第12章　定义　命题　证明(课件） 2024—2025学年苏科版数学七年级下册

第2课时　命　题 第12章　定义　命题　证明 01 基础达标 02 能力进阶 03 拓展提优 目 录 1. 下列语句不属于命题的是（　C　） A. 线段的中点到线段两端点的距离相等 B. 相等的两个角是同位角 C. 过已知直线外的任一点画已知直线的垂线 D. 与两平行线中的一条相交的直线，也必与另一条相交 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 2. （2023·常州溧阳期末）下列命题是真命题的为（　B　） A. 如果a2＝b2，那么a＝b B. 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 C. 两个互补的角一定是邻补角 D. 如果两个角是同位角，那么这两个角一定相等 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 3. （2023·南通如皋段考）下列命题中，是假命题的为（　C　） A. 邻补角一定互补 B. 平移不改变图形的形状和大小 C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 相等的角不一定是对顶角 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 4. （2023·常州新北二模）下列四组a，b的值，能说明命题“若a2＞ b2，则a＞b”是假命题的为（　B　） A. a＝2，b＝1 B. a＝－2，b＝1 C. a＝2，b＝－1 D. a＝3，b＝－2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 5. （1） 命题“对顶角相等”的条件是 ，结论 是 ⁠； （2） 命题“任何数的绝对值都是正数”是 （填“真”或 “假”）命题. 6. 指出下面命题的条件和结论： （1） 若xy＝0，则x＝0； 解：条件：xy＝0　结论：x＝0 两个角是对顶角　 这两个角相等　 假　 解：条件：两个角相等　结论：这两个角是对顶角 （2） 相等的两个角是对顶角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 7. 下列命题是真命题的为（　B　） A. 若同位角互补，则内错角相等 B. 若同位角互补，则同旁内角相等 C. 若同旁内角相等，则内错角相等 D. 若内错角互补，则同位角相等 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 8. （2023·宿迁沭阳期末改编）下列各命题的逆命题是假命题的为 （　C　） A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 如果a2≠b2，那么a≠±b C. 若ma2＞na2，则m＞n D. 相等的角是对顶角 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 9. 有下列命题：① 同旁内角互补；② 和为0的两个数互为相反数；③ 若｜a｜＝｜b｜，则a＝b.其中，真命题有（　B　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 10. 给出下列句子：① 我是中国人；② 你吃饭了吗？③ 内错角相等； ④ 延长线段AB；⑤ 若a2＞b2，则a＞b.其中， ⁠是命 题， 不是命题（填序号）. 11. （2023·盐城期末）“对顶角相等”的逆命题是 ⁠ （用“如果……那么……”的形式写出）. ①③⑤　 ②④　 如果两个角相等， 那么这两个角是对顶角　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 12. 指出下列语句中哪些是命题，哪些不是命题.是命题的请将其改写 成“如果……那么……”的形式. （1） 等角的余角相等； 解：（1） 如果两个角相等，那么这两个角的余角相等 （2） 在直线AB上任取一点P； 解：（2）不是命题 （3） 小于直角的角是锐角. 解：（3） 如果一个角小于直角，那么这个角是锐角 解：（1）（3）是命题， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 13. 判断下列命题的真假： （1） 如果｜a｜＝｜b｜，那么a3＝b3； 解：（1） 假命题 （2） 如果AC＝BC，那么C是AB的中点； 解：（2） 假命题 （3） 两个数的平方差等于这两个数的和乘这两个数的差. 解：（3） 真命题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 14. 对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列5个论断：① a∥b；② b∥c；③ a⊥b；④ a∥c；⑤ a⊥c.以其中两个论断为条 件，一个论断为结论，组成一个正确的命题（至少写出4个，用序号表 示）. 解：答案不唯一，如：如果①②，那么④；如果②④，那么①；如果② ③，那么⑤；如果③⑤，那么② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 $$ 第12章整合提升 第12章　定义　命题　证明 01 考点突破 02 素养提升 目 录 考点一 命题 1. 下列语句是命题的为（　A　） A. 互为相反数的两数之和为0 B. 过点A作直线MN的垂线 C. ∠1＝∠2吗 D. 取线段AB的中点 2. 命题“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 平行”中，条件是 ⁠. 3. （2023·南京秦淮段考）“同位角相等”的逆命题是 ⁠ ⁠. A 两条直线都与第三条直线平行　 相等的两个角 为同位角　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 返回目录 考点二 真命题与假命题 4. 下列命题中，是假命题的为（　D　） A. 直角三角形中的两个锐角互余 B. 同位角相等，两直线平行 C. 对顶角相等 D. 