ∴， ∵CD≥CT﹣DT＝2， ∴CD≥2， ∴CD的最小值为2． 6.如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，E是AB的中点． （1）求证：DE＝CE； （2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC． 【答案】（1）证明：∵在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点， ∴DE＝AB，CE＝AB， ∴DE＝CE. （2）解：在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DBA＝40°， ∴∠DAB＝90°﹣∠DBA＝50°，∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°， 在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点， ∴DE＝AB＝AE，CE＝AB＝BE， ∴∠ADE＝∠DAB＝50°，∠ECB＝∠ABC＝60°， ∴∠DEA＝180°﹣∠DAB﹣∠ADE＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∠CEB＝180°﹣∠ECB﹣∠CBA＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠DEC＝180°﹣∠DEA﹣∠CEB＝180°﹣80°﹣60°＝40°． 7.如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM. (1)求证：EF＝AC. (2)若∠BAC＝45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系． 【答案】(1)证明　∵CD＝CB，点E为BD的中点， ∴CE⊥BD， ∵点F为AC的中点， ∴EF＝AC； (2)解　∵∠BAC＝45°，CE⊥BD， ∴△AEC是等腰直角三角形， ∵点F为AC的中点， ∴EF垂直平分AC， ∴AM＝CM， ∵CD＝CM＋DM＝AM＋DM，CD＝CB， ∴BC＝AM＋DM. 二、矩形的性质和判定的综合 1.如图，在矩形ABCD中，AB＝，M为对角线AC上的一动点，ME⊥CD于点E，MF⊥AD于点F，连接EF．若BC ：AC＝3 ：，则EF的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝∠ADC＝90°，BC＝AD，CD＝AB＝， ∵BC ：AC＝3 ：， 设BC＝3x，AC＝x， 在Rt△ABC中， （）2+（3x）2＝（x）2， ∴x＝1（负值舍去）， ∴BC＝AD＝3，AC＝， 如图，连接DM， ∵ME⊥CD于点E，MF⊥AD于点F， ∴∠MED＝∠MFD＝90°， ∴四边形MEDF为矩形， ∴DM＝EF， 若EF最小，则DM最小， 当DM⊥AC时，DM最小， 此时根据三角形的面积公式得DM•AC＝AD•CD， ∴DM＝＝＝， ∴EF的最小值为． 2.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB∥DC，AB，BC，CD分别为2,2,2＋2，则∠BAD的度数等于(　　) A. 120° B. 135° C. 150° D. 以上都不对 【答案】C 【解析】过A作AE⊥CD于E， ∵AB⊥BC，AB∥DC， ∴∠B＝∠C＝∠AED＝∠AEC＝90°， ∴四边形ABCE是矩形， ∴AB＝CE＝2，AE＝BC＝2，∠BAE＝90°， ∵CD＝2＋2， ∴DE＝2， 由勾股定理，得AD＝4＝2AE， ∴∠D＝30°，∠DAE＝60°， ∵∠BAE＝90°， ∴∠BAD＝90°＋60°＝150°， 故选C. 3.下列关于矩形的说法，正确的是(　　) A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 矩形的对角线相等且互相平分 D. 矩形的对角线互相垂直且平分 【答案】C 【解析】A．对角线相等的四边形是矩形，不正确； B．对角线互相平分的四边形是矩形，不正确； C．矩形的对角线相等且互相平分，正确； D．矩形的对角线互相垂直且平分，不正确； 故选C. 4.如图，AB∥CD，∠A＝∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝2cm，则AB与CD之间的距离为__________ cm. 【答案】2 【解析】∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，∠B＋∠C＝180°，∵∠A＝∠B＝90°，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形ABCD为矩形，∴AB与CD之间的距离为BC，∵BC＝2cm，∴AB与CD之间的距离为2 cm. 5.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是对角线AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥AD于点E，PF∥BC交CD于点F，连接EF，则EF的最小值为 　     　． 【答案】 【解析】如图，连接DP． ∵∠B＝∠D＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC＝5， ∵PE⊥DA于点E，PF∥BC，∠D＝90°， ∴ PF⊥CD， ∴∠PFD=∠PED=∠D=90°， ∴四边形DEPF是矩形， ∴EF＝DP， 由垂线段最短可得DP⊥AC时，线段DP的值最小， 此时，S△ADC＝DC•AD＝AC•DP， 即×4×3＝×5•DP， 解得DP＝， ∴ EF的最小值为. 6.在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D，交BC边于点E，DF∥BC，交AB边于点F，交AC边于点G，点H在FG的延长线上，GH＝DG，连接AF、CF. (1)如图1，求证：四边形ADCH为矩形； (2)如图2，当∠ACB＝60°，DG＝2FD时，请直接写出图中与线段AD长相等的线段． 