18.2.3　正方形 同步练习 2024—-2025学年人教版数学八年级下册

　正方形 【A层 基础夯实】 知识点1　正方形的性质 1. (2023·自贡中考)如图,边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合,点C的坐标是( ) A.(3,-3)　　B.(-3,3) C.(3,3) D.(-3,-3) 2.(2023·怀化中考)如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3.则点P到直线AB的距离为 .  3.(2023·宁夏中考)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E在AD上,连接EB,EC.则图中阴影部分的面积是 .  4.如图所示,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB. (1)求证:△BCP≌△DCP; (2)求证:DP⊥PE. 知识点2　正方形的判定 5.已知在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是( ) A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD B.AD∥BC,∠A=∠C C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D.AO=CO,BO=DO,AB=BC 6.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,不添加任何辅助线,请你添加一个条件 ,使四边形ABCD是正方形(填一个即可).  7. (2024·东莞期中)如图,△ABC中,∠ABC=90°,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.求证:四边形DEBF是正方形. 【B层 能力进阶】 8.(2024·福州期中)下列说法中不正确的是( ) A.菱形的四条边相等 B.平行四边形的对角线互相平分 C.正方形的对角线相等 D.矩形的对角线互相垂直 9.如图,正方形ABCD的边长为20,点M在DC上,且DM=5,N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值是( ) A.20 B.25 C.30 D.35 10.(2023·湘潭中考)七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具,某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图),由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部分的面积为 dm2.  11. (2023·广西中考)如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值为 .  12.已知四边形ABCD是正方形,以AD为边在正方形ABCD所在平面内作等边三角形PAD,那么∠BPC的度数是 .  13.如图,已知E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点,且BE=DF,连接AE,AF,CE,CF. (1)请判断四边形AECF的形状,并说明理由; (2)若四边形AECF的周长为8,且BE=2,求正方形ABCD的边长. 【C层 创新挑战(选做)】 14. (几何直观、推理能力、模型观念)(2024·楚雄期中)如图,在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE. (1)求证:CE=AD; (2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由; (3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　正方形 【A层 基础夯实】 知识点1　正方形的性质 1. (2023·自贡中考)如图,边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合,点C的坐标是(C) A.(3,-3)　　B.(-3,3) C.(3,3) D.(-3,-3) 2.(2023·怀化中考)如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3.则点P到直线AB的距离为　3　.  3.(2023·宁夏中考)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E在AD上,连接EB,EC.则图中阴影部分的面积是　2　.  4.如图所示,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB. (1)求证:△BCP≌△DCP; 【证明】(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°, ∵在△BCP和△DCP中,, ∴△BCP≌△DCP(SAS); (2)求证:DP⊥PE. 【证明】 (2)如图所示: 由(1)知,△BCP≌△DCP, ∴∠CBP=∠CDP, ∵PE=PB, ∴∠CBP=∠E, ∵∠BCD=90°, ∴∠DCE=90°, ∴∠E+∠2=90°, ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠CDP=90°, ∴∠DPE=90°, ∴DP⊥PE. 知识点2　正方形的判定 5.已知在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是(C) A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD B.AD∥BC,∠A=∠C C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D.AO=CO,BO=DO,AB=BC 6.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,不添加任何辅助线,请你添加一个条件　∠BAD=90°(答案不唯一)　,使四边形ABCD是正方形(填一个即可).  7. (2024·东莞期中)如图,△ABC中,∠ABC=90°,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.求证:四边形DEBF是正方形. 【解析】∵DE⊥AB,DF⊥BC, ∴∠DEB=∠DFB=90°, 又∵∠ABC=90°, ∴四边形BEDF为矩形, ∵BD是∠ABC的平分线,且DE⊥AB,DF⊥BC, ∴DE=DF, ∴矩形BEDF为正方形. 【B层 能力进阶】 8.(2024·福州期中)下列说法中不正确的是(D) A.菱形的四条边相等 B.平行四边形的对角线互相平分 C.正方形的对角线相等 D.矩形的对角线互相垂直 9.如图,正方形ABCD的边长为20,点M在DC上,且DM=5,N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值是(B) A.20 B.25 C.30 D.35 10.(2023·湘潭中考)七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具,某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图),由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部分的面积为　2　dm2.  11. (2023·广西中考)如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值为 　.  12.已知四边形ABCD是正方形,以AD为边在正方形ABCD所在平面内作等边三角形PAD,那么∠BPC的度数是　30°或150°　.  13.如图,已知E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点,且BE=DF,连接AE,AF,CE,CF. (1)请判断四边形AECF的形状,并说明理由; 【解析】(1)四边形AECF是菱形, 连接AC,交BD于点O, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD,AO=CO,DO=BO, ∵BE=DF, ∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF, ∴四边形AECF是平行四边形, ∵AC⊥EF, ∴四边形AECF是菱形; (2)若四边形AECF的周长为8,且BE=2,求正方形ABCD的边长. 【解析】(2)由(1)知,四边形AECF是菱形,四边形ABCD是正方形, ∵四边形AECF的周长为8,BE=2,AC⊥EF,AC=BD, ∴OA=OE+BE=OE+2,AE=CE=CF=AF=2, ∴AE2=OA2+OE2, 即(2)2=(OE+2)2+OE2, ∴OE=2, ∴OA=OB=OE+BE=4, ∴AB==4, ∴正方形ABCD的边长为4. 【C层 创新挑战(选做)】 14. (几何直观、推理能力、模型观念)(2024·楚雄期中)如图,在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE. (1)求证:CE=AD; 【解析】(1)∵DE⊥BC, ∴∠DFB=90°, ∵∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠DFB, ∴AC∥DE, ∵MN∥AB,即CE∥AD, ∴四边形ADEC是平行四边形, ∴CE=AD; (2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由; 【解析】(2)四边形BECD是菱形,理由: ∵D为AB中点,∴AD=BD, ∵CE=AD,∴BD=CE, ∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形, ∵∠ACB=90°,D为AB中点, ∴CD=BD, ∴平行四边形BECD是菱形; (3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由. 【解析】(3)当∠A=45°时,四边形BECD是正方形,理由: ∵∠ACB=90°,∠A=45°, ∴∠ABC=∠A=45°, ∴AC=BC, ∵D为AB中点,∴CD⊥AB, ∴∠CDB=90°, ∵四边形BECD是菱形, ∴菱形BECD是正方形,即当∠A=45°时,四边形BECD是正方形. 学科网（北京）股份有限公司 $$