同旁内角互补 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 返回目录 5. 命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行” 是 命题（填“真”或“假”）. 真　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 返回目录 考点三 反证法 6. 用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先提出 的假设是（　C　） A. 同旁内角互补的两条直线平行 B. 同旁内角互补的两条直线不平行 C. 同旁内角不互补的两条直线平行 D. 同旁内角不互补的两条直线不平行 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 返回目录 7. 用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角. 解：假设△ABC中的三个内角中有两个是直角.不妨设∠A＝∠B＝ 90°，则∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形 内角和为180°相矛盾，∴ ∠A＝∠B＝90°不成立.∴ 一个三角形中 不能有两个角是直角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 返回目录 考点四 三角形内角和定理及其推论 8. （2024·长沙）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°， AD∥BC，则∠1的度数为（　C　） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 第8题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 返回目录 9. （2024·新沂期中）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是 △ABC的外角的平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P ＝ ⁠°. 第9题 30　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 返回目录 10. （2024·徐州期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且 CE交BA的延长线于点E. 第10题 （1） 若∠B＝40°，∠E＝25°，求∠BAC的度数； 解：（1） ∵ ∠B＝40°，∠E＝25°，∴ ∠DCE＝∠B＋∠E＝ 65°.∵ CE平分∠ACD，∴ ∠ACD＝2∠DCE＝130°.∴ ∠ACB＝ 180°－130°＝50°.∴ ∠BAC＝180°－∠B－∠ACB＝90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 返回目录 （2） 探究∠BAC，∠B，∠E之间的数量关系，并说明理由. 解：（2） ∠BAC＝∠B＋2∠E　理由：∵ CE平分∠ACD， ∴ ∠DCE＝∠ACE. ∵ ∠BAC＝∠E＋∠ACE，∴ ∠BAC＝∠E＋ ∠DCE. ∵ ∠DCE＝∠B＋∠E，∴ ∠BAC＝∠E＋∠B＋∠E，即 ∠BAC＝∠B＋2∠E. 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 返回目录 考点五 多边形的内角和与外角和 11. （2024·睢宁期中）一个多边形每个外角都是72°，则该多边形的边 数是（　B　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 返回目录 12. （2024·沛县期中）从如图所示的五边形ABCDE纸片中剪去一个三 角形，剩余部分的多边形的内角和是 ⁠. 第12题 360°或540°或720°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 返回目录 13. （2024·宿迁宿豫期中）如图，六边形ABCDEF的内角都相等， ∠DAB＝60°. 第13题 （1） 求∠ADC的度数； 解：（1） ∵ 六边形ABCDEF的内角都相等，∴ ∠B＝∠C＝ 120°.∵ ∠DAB＝60°，∴ ∠ADC＝360°－∠B－∠C－∠DAB＝ 60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 返回目录 （2） 探索AD与EF有怎样的位置关系，并说明理由. 解：（2） AD∥EF　理由：∵ 六边形ABCDEF的内角都相等， ∴ ∠F＝∠FAB＝120°.∵ ∠DAB＝60°，∴ ∠FAD＝60°.∴ ∠F ＋∠FAD＝120°＋60°＝180°.∴ AD∥EF. 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 返回目录 [徐州考题聚焦] 14. （2024·睢宁期末）有下列说法：① 相等的角是对顶角；② 同位角 相等；③ 过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④ 直线外一点到 这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.其中，真命题有 （　A　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 返回目录 15. （2024·新沂期中）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判 断AB∥CD的是（　D　） A. ∠3＝∠4 B. ∠D＋∠ACD＝180° C. ∠D＝∠DCE D. ∠1＝∠2 第15题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 返回目录 16. （2024·沛县期末）如图，把△ABC沿EF翻折，点B，C的对应点 为B'，C'，若∠A＝60°，∠1＝95°，则∠2的度数是（　C　） A. 15° B. 20° C. 25° D. 35° 第16题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 返回目录 17. （2024·贾汪期末）如图，在五边形ABCDE中，∠A＝120°，则 ∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数是 ⁠. 