【答案】(1)证明　如图1中，∵∠DCA＝∠DCE，CD⊥AE， ∴∠CDA＝∠CDE＝90°， ∴∠CAD＋∠DCA＝90°，∠CEA＋∠DCE＝90°， ∴∠CAE＝∠CEA， ∴AC＝EC， ∴AD＝DE， ∵FH∥BC， ∴AG＝GC， ∵DG＝GH， ∴四边形ADCH是平行四边形， ∵∠ADC＝90°， ∴四边形ADCH是矩形． (2)解　如图2中，与AD相等的线段有DE，AG，GC，CH，BE. 理由：∵CA＝CE，∠ACE＝60°， ∴△ACE是等边三角形， ∵FH∥BC，AD＝DE， ∴△ADG是等边三角形，DF是△ABE的中位线， ∴与AD相等的线段有BE，DE，CG，AG，CH. 7.如图，在矩形ABCD中，AB＝24 cm，BC＝8 cm，点P从A开始沿折线A－B－C－D以4 cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？ 【答案】解　根据题意得：CQ＝2t，AP＝4t， 则BP＝24－4t， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，CD∥AB， ∴只有CQ＝BP时，四边形QPBC是矩形，即2t＝24－4t， 解得t＝4， 答：当t＝4s时，四边形QPBC是矩形． 三、矩形的性质 1.如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为　　 ①；②；③是等边三角形；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】，点是的中点， ， ， ，， 是等边三角形，故③正确； 设，则，由勾股定理得，， 为中点， ，， 在RtABC中，由勾股定理得，， 四边形是矩形， ， ，故①正确； ，， ，故②错误； ，， ，故④正确； 综上所述，结论正确的是①③④，故选：C． 2.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则OC的长为(　　) A.2 B.3 C.23 D.4 【答案】A 【解析】在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠ACB＝30°，AB＝2，∴AC＝2AB＝2×2＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OA＝AC＝2.故选A. 3.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点H是AC的中点，沿对角线AC把矩形剪开得到两个三角形，固定△ABC不动，将△ACD沿AC方向平移，（A'始终在线段AC上）得到△A'C'D'，连接HD'，设平移的距离为x，当HD'长度最小时，平移的距离x的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6， ∴AC＝＝＝10， ∵点H是AC的中点， ∴AH＝＝5， ∵AA′＝x， ∴A′H＝5﹣x， 当HD'⊥AC时，HD'的长度最小， ∵将△ACD沿AC方向平移，（A'始终在线段AC上）得到△A'C'D'， ∴A′D′＝AD＝6，D′C′＝AB＝8，A′C′＝AC＝10， ∴S△A′C′D′＝， ∴D′H＝＝＝， ∵A′D′2＝A′H2+D′H2， ∴62＝（5﹣x）2+（）2， ∴x＝或x＝（不符合题意舍去）. 4.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为____________． 【答案】3 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD＝＝＝3； 5.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，CD的中点，连接BE，BF，且G，H分别是BE，BF的中点，已知BD＝20，则GH的长为　     ． 【答案】5 【解析】如图，连接AC，EF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD＝20， ∵E，F分别是AD，CD的中点， ∴EF是△ADC的中位线， ∴EF＝， ∵G，H分别是BE，BF的中点， ∴GH是△BEF的中位线， ∴GH＝EF＝×10＝5． 6.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AD于点F，OF＝2 cm，AE⊥BD于点E，且BE∶BD＝1∶4，求AC的长． 【答案】解 解法一：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝90°，OB＝OD，AC＝BD， 又∵OF⊥AD，∴OF∥AB， 又∵OB＝OD， ∴AB＝2OF＝4 cm， ∵BE∶BD＝1∶4，∴BE∶ED＝1∶3， 设BE＝x，ED＝3x，则BD＝4x，∵AE⊥BD于点E， ∴AE2＝AB2－BE2＝AD2－ED2， ∴16－x2＝AD2－9x2， 又∵AD2＝BD2－AB2＝16x2－16， ∴16－x2＝16x2－16－9x2,8x2＝32， ∴x2＝4， ∴x＝2，∴BD＝2×4＝8(cm)， ∴AC＝8 cm. 解法二：在矩形ABCD中，BO＝OD＝BD， ∵BE∶BD＝1∶4， ∴BE∶BO＝1∶2，即E是BO的中点，又AE⊥BO， ∴AB＝AO， 由矩形的对角线互相平分且相等，∴AO＝BO， ∴△ABO是正三角形， ∴∠BAO＝60°， ∴∠OAD＝90°－60°＝30°， 在Rt△AOF中，AO＝2OF＝4， ∴AC＝2AO＝8. 7.如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE＝DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点． (1)求证：CP＝AQ； (2)若BP＝1，PQ＝2，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积． 【答案】(1)证明　∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠E＝∠F， ∵BE＝DF， ∴AE＝CF， 在△CFP和△AEQ中，∠C=∠A，CF=AE，∠F=∠E， ∴△CFP≌△AEQ(ASA)， ∴CP＝AQ； (2)解　∵AD∥BC， ∴∠PBE＝∠A＝90°， ∵∠AEF＝45°， ∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形， ∴BE＝BP＝1，AQ＝AE， ∴PE＝BP＝， ∴EQ＝PE＋PQ＝＋2＝3， ∴AQ＝AE＝3， ∴AB＝AE－BE＝2， ∵CP＝AQ，AD＝BC， ∴DQ＝BP＝1， ∴AD＝AQ＋DQ＝3＋1＝4， ∴矩形ABCD的面积＝AB·AD＝2×4＝8. 