18.2.1 矩形 暑假巩固练习 2024--2025学年人教版八年级数学下册

人教版八年级下册 18.2.1 矩形 暑假巩固 一、矩形的性质 1.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，点F是边AD上的一点，且DF＝3，连接BF，BF的垂直平分线交BC的延长线于点E，交AB于点P，连接EF交CD于点H，点H为边CD的中点，则AF的长为（　　） A.8 B.7 C.4 D.3 2.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点，若AC＝6，∠AEO＝120°，则FC的长为（　　） A.1 B.2 C. D. 3.小明同学在喝水时发现了这样一个有趣的现象：当水杯保持某一静止状态时，水面始终与桌面保持平行．如图所示，矩形ABCD为静止状态的某水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯侧面AB与桌面的夹角为54°时，则∠CBE的度数为（　　） A.46° B.36° C.54° D.56° 4.如图，在矩形ABCD中，CD＝9，点E为BC边上一点，且EC＝4BE，连接DE，过点E作DE的垂线交AB于点F，若AF＝EF，则线段AF的长为 　       　. 5.已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝1，那么BD＝________. 6.如图，在矩形ABCD中，∠ACB＝60°，分别过点B，D作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，连接BF，DE． （1）求证：四边形BEDF为平行四边形； （2）分别取DE，BF的中点M，N，连接FM，EN．若AD＝4，求四边形MFNE的面积． 7.如图，矩形ABCD的边AB，BC的长分别为12，5，延长BC至点E，CE＝10，连接AE并取AE的中点F，连接CF，DF，求CF的长．（提示：延长DF交BE于点G） 二、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠CDA等于(　　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 2.如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　） A.BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B.∠BDC＝3∠ABD C.当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 D.当E为AB中点时， 3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD＝DB，CD＝5，AC＝6，则BC的长为（　　） A.8 B.6 C.4 D.2 4.如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝70°，那么∠GHE＝________. 5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC的延长线上，E是BC的中点，连接AE，AD，若，则∠B的度数是 　     　． 6.在△ABC中，点D在边AC上，BD＝BA，点E是AD的中点，点F是BC的中点． (1)求证：EF＝BC； (2)过点C作CG∥EF，交BE的延长线于G，求证：△BCG是等腰三角形． 7.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，AB≡10，AD＝DE＝4，求BC的长． 三、矩形的判定 1.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是(　　) A.AB＝CD B.OA＝OC，OB＝OD C.AC⊥BD D.AB∥CD，AD＝BC 2.下列说法不正确的是（　　） A.有一个角为直角的平行四边形是矩形 B.有三个角为直角的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形 3.如图，建筑公司验收门框时要求是矩形．在ABCD中，AC，BD相交于点O，下列验证方法不正确的是（　　） A.AC＝BD B.AB⊥BC C.OB＝OD D.OA＝OD 4.如图，在平行四边形ABCD中，延长BA到点E，使AE＝AB，连接EC，ED，AC，请你添加一个条件 　         　，使四边形ACDE是矩形． 5.如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理__________________________________． 6.如图，已知ABCD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD．BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是矩形． 7.在ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．求证：四边形BFDE是矩形． 四、矩形的性质和判定的综合 1.如图，已知在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，连接AC，BD，AC与BD交于点O，若AO＝BO，AD＝3，AB＝2，则四边形ABCD的面积为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 2.如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB⊥AD，BD＝BC，∠C＝60°，如果△DBC的周长为m，则AD的长为（　　） A. B. C. D. 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D作DM⊥AB于点M， DN⊥AC于点N，连接MN，点O为MN的中点，则线段AO的最小值为（　　） A.5 B.3 C.2.4 D.1.2 4.如图，AB∥CD，∠A＝∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝2cm，则AB与CD之间的距离为__________ cm. 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为斜边BC上的一个动点，过P分别作PE⊥AB于点E，作PF⊥AC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为 　     　． 6.如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°.求∠OAB的度数. 7.