第17题 300°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 返回目录 [江苏考题聚焦] 18. （2023·扬州邗江一模）下列能说明“相等的角是对顶角”是假命题 的一个反例是（　A　） A B C D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 返回目录 19. （2024·宿迁泗洪期末）一个多边形的每个内角都等于135°，则这 个多边形的边数为（　A　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 返回目录 20. （2024·泰州靖江期末）如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度 数为（　A　） A. 180° B. 260° C. 270° D. 360° 第20题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 返回目录 21. （2023·南京期中）命题“任意两个负数之和是负数”的逆命题 是 命题（填“真”或“假”）. 假　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 返回目录 22. （2023·扬州邗江段考）如图，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，BE，CF相交于点D，则∠CDE的度 数是 ⁠. 第22题 70°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 返回目录 23. （2024·淮安期末）如图，∠ABE是四边形ABCD的一个外角，且 ∠ABE＝∠D. 求证：∠A＋∠C＝180°. 第23题 解：∵ ∠ABE＝∠D，∠ABE＋∠ABC＝180°，∴ ∠ABC＋∠D＝ 180°.又∵ 四边形内角和等于360°，∴ ∠A＋∠C＝180° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 返回目录 $$ 第1课时　定　义 第12章　定义　命题　证明 01 基础达标 02 能力进阶 03 拓展提优 目 录 1. 下列语句不属于定义的是（　C　） A. 两边相等的三角形是等腰三角形 B. 两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离 C. 互为相反数的两个数的平方相等 D. 含有未知数的等式叫作方程 C 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 2. 自然数6的所有因数为1，2，3，6，这几个因数之间的关系是1＋2＋ 3＝6，像这样的数叫作完全数（也叫完美数）.下列数中，属于完全数 的是（　B　） A. 24 B. 28 C. 36 D. 9 B 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 3. 将如图所示的平面图形按要求分类（填序号）. 第3题 （1） 可由一个基本图形经平移而成的图形： ⁠； （2） 可由一个基本图形经翻折而成的图形： ⁠； （3） 可由一个基本图形经旋转而成的图形： ⁠. ③　 ②　 ①　 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 4. 给出下列语句：① 两点确定一条直线；② 在同一平面内，不相交的 两条直线叫作平行线；③ 角的平分线是一条射线.其中，是定义的为 （　B　） A. ① B. ② C. ①② D. ②③ B 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 5. 将如图所示的图形按要求进行分类（写序号）. 第5题 （1） 将图形按平面图形与立体图形分类； 解：（1） 立体图形：①③④⑤⑧　平面图形：②⑥⑦ 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 （2） 把立体图形按柱、锥、球分类； 解：（2） 柱体：①③　锥体：④⑧　球：⑤ （3） 指出立体图形中各面都是平面的图形； 解：（3） ③⑧ （4） 指出立体图形中各面的交线都是曲线的图形. 解：（4） ①④ 第5题 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 6. （2024·泰州海陵段考）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个 自然数a，我们把小于a的正因数叫作a的真因数，如10的正因数有1， 2，5，10，其中1，2，5是10的真因数.把一个自然数a的所有真因数的 和除以a，所得的商叫作a的“完美指标”，如10的“完美指标”是（1 ＋2＋5）÷10＝ .一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个 数越“完美”，如8的“完美指标”是（1＋2＋4）÷8＝ ，10的“完美 指标”是 ，因为 比 更接近1，所以我们说8比10更“完美”. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 （1） 试计算6的“完美指标”； 解：（1） 6的真因数有1，2，3，根据“完美指标”的定义，可得6的 “完美指标”为（1＋2＋3）÷6＝1 （2） 试计算7和9的“完美指标”； 解：（2） 7的真因数有1，根据“完美指标”的定义，可得7的“完美 指标”为1÷7＝ .9的真因数有1，3，根据“完美指标”的定义，可得 9的“完美指标”为（1＋3）÷9＝ 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 （3） 试找出16，17，18三个自然数中，最“完美”的数. 