精品解析：山东省聊城市莘县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期末学业水平检测 八年级数学试题 （时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 如图，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式，，，，，中，分式共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是 A. ∠A=∠C B. AD=CB C. BE=DF D. AD∥BC 4. 如果等腰三角形一个角为，则它的底角度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 5. 若分式 的值为0，则x的值为（ ） A B. 0 C. 1 D. 6. 如图，任意画一个的，再分别作的两条边的角平分线和，、相交于点P，连接，下列结论中错误的有（ ） A. B. 平分 C. D. 7. 九年级某班30位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于成绩的 统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） 成绩 44 45 46 47 48 49 50 人数 ■ ■ 2 3 6 7 9 A. 平均数，方差 B. 中位数，方差 C. 中位数，众数 D. 平均数，众数 8. 如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以点B，点D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，连接交于点E，已知，则的周长为（　　） A. B. C. D. 9. 乘坐高铁现在是人们非常方便快捷的一种出行方式，甲、乙两城市之间的铁路距离约，乘坐高铁列车比普通快车能提前到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的2倍，设普通快车的平均行驶速度为，根据题意所列出的方程为（ ） A. B. C D. 10. 已知：如图，在中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接． 以下四个结论： ①；②；③； ④． 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标，则______． 12. 如图，在中，和平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为____________． 13. 若关于的方程有增根，则的值是______． 14. 某校体育测试，女生考核“立定跳远”、“800米”、“仰卧起坐”三项，并按的权重计算体育成绩．已知小颖这三项的测试成绩分别为80分、90分、100分，则小颖的体育成绩为______分． 15. 如图，在中，边，的垂直平分线相交于点P．若，则_______． 16. 对于代数式m，n，定义运算“”：，例如：，若，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共计72分．解答题需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列分式方程： （1）； （2）． 18. （1）已知，求的值； （2）先化简再求值：先化简，然后从，0，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 19. 如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC． 20. 为了参加青少年校园足球比赛，某学校组织了一次体育知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为，，，四个等级，其中相应等级得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将八年级（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成统计图，如图所示： （1）把一班竞赛成绩统计图补充完整： （2）写出下表中，，的值： 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 （1）班 90 90 （2）班 88 100 136 （3）根据（2）的结果，请你对这次竞赛成绩的结果进行分析，推荐一个班级进行表彰，并说明理由． 21. 如图，已知的顶点分别为． （1）作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； （2）若点是内部一点，则点关于轴对称的点的坐标是______． （3）在轴上找一点，使得最小（画出图形，找到点的位置）． 22. 如图，点C在线段上，平分． （1）证明：； （2）若，求面积． 23. “绿水青山就是金山银山”，县政府为了美化生态环境，给居民创造舒适生活，计划将滨河路段改建成滨河步道．一期工程共有7000吨渣土要运走，现计划由甲、乙两个工程队运送渣土．已知甲平均每天运走的渣土比乙平均每天运走的渣土多，这样甲运走4000吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天．求甲、乙两个工程队平均每天各运渣土多少吨？ 24. 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. （1）问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：； 图1 （2）解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由. 图2 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期末学业水平检测 八年级数学试题 （时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 如图，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的相关知识，掌握轴对称图形的性质是解题的关键； 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形． 【详解】解：A.不是轴对称图形； B.是轴对称图形； C.不是轴对称图形； D.不是轴对称图形； 故选：B． 2. 下列各式，，，，，中，分式共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查分式的判断，解题的关键是根据分式的定义“形如，其中A、B为整式，且B中含有字母的式子叫分式”． 【详解】解：分式为，，，，共个， 故选：D． 3. 如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是 A. ∠A=∠C B. AD=CB C. BE=DF D. AD∥BC 【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定依次证明即可． 【详解】解：∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF． ∴AF=CE． A．在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意． B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项符合题意． C．