第12章 定义 命题 证明复习课件2024-2025学年苏科版七年级数学下册

执笔：张二平 苏科版初中数学七年级下册 第12章 定义 命题 证明复习 1、掌握定义、命题、定理、逆命题、互逆命题等概念， 清楚一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题， 能准确区分命题的条件和结论。 2、会证明三角形内角和定理、多边形内角和定理、多边形 外角和定理，学会用举反例的方法说明一个命题是假命题。 3、感受数学思考过程的条理性，发展语言表达能力， 培养对数学的兴趣。 重点：理解定义、命题、定理等相关概念，能区分命题的 条件和结论，多边形内角和定理、多边形外角和定理。 难点：学会用举反例的方法说明一个命题是假命题。 学习目标 一、知识网络： 概 念 概念的定义 研究对象 假命题 举反例 命 题 真命题 证 明 定 理 二、要点梳理： 知识点1：概念的定义 1、定义：有两个相邻内角互余的四边形称为“邻余四边形”,这两个角的夹边称为“邻余线”.如图,在4×2网方格纸中,点A,B在格点(网格线的交点)上,如果点C,D在格点上,AB是“邻余线”那么该网格纸中符合条件的“邻余四边形”ABCD有 个。 知识归纳： 对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义。 数学中常用画示意图的方法直观地表达概念之间的从属关系。 2、画示意图表示下列概念间的关系。 四边形、长方形、平行四边形、正方形。 6 正方形 四边形 平行四边形 长方形 知识点2：命题 知识归纳： 1、判断真假的陈述句叫作命题。 2、数学命题一般都由条件和结论两部分组成。 3、命题一般可以写成“如果……那么……”的形式， “如果”引出部分是命题的条件， “那么”引出的部分是命题的结论. 1、现有下列语句： ①如果两个角都等于70°，那么这两个角是对顶角； ②三角形内角和等于180°； ③画线段AB=3cm,其中属于命题的有（ ） A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 2、命题“两直线平行,内错角相等”的条件 是 ,结论是 。 3、命题“对顶角相等”可以改写成 “如果              ,那么            ”。 C 两直线平行 内错角相等 两个角是对顶角 这两个角相等 知识归纳： 1、真命题与假命题： 如果条件成立，那么结论成立的命题叫做真命题. 当条件成立时，结论不成立的命题叫做假命题. 2、判断一个命题为假命题，可以用举反例来说明， 举一个符合条件，但不符合结论的例子叫举反例； 判断一个命题为真命题，必须进行正确推理，由条件 可以得出结论，这样的命题是真命题. 1、下列命题是假命题的是（ ） A、等角的余角相等。 B、如果直线a//b，直线 a//c,那么直线b//c C、同位角的平分线互相平行。 D、同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行 2、如果命题“若a>b,则 ab>b2”为假命题。 那么b的所有可能值组成的范围为 。 3、若一个命题的逆命题是“等角的补角相等”, 则原命题是 。 3、把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题， 所以每个命题都有逆命题. C 两个角的补角相等，这两个角是相等的角 b≤0 2、证明过程通常包含几个推理，每个推理应包括因、果和由因 得果的依据.其中，“因”是已知事项；“果”是推得的结论； “由因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的 定理以及等式性质、不等式性质等。 知识点3：证明 知识归纳： 1、从命题的条件出发，根据一些已知的事实(如概念的定义，基本性质，真命题等)，用“因为（∵）……，所以（∴）……”的形式一步一步推出命题的结论，从而确定这个命题为真命题 的过程称为证明。 如图，∠1+∠2=180°,∠B=∠C.求证：∠A=∠D. 在下列括号中填写推理的依据。 证明:因为∠1+∠2=180°(已知)， ∠1=∠AHB（ ） 所以∠2十∠AHB=180°(等量代换) 所以 CE//BF( ） 所以∠C=∠BFD(两直线平行,同位角相等). 因为∠B=∠C(已知)， 所以∠B=∠BFD（ ） 所以AB//CD(内错角相等,两直线平行). 所以∠A=∠D( ）。 对顶角相等 同旁内角互补,两直线平行 等量代换 两直线平行,内错角相等 知识点4：定理 知识归纳： 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理， 定理可以作为证明后续命题的依据,由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的推论，它和定理一样，也可以 作为后续证明的依据。 1、如图,在ABC中,AD是边BC上的高，且∠ACB=∠BAD,AE 平分∠CAD,交BC于点E,过点E作EF//AC,分别交AB,AD于点F,G.给出下列结论：①∠BAC=90°；②∠AEF=∠BEF；③∠BAE=∠BEA；④∠B=2∠AEF.其中正确的有( )。 A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 2、如图,在ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=100°,M是射线 AB上的一个动点,过点M作MN//BC交射线AC于点N, 连接BN若△BMN 中有两个角相等,则∠MNB的度数 可能是 。 