解：（3） 16的真因数有1，2，4，8，根据“完美指标”的定义，可得 16的“完美指标”为（1＋2＋4＋8）÷16＝ .17的真因数有1，根据 “完美指标”的定义，可得17的“完美指标”为1÷17＝ .18的真因 数有1，2，3，6，9，根据“完美指标”的定义，可得18的“完美指 标”为（1＋2＋3＋6＋9）÷18＝ .由以上所求的“完美指标”，易得 16的“完美指标”最接近1，所以16，17，18三个自然数中，最“完 美”的数是16 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 7. 如果两个锐角的和等于90°，就称这两个角互为余角.类似可以定 义：如果两个角的差的绝对值等于90°，就可以称这两个角互为垂角， 例如：∠1＝120°，∠2＝30°，｜∠1－∠2｜＝90°，则∠1和∠2互 为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）. 第7题 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 （1） 如图，O为直线AB上一点，OC⊥AB于点O，OE⊥OD于点 O，写出图中所有互为垂角的角： ⁠ ⁠； ∠EOB与∠DOB，∠EOB与 ∠EOC，∠AOD与∠COD，∠AOD与∠AOE　 第7题 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 （2） 如果有一个角的垂角等于这个角的补角的 ，求这个角的度数. 解：设这个角的度数为x.① 当0°＜x＜90°时，它的垂角是90°＋x. 依题意，得90°＋x＝ （180°－x），解得x＝30°.② 当90°＜x＜ 180°时，它的垂角是x－90°.依题意，得x－90°＝ （180°－ x），解得x＝130°.综上所述，这个角的度数为30°或130° 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 $$ 第3课时　证　明 第12章　定义　命题　证明 01 基础达标 02 能力进阶 03 拓展提优 目 录 1. 如图，直线AB与直线CD相交于点O，下列条件中不能说明 AB⊥CD的是（　C　） A. ∠AOC＝90° B. ∠AOC＝∠BOC C. ∠AOC＝∠BOD D. ∠AOC＋∠BOD＝180° 第1题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 2. 如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，交AC于点E. 若E是AC的中 点，∠ACD＝40°，则∠B的度数是（　A　） A. 50° B. 45° C. 40° D. 35° 第2题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 3. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝45°，∠ACE ＝65°，则∠A的度数是 ⁠. 第3题 85°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 4. 填空： （1） 如图①，∵ ∠1＝60°（已知），∠2＝60°（已知）， ∴ ∥ （　 　）. a　 b　 内错角相等，两直线平行　 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 如图②，∵ AB∥CD（已知），∴ ∠A＋∠D＝ ⁠ （　 　）. ∵ AD∥BC（已知），∴ ∠A＋ ＝ ⁠ （　 　）. ∴ ∠ ＝∠ （　 　）. 第4题 180°　 两直线平行，同旁内角互补　 ∠B　 180°　 两直线平行，同旁内角互补　 B　 D　 同角的补角相等　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 5. 观察下列式子：① 32－12＝8×1；② 52－32＝8×2；③ 72－52＝ 8×3；④ 92－72＝8×4；…. （1） 若n≥1且n为整数，请用含n的等式把以上式子的规律表示出 来； 解：（1） （2n＋1）2－（2n－1）2＝8n （2） 证明（1）中的结论； 解：（2） 等式左边＝4n2＋4n＋1－（4n2－4n＋1）＝4n2＋4n＋1－ 4n2＋4n－1＝8n＝等式右边，∴ （2n＋1）2－（2n－1）2＝8n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （3） 将160写成两个正整数的平方差的形式：160＝（　 　）2－ （　 　）2. 41　 39　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 6. 如图，给出下列推理：① ∵ ∠B＝∠BEF，∴ AB∥EF；② ∵ ∠B ＝∠CDE，∴ AB∥CD；③ ∵ ∠DCE＋∠AEF＝180°，∴ AB∥EF；④ ∵ ∠A＋∠AEF＝180°，∴ AB∥EF. 其中，正确的是 （　B　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 第6题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 7. （2024·盐城）小明将一块直角三角尺按如图所示的方式摆放在直尺 上，若∠1＝55°，则∠2的度数为（　B　） A. 25° B. 35° C. 45° D. 55° 第7题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 8. 如图，AB∥CD，EF∥GH，∠1＝60°，则∠2的补角为（　D　） A. 60° B. 100° C. 110° D. 120° 第8题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 9. 