重点05根式不等式与集合讲义-2026届高三体育单招数学一轮复习

重点05根式不等式与集合 目录 1 知识点01根式运算 2 2 知识点02根式不等式 2 3 知识点03根式不等式与集合 5 4 题型一、根式的混合运算 6 5 题型二、解根式不等式 6 6 题型三、根式不等式与集合 6 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01根式运算 (1) 二次根式的概念 形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． (2) 二次根式有意义的条件 要使二次根式有意义，则a≥0． (3) 最简二次根式 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． (4) 同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式 (5) 二次根式的加减 合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式． (6) 二次根式的乘法法则： · · · (7) 二次根式的除法法则 · · (8) 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的 知识点02根式不等式 (1) 根式和正数的不等式 【例题1】 根据被开方数为非负数得： 不等号两边同时平方得： 平方后得到： 移项： 系数化为1： 取交集得到：和取交集结果为： 【例题2】 根据被开方数为非负数得： 不等号两边同时平方得： 平方后得到： 移项： 系数化为1： 取交集得到：和取交集结果为： (2) 根式和负数的不等式 【例题3】 根据被开方数为非负数得： 根式计算得结果肯定为非负数：故得解为： 取交集得到：和取交集结果为： 【例题4】 根式计算得结果肯定为非负数：故得解为： (3) 根式和根式的不等式 【例题5】 根据被开方数为非负数得： 不等号两边同时平方得： 平方后得到： 移项： 系数化为1： 取交集得到：和取交集结果为： 【例题6】 根据被开方数为非负数得： 不等号两边同时平方得： 平方后得到： 移项： 取交集得到：和取交集结果为： (4) 根式和未知数的不等式 【例题7】 因为的正负未知，故需要讨论的正负 (i) 根据被开方数为非负数得： 因为为正数，故： 不等号两边同时平方得： 平方后得到： 移项： 解得： 解集取交集： 得： (ii) 根据被开方数为非负数得： 因为为正数，根式的非负性，故： 不等式恒成立，即 解集取交集： 得：解集为 综上所述：不等式得解集为和的并集，即 知识点03根式不等式与集合 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型一、根式的混合运算 1．计算：． 2．计算：． 3．计算：； 4．计算：． 5．计算：． 6．计算： (1) (2) 7．计算：． 8．计算：． 9．计算：． 10．计算：； 11．计算：． 12．计算： 13．计算： (1)； (2)； (3)； 14．计算： (1)； (2)． 15．计算 (1)； (2)； (3)； 16．计算： (1)； (2)； (3)； 17．计算 (1)； (2)． 18．计算：． 19．． 20．计算：． 21．计算： 题型二、解根式不等式 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2.不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集是 ． 4．不等式的解集是 ． 5．不等式的解集是 . 6．不等式的解是 . 7．不等式的解集为 8．不等式的解集是 . 9．不等式的解集是 10．解不等式：． 11．解不等式：． 12．解不等式： 13．解不等式： 14．解不等式：． 15．解不等式：. 16．解不等式：； 17．解不等式:. 18．解不等式：≥x-1 题型三、根式不等式与集合 1．集合，，则=（    ） A． B． C． D． 2．已知全集为实数集，若集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知全集为实数集，若集合，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 9．设集合，则（    ） A． B． C． D． 10．不等式的解集为（    ） A．(0，16) B．(0，16] C．[0，4) D．(0，4) 11．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 12．已知集合，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C．且 D． 13．设集合，，则（    ） A．0 B． C． D． 14．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 15．已知集合，则（    ） A． B． C． D． $$重点05根式不等式与集合 目录 1 知识点01根式运算 2 2 知识点02根式不等式 2 3 知识点03根式不等式与集合 5 4 题型一、根式的混合运算 7 5 题型二、解根式不等式 7 6 题型三、根式不等式与集合 7 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01根式运算 (1) 二次根式的概念 形如的式子叫做二次根式。其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． (2) 二次根式有意义的条件 要使二次根式有意义，则a≥0． (3) 最简二次根式 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． (4) 同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式 (5) 二次根式的加减 合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式． (6) 二次根式的乘法法则： · · · (7) 二次根式的除法法则 · · (8) 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的 知识点02根式不等式 (1) 根式和正数的不等式 【例题1】 根据被开方数为非负数得： 不等号两边同时平方得： 平方后得到： 移项： 系数化为1： 取交集得到：和取交集结果为： 【例题2】 根据被开方数为非负数得： 不等号两边同时平方得： 平方后得到： 移项： 系数化为1： 取交集得到：和取交集结果为： (2) 根式和负数的不等式 【例题3】 根据被开方数为非负数得： 根式计算得结果肯定为非负数：故得解为： 取交集得到：和取交集结果为： 【例题4】 根式计算得结果肯定为非负数：故得解为： (3) 根式和根式的不等式 【例题5】 根据被开方数为非负数得： 不等号两边同时平方得： 平方后得到： 移项： 系数化为1： 取交集得到：和取交集结果为： 【例题6】 根据被开方数为非负数得： 不等号两边同时平方得： 平方后得到： 移项： 取交集得到：和取交集结果为： (4) 根式和未知数的不等式 【例题7】 因为的正负未知，故需要讨论的正负 (i) 根据被开方数为非负数得： 因为为正数，故： 不等号两边同时平方得： 平方后得到： 移项： 解得： 解集取交集： 得： (ii) 根据被开方数为非负数得： 因为为正数，根式的非负性，故： 不等式恒成立，即 解集取交集： 得：解集为 综上所述：不等式得解集为和的并集，即 知识点03根式不等式与集合 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合，利用集合交集的概念求解即可. 