如图，在矩形ABCD中，AB＝24 cm，BC＝8 cm，点P从A开始沿折线A－B－C－D以4 cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？ 人教版八年级下册 18.2.1 矩形 暑假巩固（参考答案） 一、矩形的性质 1.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，点F是边AD上的一点，且DF＝3，连接BF，BF的垂直平分线交BC的延长线于点E，交AB于点P，连接EF交CD于点H，点H为边CD的中点，则AF的长为（　　） A.8 B.7 C.4 D.3 【答案】C 【解析】矩形ABCD中，H是CD的中点，CD=AB＝8， ∴CH＝DH＝×8＝4， 在△DFH和△CEH中， ∴△DFH≌△CEH（ASA）， ∴CE＝DF＝3，FH＝EH， 在Rt△DFH中，FH＝＝5， ∴EF＝2FH＝10， ∵EP垂直平分BF， ∴BE＝EF＝10， ∴BC＝AD＝7． ∴AF＝AD﹣DF＝4. 2.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点，若AC＝6，∠AEO＝120°，则FC的长为（　　） A.1 B.2 C. D. 【答案】D 【解析】∵EF⊥BD，∠AEO＝120°， ∴∠EDO＝30°，∠DEO＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠OBF＝∠OCF＝30°，∠BFO＝60°， ∴∠FOC＝60°﹣30°＝30°， ∴OF＝CF， 又∵Rt△BOF中，∠OBF=30°， BO=BD=AC=3， ∴BF=2OF， 设OF=x，则BF=2x， 由勾股定理，得4x2-x2=32， 解得x=(负值舍去)， ∴CF=. 3.小明同学在喝水时发现了这样一个有趣的现象：当水杯保持某一静止状态时，水面始终与桌面保持平行．如图所示，矩形ABCD为静止状态的某水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯侧面AB与桌面的夹角为54°时，则∠CBE的度数为（　　） A.46° B.36° C.54° D.56° 【答案】B 【解析】∵BE∥AG， ∴∠ABE＝∠BAG＝54°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠CBE＝36°. 4.如图，在矩形ABCD中，CD＝9，点E为BC边上一点，且EC＝4BE，连接DE，过点E作DE的垂线交AB于点F，若AF＝EF，则线段AF的长为 　       　. 【答案】5 【解析】如图，连接DF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝9，AD＝BC， ∵AF＝EF，DF＝DF， ∴Rt△ADF≌Rt△EDF（HL）， ∴AD＝DE， ∵EC＝4BE， ∴设BE＝x，CE＝4x， ∴BC＝5x， ∴AD＝DE＝5x， ∴CD＝9＝＝＝3x， ∴x＝3， ∴BE＝3，AD＝BC＝DE＝15， ∵EF2＝BE2+BF2， ∴AF2＝9+（9﹣AF）2， ∴AF＝5． 5.已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝1，那么BD＝________. 【答案】2 【解析】在矩形ABCD中，∵对角线AC与BD相交于点O，AO＝1，∴AO＝CO＝BO＝DO＝1，∴BD＝2. 6.如图，在矩形ABCD中，∠ACB＝60°，分别过点B，D作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，连接BF，DE． （1）求证：四边形BEDF为平行四边形； （2）分别取DE，BF的中点M，N，连接FM，EN．若AD＝4，求四边形MFNE的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥|BC， ∴∠DAF＝∠ACB＝60°， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴DF∥BE，∠AFD＝∠BEC＝90°， ∴△ADF≌△CBE（AAS）， ∴DF＝BE， ∵DF∥BE， ∴四边形BEDF为平行四边形． （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠DCB＝90°，BC＝DA， ∵DF⊥AC， ∴∠ADF＝30°， ∴AF＝AD＝2， ∴DF＝＝2， ∴∠ACB＝60°， ∴∠ACD＝30°， ∴AC＝2AD＝8， ∵△ADF≌△CBE（AAS）， ∴EC＝AF＝2， ∴EF＝AC﹣AF﹣EC＝8﹣2﹣2＝4， ∴S△DEF＝EF•DF＝×4×2＝4， ∵M为DE的中点， ∴S△FME＝S△FDE＝×4＝2， 同理可得S△FNE＝2， ∴四边形MFNE的面积为S△FME+S△FNE＝4． 7.如图，矩形ABCD的边AB，BC的长分别为12，5，延长BC至点E，CE＝10，连接AE并取AE的中点F，连接CF，DF，求CF的长．（提示：延长DF交BE于点G） 【答案】解：延长DF交BE于点G， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BE，∠BCD＝90°，AD=BC=5， ∴∠DAF＝∠E，∠ADF＝∠EGF， ∵F是AE中点， ∴AF＝EF， ∴△ADF≌△EGF（AAS）， ∴GE＝AD＝5，DF＝FG， ∵CE＝10， ∴CG＝CE﹣EG＝10﹣5＝5， ∵CD＝12， ∴DG＝＝13， ∵∠DCG＝180°﹣90°＝90°，FD＝FG， ∴CF＝DG＝6.5． 二、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠CDA等于(　　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】C 【解析】如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴AC＝AB， 又∵过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分， ∴AD＝BD∴AC＝AD， ∵∠A＝60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠CDA＝60°. 2.如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　） A.BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B.∠BDC＝3∠ABD C.当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 D.