完成下面的证明： 第9题 如图，CD⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为D，F，∠1＝∠2. 求证：DE∥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 证明：∵ CD⊥AB，FG⊥AB（　 　）， ∴ ∠BDC＝∠BFG＝90°（　 　）. ∴ CD∥ （　 　）. ∴ ∠2＝∠3（　 　）. 又∵ ∠1＝∠2（已知），∴ ∠1＝∠3（　 　）. ∴ DE∥ （　 　）. 已知　 垂直的定义　 GF　 同位角相等，两直线平行　 两直线平行，同位角相等　 等量代换　 BC　 内错角相等，两直线平行　 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 10. 如图，AB∥CD，∠B＝∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别 交于点E，F. 求证：∠DEF＝∠F. 第10题 解：∵ AB∥CD，∴ ∠DCF＝∠B. ∵ ∠B＝∠D，∴ ∠DCF＝ ∠D. ∴ AD∥BF. ∴ ∠DEF＝∠F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 11. 如图，∠1＋∠2＝180°，∠A＝∠C，DA平分∠BDF. 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （1） AE与FC平行吗？请说明理由. 解：（1） 平行　理由：∵ ∠1＋∠2＝180°（已知），∠2＋∠CDB ＝180°（邻补角的定义），∴ ∠1＝∠CDB（同角的补角相等）. ∴ AE∥FC（同位角相等，两直线平行）. 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） AD与BC的位置关系如何？为什么？ 解：（2） AD∥BC　∵ AE∥FC（已证），∴ ∠C＝∠CBE（两直 线平行，内错角相等）.又∵ ∠A＝∠C（已知），∴ ∠A＝∠CBE （等量代换）.∴ AD∥BC（同位角相等，两直线平行） 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （3） BC平分∠DBE吗？为什么？ 解：（3） BC平分∠DBE　∵ DA平分∠BDF（已知），∴ ∠FDA＝ ∠ADB（角平分线的定义）.∵ AE∥FC（已证），∴ ∠A＝∠FDA （两直线平行，内错角相等）.∴ ∠A＝∠ADB（等量代换）. ∵ AD∥BC（已证），∴ ∠A＝∠CBE（两直线平行，同位角相 等），∠ADB＝∠CBD（两直线平行，内错角相等）.∴ ∠CBE＝ ∠CBD（等量代换）.∴ BC平分∠DBE（角平分线的定义） 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 $$ 第5课时　定　理（2） 第12章　定义　命题　证明 01 基础达标 02 能力进阶 03 拓展提优 目 录 1. （2024·云南）一个七边形的内角和等于（　B　） A. 540° B. 900° C. 980° D. 1080° 2. （2024·乐山）下列多边形中，内角和最小的是（　A　） A B C D 3. 若一个n边形的内角和是1440°，则n＝ ⁠. B A 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 4. （2024·重庆）如果一个多边形的每一个外角都是40°，那么这个多 边形的边数为 ⁠. 9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 5. （2024·南通启东段考）如图，在五边形ABCDE中，AP平分 ∠EAB，BP平分∠ABC. 第5题 （1） 五边形ABCDE的内角和为 ⁠； 540°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 若∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，求∠P的度数. 解：∵ 在五边形ABCDE中，∠EAB＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＝ 540°，∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，∴ ∠EAB＋∠ABC ＝230°.∵ AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，∴ ∠PAB＝ ∠EAB， ∠PBA＝ ∠ABC. ∴ ∠PAB＋∠PBA＝ （∠EAB＋∠ABC）＝ 115°.∴ ∠P＝180°－（∠PAB＋∠PBA）＝65° 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 6. （2024·赤峰）如图所示为正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n 边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角的度数为 60°，则n的值是（　B　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 第6题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 7. （2024·铜山期中）如图所示为可调躺椅的示意图，AE与BD的交点 为C，且∠A，∠B，∠E保持不变，为了舒适，需调整∠D的大小， 使∠EFD＝110°，则图中∠D应（　B　） A. 增加10° B. 减少10° C. 增加20° D. 减少20° 第7题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 8. （2024·沛县期中）一个多边形的内角和与外角和的总和为720°，则 这个多边形是 边形. 四　 9. （2024·南京鼓楼段考）小明在用计算器计算一个多边形的内角和 时，得出的结果为2005°，小芳立即判断他的结果是错误的，小明仔细 地复算了一遍，果然发现自己把一个角的度数输入了两遍，则正确的内 角和为 ⁠. 