在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项不符合题意． D．∵AD∥BC， ∴∠A=∠C．由A选项可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了添加条件证明三角形全等，解题的关键是熟练运用判定三角形全等的方法． 4. 如果等腰三角形的一个角为，则它的底角度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过等腰三角形的两个底角相等分析判断即可. 【详解】解：分两种情况求当的角为顶角时，则等腰三角形的两个底角的度数为； 当的角为底角时，则等腰三角形的顶角为； 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论． 5. 若分式 的值为0，则x的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件列出方程和不等式，解方程和不等式得到答案． 【详解】由题意得：|x|−1＝0，x2−3x+2≠0，解得，x＝-1， 故选：A． 【点睛】本题考查的是分式为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键． 6. 如图，任意画一个的，再分别作的两条边的角平分线和，、相交于点P，连接，下列结论中错误的有（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，A正确；由可知，过点P作，，，由角平分线的性质可知是的平分线，B正确，由可证，可得，即可判断C，故可求解． 【详解】解：∵、分别是与的角平分线，， ∴， ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， 过点P作于N，于G，于H， 又∵、分别是与的角平分线， ∴， ∴是的平分线， 故B选项正确，不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴， 若，， 则， 故C选项错误，符合题意； 由②知， 即P到、的距离相等， ∴， 故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 7. 九年级某班30位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于成绩的 统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） 成绩 44 45 46 47 48 49 50 人数 ■ ■ 2 3 6 7 9 A. 平均数，方差 B. 中位数，方差 C. 中位数，众数 D. 平均数，众数 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查统计量的选择，根据众数和中位数的定义求解可得，解题的关键是掌握众数和中位数的概念． 【详解】解：这组数据中成绩为44、45的人数和为， 则这组数据中出现次数最多的数50，即众数50， 第15、16个数据都是49， 则中位数为49， 故选：C． 8. 如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以点B，点D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，连接交于点E，已知，则的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质等知识．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质是解题的关键． 解：由作图可知，，直线为线段垂直平分线，则，根据的周长为，计算求解即可． 【详解】解：由作图可知，，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 故选：D． 9. 乘坐高铁现在是人们非常方便快捷的一种出行方式，甲、乙两城市之间的铁路距离约，乘坐高铁列车比普通快车能提前到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的2倍，设普通快车的平均行驶速度为，根据题意所列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意．根据题意可直接列出方程． 【详解】解：由题意可列出方程为； 故选：D． 10. 已知：如图，在中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接． 以下四个结论： ①；②；③； ④． 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到垂直于，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中，， ∴， ∴，本结论正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，本结论正确； ③∵， ∴， ∴， 则，本结论正确； ④∵， ∴，本结论正确， 故正确的结论有4个， 故选：D． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，利用关于y轴对称的点纵坐标相同，可得，即可求出答案． 【详解】解：∵点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 12. 如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为____________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得的周长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴的周长 ， 故答案为：12． 13. 若关于的方程有增根，则的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】解：分式方程变形得：， 去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 14. 某校体育测试，女生考核“立定跳远”、“800米”、“仰卧起坐”三项，并按的权重计算体育成绩．已知小颖这三项的测试成绩分别为80分、90分、100分，则小颖的体育成绩为______分． 【答案】91 【解析】 【分析】此题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式列出算式是本题的关键；本题易出现的错误是求80、90、100这三个数的平均数．根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可． 【详解】解：根据题意得：（分）； 故答案为：91． 15. 如图，在中，边，的垂直平分线相交于点P．若，则_______． 【答案】##140度 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，四边形内角和，根据相关定理确定角之间的数量关系是解题的关键． 连接，先根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质得出，，再根据四边形内角和得出的度数，最后根据角的数量关系即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 边，的垂直平分线相交于点P， ，， ，， ， ， ， ． 故答案：． 16. 对于代数式m，n，定义运算“”：，例如：，若，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法，根据定义运算表示出的式子，再将进行运算，便得到A和B的值，最后代入中，求出结果即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：8． 