当E为AB中点时， 【答案】D 【解析】对于选项A， 连接DE，如图1所示， ∵CE⊥AB，点D是AC的中点， ∴DE为Rt△AEC斜边上的中线， ∴DE＝AD＝CD＝AC， ∵BE＝CD， ∴BE＝DE， ∴点E在线段BD的垂直平分线上， 即线段BD的垂直平分线一定与AB相交于点E， 故选项A正确，不符合题意； 对于选项B， 设∠ABD＝α， ∵BE＝DE， ∴∠EDB＝∠ABD＝α， ∴∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α， ∵DE＝AD， ∴∠A＝∠AED＝2α， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α， 即∠BDC＝3∠ABD， 故选B正确，不符合题意； 对于选项C， 当E为AB中点时，则BE＝AB， ∵CE⊥AB， ∴CE是线段AB的垂直平分线， ∴AC＝BC， ∵BE＝AB，CD＝AC，BE＝CD， ∴AB＝AC， ∴AC＝BC＝AB， ∴△ABC是等边三角形， 故选C正确，不符合题意； 对于选项D， 连接AO，并延长交BC于点F，如图2所示， 当E为AB中点时， ∵点D为AC的中点， ∴根据三角形三条中线交于一点得，点F为BC的中点， ∵当E为AB中点时，△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AF⊥BC，AF平分∠BAC，BD平分∠ABC， ∴∠OBC=∠OBA＝∠OAB＝30°， ∴OA＝OB， 在Rt△OBF中，OB＝2OF， ∴OA＝OB＝2OF， ∴AF＝OA+OF＝3OF， ∴S△OBC＝BC•OF，S△ABC＝BC•AF＝BC•OF， ∴， 故选项D不正确，符合题意． 3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD＝DB，CD＝5，AC＝6，则BC的长为（　　） A.8 B.6 C.4 D.2 【答案】A 【解析】∵∠ACB＝90°，AD＝DB， ∴， ∵CD＝5， ∴AB＝10， ∵AC＝6， ∴． 4.如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝70°，那么∠GHE＝________. 【答案】20° 【解析】连接AH和CH， ∵H为BD的中点，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴AH＝CH＝BD，∵G为AC的中点， ∴HG⊥AC， ∴∠HGE＝90°， ∵∠GEH＝∠BEC＝70°， ∴∠GHE＝180°－90°－70°＝20°， 5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC的延长线上，E是BC的中点，连接AE，AD，若，则∠B的度数是 　     　． 【答案】25° 【解析】∵∠BAC＝90°，E是BC的中点， ∴， ∴ ∵， ∴AD＝AE， ∵∠D＝50°， ∴∠AED＝∠D＝50°， ∴． 6.在△ABC中，点D在边AC上，BD＝BA，点E是AD的中点，点F是BC的中点． (1)求证：EF＝BC； (2)过点C作CG∥EF，交BE的延长线于G，求证：△BCG是等腰三角形． 【答案】证明　(1)∵BD＝BA，E是AD的中点， ∴BE⊥AD， ∴△EBC为直角三角形．∵F是BC的中点， ∴EF是直角三角形斜边上中线， ∴EF＝BC； (2)∵CG∥EF， ∴∠G＝∠FEB， ∵EF＝BC＝BF， ∴∠FEB＝∠CBE， ∴∠G＝∠CBE， ∴GC＝BC， ∴△BCG是等腰三角形． 7.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，AB≡10，AD＝DE＝4，求BC的长． 【答案】解：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵E是AC的中点，DE＝4， ∴AC＝2DE＝8， 由勾股定理得CD＝＝＝4， ∵AB＝10，AD＝4， ∴BD＝AB﹣AD＝6， ∴BC＝＝＝2． 三、矩形的判定 1.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是(　　) A.AB＝CD B.OA＝OC，OB＝OD C.AC⊥BD D.AB∥CD，AD＝BC 【答案】B 【解析】A.由AB＝DC，AC＝BD无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； B．∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．故正确； C．由AC⊥BD，AC＝BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误； D．由AB∥CD，AC＝BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误． 故选B. 2.下列说法不正确的是（　　） A.有一个角为直角的平行四边形是矩形 B.有三个角为直角的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】A，根据矩形的定义可知：有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，故A选项不符合题意； B，根据矩形的判定可知：有三个角为直角的四边形是矩形，正确，故B选项不符合题意； C，根据矩形的判定可知：对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故C选项不符合题意； D，根据菱形的判定可知：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故对角线互相垂直的平行四边形是矩形的说法不正确，故D选项符合题意． 3.如图，建筑公司验收门框时要求是矩形．在ABCD中，AC，BD相交于点O，下列验证方法不正确的是（　　） A.AC＝BD B.AB⊥BC C.OB＝OD D.OA＝OD 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， 故A不符合题意； ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， 故B不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O， ∴OB＝OD， ∴由OB＝OD不能验证四边形ABCD是矩形， 故C符合题意； ∵OA＝OC，OB＝OD，且OA＝OD， ∴OA＝OC＝OB＝OD， ∴OA+OC＝OB+OD， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， 故D不符合题意． 4.如图，在平行四边形ABCD中，延长BA到点E，使AE＝AB，连接EC，ED，AC，请你添加一个条件 　         　，使四边形ACDE是矩形． 【答案】AD＝CE（答案不唯一）． 【解析】添加AD＝CE，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，且AB＝CD， ∵AE＝AB， ∴AE＝CD， ∴四边形ACDE为平行四边形， 又∵AD＝CE， ∴平行四边形ACDE是矩形． 