【详解】由集合得，即， 所以，解得， 由集合得，所以， 所以， 故选：C 2．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解不等式，再解不等式且得解. 【详解】由题得，所以或. 由题得，所以. 由题得，所以. 所以综合得. 故选：D 【点睛】本题主要考查无理不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，根据原不等式，可直接列式求解. 【详解】由已知，需满足，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用无理不等式的解法及交集的定义即可求解. 【详解】由，得，解得或， 所以或， 所以或. 故选：B. 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出不等式的解集，再利用交集的运算法则求解. 【详解】由已知得，， 即 故选：. 6．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解分式不等式得集合A，解根式不等式得集合B，由集合交集及补集运算可得结果. 【详解】由题意知，， 则，所以． 故选：C． 题型一、根式的混合运算 1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式化简，二次根式减法运算．根据题意先将二次根式化简，再计算减法即可． 【详解】解：， ， ． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，化简二次根式，掌握各知识点的运算法则是解题的关键． 先计算负整数指数幂，化简二次根式和化简绝对值，再进行加减计算． 【详解】解： ． 3．计算：； 【答案】0 【分析】本题主要考查二次根式的加减法和运用待定系数法求二次函数解析式． 将二次根式化简后合并即可； 【详解】解：（1） ； 4．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是零次幂，化简绝对值以及二次根式的运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．先化简二次根式，绝对值，计算零次幂，再合并即可． 【详解】解： ． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． 先化简为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并，即可解答． 【详解】解：原式， ． 6．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据算术平方根的定义、立方根的定义进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，立方根，平方根，同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除等知识点，正确的计算是解题的关键． 7．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简，绝对值化简，负指数幂的计算，掌握实数的混合运算法则是解题的关键． 先化简二次根式，绝对值，负指数幂的结果，再根据实数的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 8．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简与减法、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题关键．先化简二次根式和绝对值、计算负整数指数幂，再计算加减法即可得． 【详解】解： ． 9．计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先根据负整数指数幂、实数绝对值、二次根式的性质化简，再计算即可． 【详解】解： ． 10．计算：； 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，解二元一次方程组： 先化简，再合并同类二次根式即可； 【详解】（1）解：原式； 11．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．先根据二次根式的除法法则和乘法法则运算，然后化简后合并即可． 【详解】解： ． 12．计算： 【答案】(1) 【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式的乘法运算： 先化简二次根式，再根据二次根式的乘法法则求解即可； 【详解】（1）解： ； 13．计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的乘法运算法则计算即可； （2）利用二次根式的乘法运算法则计算即可； （3）利用二次根式的乘法运算法则计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． （1）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 15．计算 (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2)30 (3)1 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的乘除运算法则，是解题的关键： （1）先化简，再计算二次根式的乘法； （2）利用二次根式的性质（且）计算可得； （3）根据二次根式的乘除法则进行计算即可； 【详解】（1）原式 （2）原式； （3）原式； 16．计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算； （2）先逆用二次根式相乘法则，把写成，进行约分即可； （3）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； 17．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式； （2）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算二次根式的除法、绝对值、负整数指数幂，再计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 19．． 【答案】2 【分析】根据含有乘方的有理数混合运算法则，二次根式的除法，零指数幂，负整数指数幂计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数混合运算法则，二次根式的除法，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握运算法则和计算公式是解题的关键． 20．计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式乘除法的运算法则和二次根式的性质进行计算，然后再进行合并即可，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 21．