1980°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 10. （2024·连云港灌云段考）一个多边形的内角和是它外角和的2倍， 求这个多边形的边数. 解：设这个多边形的边数是n.根据题意，得（n－2）·180°＝ 2×360°，解得n＝6.∴ 这个多边形的边数是6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 11. （2024·扬州邗江段考）如图所示为佳佳与明明的对话，根据对话内 容解决下面的问题： 第11题 （1） “多边形内角和为2023°”可能吗？ （填“可能”或 “不可能”）. 不可能　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 明明求的是几边形的内角和？ 解：设多边形的边数为n，则其内角和为（n－2）×180°.根据题 意，得多加的外角为2023°－（n－2）×180°，∴ 0°＜2023°－ （n－2）×180°＜180°，解得12 ＜n＜13 .∵ n是正整数， ∴ n＝13.∴ 明明求的是十三边形的内角和 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 12. （2024·泰州姜堰段考） （1） 如图①所示的图形我们把它称为“8字形”，求证：∠A＋∠B＝ ∠C＋∠D； 解：（1） ∵ ∠A＋∠B＋∠AOB＝∠C＋∠D＋∠COD＝180°， ∠AOB＝∠COD，∴ ∠A＋∠B＝∠C＋∠D 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 利用（1）中的结论，求如图②所示的图形中∠A＋∠B＋∠C＋ ∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数. 第12题 解：（2） 连接BE. 由（1），得∠C＋∠D＝∠CBE＋∠DEB. ∴ ∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝∠A＋∠ABC ＋∠CBE＋∠DEB＋∠DEF＋∠F＋∠G＝∠A＋∠ABE＋∠BEF ＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 $$ 第4课时　定　理（1） 第12章　定义　命题　证明 01 基础达标 02 能力进阶 03 拓展提优 目 录 1. （2024·徐州期中）如图，BE为△ABC的外角∠CBD的平分线，若 ∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBD的度数为（　B　） A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° 第1题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 2. 若一个三角形的三个内角度数的比为2∶3∶4，则这个三角形是 （　A　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 3. 如图，在△ABC中，∠A＋∠B＝120°，∠A－∠B＋∠C＝ 120°，则∠A＝ °，∠B＝ ⁠°. 第3题 90　 30　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 4. （2023·睢宁期中）将一副三角尺按如图所示的方式放置，∠C＝ 60°，∠D＝45°，则∠DFB＝ ⁠. 第4题 75°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 5. （2023·邳州期中）△ABN和△ACM的位置如图所示，∠B＝∠C， ∠1＝∠2.求证：∠M＝∠N. 第5题 解：∵ ∠B＝∠C，∠1＝∠2，∠AEC＝180°－∠2－∠C，∠ADB ＝180°－∠1－∠B，∴ ∠AEC＝∠ADB. ∴ ∠NEO＝∠MDO. ∵ ∠NOE＝∠MOD，∠M＝180°－∠MDO－∠MOD，∠N＝ 180°－∠NEO－∠NOE，∴ ∠M＝∠N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 6. 如图，在△AOB中，∠O＝90°，C为AO上一点，且不与点A，O 重合，则x可能是（　B　） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 第6题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 7. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放.若∠1＝80°，则∠2的度数为 （　B　） A. 80° B. 95° C. 100° D. 110° 第7题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 8. （1） 如图①，AB∥CD，∠ABE＝66°，∠D＝54°，则∠E ＝ ⁠. 第8题 （2） 如图②，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于E，F两 点，EP平分∠AEF，过点F作FP⊥EP，垂足为P. 若∠PEF＝30°， 则∠PFC＝ ⁠. 12°　 60°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 9. 如图，D是△ABC所在平面内一点，连接BD，DC. 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （1） 若点D在△ABC的内部，求证：∠BDC＝∠A＋∠ABD＋ ∠ACD； 解：（1） 延长CD，交AB于点E. ∵ ∠BDC是△BDE的外角， ∴ ∠BDC＝∠DBE＋∠BEC. 