四、矩形的判定 1.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是(　　) A.AB＝BE B.BE⊥DC C.∠ADB＝90° D.CE⊥DE 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵AD＝DE，∴DE∥BC，且DE＝BC，∴四边形BCED为平行四边形. A．∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误； B．∵对角线互相垂直的平行四边形不一定为矩形，故本选项正确； C．∵∠ADB＝90°，∴∠EDB＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误； D．∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误． 故选B. 2.如图，在锐角△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，下列结论中正确的是(　　) ①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形． A.①② B.①④ C.①③④ D.②③④ 【答案】B 【解析】①∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF；∴①正确； ②当AC⊥BD时，CE＝CF；故②错误； ③∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°，∵CE＝12，CF＝5，∴EF＝＝13，∴OC＝EF＝6.5；故③错误； ④当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．故④正确；故选B. 3.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A，∵AD＝BC＝4，AB＝CD＝3， ∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定为矩形，故选项A符合题意； B，∵∠A＝∠B＝∠D＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C，∵∠A＝∠B＝90°， ∴∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC＝4， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠A＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意； D，∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝5， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意. 4.如图，已知点D是△ABC的边BC(不含点B，C)上的一点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F、要使四边形AFDE是矩形，则在△ABC中要增加的一个条件是________________． 【答案】∠A＝90° 【解析】∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形；∴当∠A＝90°时，四边形AFDE是矩形；(有一个角是直角的平行四边形是矩形)故在△ABC中，应添加的条件为∠A＝90°. 5.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从 ①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°这六个条件中， 可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如①②⑤→四边形ABCD是矩形．请再写出符合要求的两个：__________；______________. 【答案】①②⑥　 ③④⑥ 【解析】①②⑥或③④⑥， 理由：∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形， 6.求证：四个角都相等的四边形是矩形. 【答案】解：已知：如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D.求证：四边形ABCD是矩形. 证明：在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360°， ∵∠A=∠B=∠C=∠D， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）. 7.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE. (1)求证：四边形ACED是矩形； (2)若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长． 【答案】(1)证明　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC， ∵CE＝BC， ∴AD＝CE，AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∵AB＝DC，AE＝AB， ∴AE＝DC，∴四边形ACED是矩形； (2)解　∵四边形ACED是矩形， ∴OA＝AE，OC＝CD，AE＝CD， ∴OA＝OC， ∵∠AOC＝180°－∠AOD＝180°－120°＝60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴OC＝AC＝4，∴CD＝8. 学科网（北京）股份有限公司 $$