5.如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理__________________________________． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 【解析】这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，故答案为对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角． 6.如图，已知ABCD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD．BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是矩形． 【答案】证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD， ∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD， ∴∠EBC+∠ECB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣90°＝90°， ∴平行四边形BECF是矩形． 7.在ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．求证：四边形BFDE是矩形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴BE∥DF，又∵BE＝DF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形． 四、矩形的性质和判定的综合 1.如图，已知在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，连接AC，BD，AC与BD交于点O，若AO＝BO，AD＝3，AB＝2，则四边形ABCD的面积为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【解析】∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝OC，BO＝DO，∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形，∵AD＝3，AB＝2，∴四边形ABCD的面积为AD·AB＝2×3＝6，故选C. 2.如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB⊥AD，BD＝BC，∠C＝60°，如果△DBC的周长为m，则AD的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】过点D作DE⊥BC于E，如图所示， ∵AB⊥BC，AB⊥AD， ∴四边形ABED是矩形， ∴AD＝BE， ∵BD＝BC，∠C＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BC＝BD＝CD，BE＝BC， ∵△DBC的周长为m， ∴BC＝， ∴AD＝BE＝． 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D作DM⊥AB于点M， DN⊥AC于点N，连接MN，点O为MN的中点，则线段AO的最小值为（　　） A.5 B.3 C.2.4 D.1.2 【答案】D 【解析】如图，连接OD， ∵∠BAC＝90°，且AB＝3，AC＝4， ∴BC＝＝＝5， ∵DM⊥AB，DN⊥AC， ∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°， ∴四边形DMAN是矩形， ∴MN＝AD，AD与MN互相平分， ∵点O为MN的中点， ∴点O为AD的中点， ∴A，O，D三点共线， ∴AO＝AD， 当AD⊥BC时，AD的值最小，AO的值也最小， 此时，S△ABC＝BC•AD＝AB•AC， ∴AD＝＝＝2.4， ∴AO的最小值为1.2． 4.如图，AB∥CD，∠A＝∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝2cm，则AB与CD之间的距离为__________ cm. 【答案】2 【解析】∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，∠B＋∠C＝180°，∵∠A＝∠B＝90°，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形ABCD为矩形，∴AB与CD之间的距离为BC，∵BC＝2cm，∴AB与CD之间的距离为2 cm. 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为斜边BC上的一个动点，过P分别作PE⊥AB于点E，作PF⊥AC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为 　     　． 【答案】 【解析】连接AP，如图所示, ∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC， ∴四边形AEPF是矩形， ∴EF＝AP， ∵点P为斜边BC上的一个动点， ∴线段EF的最小值为线段AP的最小值，由点P到直线BC的距离中垂线段最短， ∴当AP⊥BC时,AP最小， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，则由勾股定理可得， ∴由等面积法可得，即3×4＝5AP，解得， ∴线段EF的最小值为． 6.如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°.求∠OAB的度数. 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵OA=OD， ∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°， ∵∠OAD=50°， ∴∠OAB=∠DAB-∠OAD=40°. 7.如图，在矩形ABCD中，AB＝24 cm，BC＝8 cm，点P从A开始沿折线A－B－C－D以4 cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？ 【答案】解　根据题意得：CQ＝2t，AP＝4t， 则BP＝24－4t， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，CD∥AB， ∴只有CQ＝BP时，四边形QPBC是矩形，即2t＝24－4t， 解得t＝4， 答：当t＝4s时，四边形QPBC是矩形． 学科网（北京）股份有限公司 $$