计算： 【答案】； 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可； 【详解】解：原式． 题型二、解根式不等式 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，根据原不等式，可直接列式求解. 【详解】由已知，需满足，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 2.不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用无理不等式的解法及交集的定义即可求解. 【详解】由，得，解得或， 所以或， 故选：B. 3．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】解根式不等式，要先求定义域，然后再解不等式，根据题意可知：不等式成立的条件是，然后解不等式，取交集即可求解. 【详解】要使不等式有意义，则有，解得：. 当时，不等式恒成立； 当时，不等式可化为，解得：，所以，因为，所以， 综上：原不等式的解集为， 故答案为：. 4．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】对不等式两边平方后求解，结合被开方数大于等于零，即可求得结果. 【详解】要使得不等式有意义，则，即，解得， 对原不等式两边平方可得：，即，解得， 综上所述，不等式解集为. 故答案为：. 5．不等式的解集是 . 【答案】 【分析】先由题意可得，然后对不等式化简求解，再与求交集即可 【详解】由题意得，得， 由，得， 综上，， 所以不等式的解集为， 故答案为： 6．不等式的解是 . 【答案】 【分析】由偶次根数分母大于等于零和平方后所得不等式可解得结果. 【详解】由得：    ，即不等式的解为 故答案为： 【点睛】本题考查根式不等式的求解问题，易错点是忽略偶次根式被开方数大于等于零的要求，造成求解错误. 7．不等式的解集为 【答案】 【分析】通过平方，将无理不等式化为有理不等式求解即可． 【详解】由得，解得， 所以解集是． 【点睛】本题主要考查无理不等式的解法． 8．不等式的解集是 . 【答案】 【详解】解析过程略 9．不等式的解集是 【答案】[0,2] 【详解】本小题主要考查根式不等式的解法，去掉根号是解根式不等式的基本思路，也考查了转化与化归的思想. 原不等式等价于解得0≤x≤2. 10．解不等式：． 【答案】 【分析】根据不等式，讨论、分别求解集，然后取并即可得结果. 【详解】由题设，即， 当时，恒成立； 当时，整理得，解得，所以； 综上，，故解集为. 11．解不等式：． 【答案】. 【分析】由题意得或，解不等式组可得答案. 【详解】由，得 ，或， ①由，得， 所以，解得， ②由，得， 综上，不等式的解集为. 12．解不等式： 【答案】 【分析】首先求出的解集，再分、、三种情况讨论，分别确定不等式的解集，即可得解. 【详解】解：由，即，解得， 当时，显然满足， 当时，显然满足， 当时不等式等价于， 由即，解得，所以， 综上可得不等式的解集为. 13．解不等式： 【答案】 【分析】分情况讨论的正负，再求解不等式即可. 【详解】或 或 或 14．解不等式：． 【答案】 【分析】不等式变形为，然后由，根式有意义，再平方后求解． 【详解】原不等式化为，所以，解得或，所以． 所以原不等式的解集为． 15．解不等式：. 【答案】 【分析】利用一元二次不等式的解法逐个求解即可 【详解】由，得，则， 得或（舍去）， 所以， 所以不等式的解集为 16．解不等式：； 【答案】； 【分析】令，运用换元法把无理不等式转化为有理不等式； 【详解】令，则， 所以原不等式可化为，即， 因为，所以解得，即． 所以原不等式的解集为. 17．解不等式:. 【答案】 【分析】根据已知不等式，利用不等式的基本性质，等价转化为不等式组，求解即得. 【详解】解：因为，所以， 所以 ，即 . 解得：. 所以不等式的解集为. 18．解不等式：≥x-1 【答案】(1)2≤x≤3； 【分析】根据二次根式的性质进行求解即可； 【详解】 ≥x-1， 因为x≥，所以x-1>0， 所以3x-5≥x2-2x+1， 即x2-5x+6≤0， 所以2≤x≤3； 题型三、根式不等式与集合 1．集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式、根式不等式求集合，再由集合的交运算求结果. 【详解】由，， 所以，，故. 故选：B 2．已知全集为实数集，若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式求出集合，解根式不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，可得，解得， 所以， 所以. 故选：A 3．已知全集为实数集，若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解不等式得，再根据补集的定义即得. 【详解】由可得，即，则, 于是. 故选：C. 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别解出集合、，得到，进而得到. 【详解】由题得，故，所以. 故选：A. 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合，利用集合交集的概念求解即可. 【详解】由集合得，即， 所以，解得， 由集合得，所以， 所以， 故选：C 6．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式不等式与分式不等式的解法得出集合与，即可根据集合的交集运算得出答案. 【详解】由，得，即，则， 由，得，即或，则或， 所以， 故选：B. 8．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合，然后利用集合交集的定义求解即可. 【详解】由可得，解得， 所以，， 故选：D 9．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式化简集合A，再利用集合的交并补运算即可求得结果. 【详解】因为， 所以，解得，则， 所以，则或， 又， 所以 . 故选：D. 10．不等式的解集为（    ） A．(0，16) B．(0，16] C．[0，4) D．(0，4) 【答案】C 【分析】转化为一元二次不等式求解，结合，可得解集. 【详解】解：因为，，所以 由于，所以解得：，即 故不等式的解集为：[0，4). 故选：C. 11．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求得集合A，B，取交集即可. 【详解】由；； 则 故选：A 12．已知集合，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】首先分别求两个集合，再判断选项. 【详解】，解得：， 即， ，解得：，即， 满足，，且， 只有A正确. 故选：A 13．设集合，，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合A，B，再利用交集的运算求解. 【详解】因为集合，， 所以 ， 故选：B 14．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出不等式的解集，再利用交集的运算法则求解. 【详解】由已知得，， 即 故选：. 15．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解分式不等式得集合A，解根式不等式得集合B，由集合交集及补集运算可得结果. 【详解】由题意知，， 则，所以． 故选：C． $$