B 25°或50°或65°或80° 知识归纳： 1、n边形的内角和等于(n－2)·180°. 其中n≥3的整数. 3、多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°。 2、多边形的一边与另一边的延长线的夹角，叫做多边形的外角. 4、用反证法证明一个命题的步骤一般为: （1）先假设命题的结论不成立. （2）从这个假设出发，经过若干步推理，得出矛盾。 （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的结论成立。 1、如图,在正六边形ABCDEF内作正方形BCGH, 则∠ABH的度数为 。 2、小明在解答“已知,在△ABC中，AB=AC, 求证:∠B<900”。 这道题时,写出了下面用反证法证明 这个命题过程中的四个推理步骤。 ①所以∠B+∠C+∠A>180°,这与三角形内角和定理相矛盾。 ②所以∠B<90°③假设∠B>90°④那么,由AB=AC,得∠C=∠B>90°,即∠B+∠C>180°请你写出这四个步骤 正确的顺序 。 30° (3)(4)(1)(2) 三、问题研讨： 例1、在数轴上，点A表示的数是4,点O表示的数是0, 点P表示的数是p(p≠0). 定义:点B在线段OP上,如果线段AB的长度有最大值m, 则称m为点A与线段OP的“闭距离”. 例如:p=2,当点B与点0重合时,m=4. 若p=-2,则m的值是( ) A.2 B. 4 C.5 D. 6 -2 p D 例2、图形的世界丰富多姿,用数学的眼光观察它们,奇妙无比. (1)如图，,EF∥CD,数学课上,老师请同学们根据图形特征 添加一个关于角的条件,使得∠BEF=∠CDG，并给出证明过程. 小丽添加的条件：∠B+∠BDG=180°.请你帮小丽将下面的 证明过程补充完整. 证明:∵EF∥CD(已知), ∴∠BEF=　　　　(　　　　　　　　　). ∵∠B+∠BDG=180°(已知), ∴BC∥　　　　(　　　　　　　　　), ∴∠CDG=　　　　(　　　　　　　　　), ∴∠BEF=∠CDG(等量代换). (2) 拓展:如图,请你从以下三个选项 ①DG∥BC,②DG平分∠ADC,③∠B=∠BCD中 任选出两个作为条件,另一个作为结论, 组成一个真命题,并加以证明. (ⅰ)条件：　　　　,结论：　　　　.(填序号) (ⅱ)证明： 例3、如图所示，有三个论断： ①∠1＝∠2；②∠B＝∠D；③∠A＝∠C， 请从中任选两个作为条件，第三个作为结论构成 一个真命题，并证明该命题的正确性. 例4、如图,六边形ABCDEF的每个内角都相等, 连接对角线AD,AD 平分∠BAF. (1)求∠ADC的度数. (2)AB与DE平行吗?请说明理由. 例5、用反证法证明 命题“三角形中至少有一个内角大于或等于60”. 四、规律总结： 1、概念与命题是数学的基本研究对象，概念需要 定义，命题要确定真假，判定假命题只需举出一 个       ，判定一个真命题则需要给证明过程是由一步一步的推理构成的，每一步推理都要       。 2、从简单和特殊情况入手、寻找规律、提出猜想 (命题)、给出证明是数学探究的基本过程。 3、反证法是数学中的一种基本证明方法， 掌握反证法的一般步骤。 1、下列语句中，是命题的为 （　 ） A、延长线段AB至C　 　B、垂线段最短　 C、过点O作直线a∥b　　D、锐角都相等吗 2、下列命题中的真命题是 (　 　) A、同位角相等 B、直角三角形的两个锐角互余 C、若a2=9,则a=3 D、如果|a|=|b|,那么a=b 五、强化训练： 3、能说明“锐角α、锐角β的和是锐角”是假命题 的例证图是 (　 ) 4、如图，平行线AB,CD被直线EF所截, 过点B作BG⊥EF于点G,已知∠1=50°, 则∠B的度数为 (　 ) A、20° B、30° C、40° D、50° 5、如图1所示，下列推理及所注理由正确的是 （　　 ） A、∵DE∥BC，∴∠1＝∠C（同位角相等，两直线平行） B、∵∠2＝∠3，∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行） C、∵DE∥BC，∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等） D、∵∠1＝∠C，∴DE∥BC（两直线平行，同位角相等） 6、如图，D，E分别是△ABC的边AB,AC上的点，CD，BE交于点F，现给出下面两个命题： ①当CD,BE是△ABC的中线时,S△BFC=S四边形ADFE； ②当CD,BE是△ABC的角平分线时, ∠BFC=90°+ ∠A； 下列说法正确的是 ( 　) A、①是真命题,②是假命题 B、①是假命题,②是真命题 C、①是假命题,②是假命题 D、①是真命题,②是真命题 7、对假命题举反例时，应注意使反例（　 　） A、满足命题的条件，并满足命题的结论 B、不满足命题的条件，但满足命题的结论 C、不满足命题的条件，但也不满足命题的结论 D、满足命题的条件，但不满足命题的结论 8、命题“如果a=b,那么|a|=|b|”的逆命题 是　　　　(填“真命题”或“假命题”)。 9、如图，在△ABC中,∠BAC=90°,∠C=50°,AH,BD分别是△ABC的高和角平分线,P为边BC上的一个动点， 当△BDP为直角三角形时,∠CDP的度数为　　 。 10、如图，在四边形ABCD中： ①AB∥CD；②∠B＝∠D；③AD∥BC. （1）请你用①、②、③中任何两个所给出的事项 作为条件，另一个事项作为结论，构造1～3个命题. （2）你构造的例题是真命题吗？为什么？ $$