又∵ ∠BEC是△AEC的外角，∴ ∠BEC＝∠A＋∠ACE. ∴ ∠BDC＝∠A＋∠DBE＋∠ACE，即 ∠BDC＝∠A＋∠ABD＋∠ACD 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） 如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC，∠A， ∠ABD，∠ACD这四个角有怎样的数量关系，请具体说明. 解：（2） ∠BDC＋∠A＋∠ABD＋∠ACD＝360°　如答案图， 第9题答案 ∵ 四边形ABDC的内角和为360°，∴ ∠BDC＋∠A＋∠ABD＋ ∠ACD＝360° 第9题答案 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 10. 请你参与下面的探究过程，完成所提出的问题. （1） 探究1：如图①，P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP 和CP的交点.若∠A＝70°，则∠BPC＝ ⁠. 第10题 125°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） 探究2：如图②，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分 线BP和CP的交点，∠P与∠A之间有什么数量关系？请说明理由. 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 解：（2） ∠P＝90°－ ∠A　理由：∵ BP，CP分别是外角 ∠DBC，∠ECB的平分线，∴ ∠PBC＋∠PCB＝ （∠DBC＋ ∠ECB）＝ （∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC）＝ （180°＋∠A）. 在△PBC中，∠P＝180°－（∠PBC＋∠PCB）＝180°－ （180° ＋∠A）＝90°－ ∠A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （3） 拓展：如图③，P是四边形ABCD的外角∠EBC与外角∠BCF的 平分线BP和CP的交点，设∠A＋∠D＝α. ① 用含α的式子表示∠P（直接写出结果）； 解：（3） ① ∠P＝180°－ α 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 ② 根据α的值的情况，判断△BPC的形状（按角分类）. 第10题 ② 当0°＜α＜180°时，△BPC是钝角三角形；当α＝180°时，△BPC 是直角三角形；当180°＜α＜360°时，△BPC是锐角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 $$ 第6课时　定　理（3） 第12章　定义　命题　证明 01 基础达标 02 能力进阶 目 录 1. （2024·云龙段考）用反证法证明命题“在同一平面内，若a⊥b， c⊥b，则a∥c”时，首先应假设（　A　） A. a与c相交 B. c∥b C. a∥b D. a与b相交 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. （2024·宿迁宿城期中）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少 有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（　A　） A. 两个锐角都大于45° B. 两个锐角都小于45° C. 两个锐角都不大于45° D. 两个锐角都等于45° A 返回目录 3. （2024·盐城滨海段考）用反证法证明“在直角三角形ABC中，∠C ＝90°，∠A≠45°，求证：AC≠BC”，第一步应先假设 ⁠ ⁠. 4. （2024·镇江京口期中）用反证法证明“若a≥b＞0，则a2≥b2”， 应先假设 ⁠. AC＝ BC　 a2＜b2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 5. （用反证法证明）如图，直线a∥c，b∥c，求证：a∥b. 　第5题答案 解：如图，假设a与b相交，则过M点有两条直线平行于直线c，这与 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，∴ 假设不成 立.∴ a∥b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 6. （2024·淮安期中）用反证法证明“在△ABC中，AB＝AC，求证： ∠B＜90°.”时，第一步应假设（　D　） A. ∠B≠90° B. AB≠AC C. ∠B＞90° D. ∠B≥90° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 7. （2024·泰州海陵段考）用反证法证明“三角形中最多有一个内角是 直角”应先假设这个三角形中（　A　） A. 至少有两个内角是直角 B. 没有一个内角是直角 C. 至少有一个内角是直角 D. 每一个内角都不是直角 8. 用反证法证明“已知a＜b，b＜c，求证：a＜c.”时，第一步应先 假设 ⁠. A a≥c　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 9. 我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于 或等于60°”.下列为证明过程中的四个步骤：① 这与“三角形的内角 和等于180°”这个定理相矛盾；② 所以在一个三角形中，至少有一个 内角小于或等于60°；③ 假设三角形没有一个内角小于或等于60°， 即三个内角都大于60°；④ 则三角形的三个内角的和大于180°.这四 个步骤正确的顺序是 （填序号）. ③④①②　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 10. 用反证法证明：在△ABC中，至少有两个角是锐角. 解：假设在三角形中最多有一个锐角，则另两个角为直角或钝角，此时 三角形内角和超过180°，这与三角形内角和定理相矛盾，∴ 假设不成 立.∴ 在△ABC中，至少有两个角是锐角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 $$