三、解答题（本大题共8个小题，共计72分．解答题需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． （1）按照解分式方程的一般步骤求解即可，注意验根； （2）按照解分式方程的一般步骤求解即可，注意验根． 【小问1详解】 解：原式去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的根； 【小问2详解】 解：原式去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的增根，原方程无解． 18. （1）已知，求的值； （2）先化简再求值：先化简，然后从，0，1，2中选取一个合适数作为x的值代入求值． 【答案】（1） ；（2） ， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，分式的性质等知识，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先去分母，再移项合并得，从而得解； （2）按照分式化简求值的一般步骤求解即可，注意分母和除数不为零． 详解】解：（1）∵， ∴去分母得： 去括号得：， 移项合并得：， ∴； （2）原式 ， 要使原式有意义，则， ∴取，原式． 19. 如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以∠ACB=∠DBC，故OB=OC． 【详解】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中 ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴∠OBC=∠OCB， ∴BO=CO． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 20. 为了参加青少年校园足球比赛，某学校组织了一次体育知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为，，，四个等级，其中相应等级得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将八年级（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成统计图，如图所示： （1）把一班竞赛成绩统计图补充完整： （2）写出下表中，，的值： 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 （1）班 90 90 （2）班 88 100 136 （3）根据（2）的结果，请你对这次竞赛成绩的结果进行分析，推荐一个班级进行表彰，并说明理由． 【答案】（1）图见解析；（2），，；（3）推荐（1）班，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）先根据参加比赛的总人数和A、B、D三个等级的人数求出C等级的人数，再补全统计图即可得； （2）利用平均数和方差的计算公式、中位数的定义即可得； （3）根据平均数、中位数和方差的意义即可得． 【详解】（1）C等级的人数为（名）， 补全统计图如下： （2）由题意得：， ， ， （2）班成绩中的A、B等级人数之和为（名）， （2）班同学成绩按从大到小进行排序后，第13个数为90， ； （3）推荐（1）班，理由如下： 根据（2）的结果可知，（1）班和（2）班的平均数、中位数均相等，（1）班的方差小于（2）班的方差，说明（1）班的成绩波动小，更稳定． 【点睛】本题考查了条形统计图、平均数、中位数和方差，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． 21. 如图，已知的顶点分别为． （1）作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； （2）若点是内部一点，则点关于轴对称的点的坐标是______． （3）在轴上找一点，使得最小（画出图形，找到点的位置）． 【答案】（1）见解析，点的坐标为 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】此题考查了轴对称的作图和性质，准确作图是解题的关键． （1）找到关于轴对称的对应点，顺次连接即可得到，再写出点的坐标即可； （2）根据关于关于轴对称的点的坐标的特征写出答案即可； （3）根据轴对称的性质取点关于轴的对称点，连接交轴于点，即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求．由图可得，点的坐标为． 【小问2详解】 由题意得，点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 【小问3详解】 如图，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 此时，为最小值，则点即为所求． 22. 如图，点C在线段上，平分． （1）证明：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】（1）根据，可以得到，然后根据即可证明结论成立； （2）根据（1）中的结果和等腰三角形的性质，可以得到的长，，再根据三角形的面积计算公式即可计算出的面积． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， 又∵平分， ∴， ∴垂直平分， ∵． ∴， ∴， 即的面积是12． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是找出需要的条件，其中用到的数学思想是数形结合的思想． 23. “绿水青山就是金山银山”，县政府为了美化生态环境，给居民创造舒适生活，计划将滨河路段改建成滨河步道．一期工程共有7000吨渣土要运走，现计划由甲、乙两个工程队运送渣土．已知甲平均每天运走的渣土比乙平均每天运走的渣土多，这样甲运走4000吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天．求甲、乙两个工程队平均每天各运渣土多少吨？ 【答案】甲工程队平均每天运渣土500吨，乙工程队平均每天运渣土300吨 【解析】 【分析】本题考查了分式方程应用，设乙平均每天运渣土x吨，则甲平均每天运渣土吨，由题意：甲运走4000吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天．列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设乙平均每天运渣土x吨，则甲平均每天运渣土吨， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲工程队平均每天运渣土500吨，乙工程队平均每天运渣土300吨． 24. 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. （1）问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：； 图1 （2）解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由. 图2 【答案】（1）见解析 （2）； 【解析】 【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，， 理由如下：由（1）的方法得，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$