专题02 概率（易错培优竞赛精练）-【竞赛】2024-2025学年高一数学竞赛能力培优精练（全国通用）

2025新高考高一概率易错培优竞赛试题 【专题目录】 专题一：名校概率易错题精选 专题二：名校概率培优题精选 专题三：概率全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 专题一：名校概率易错题精选 1．现有甲，乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】讨论甲获胜时比赛的场次，结合独立事件的概率乘法公式运算求解. 【详解】若比赛两场甲获胜，则概率为； 若比赛三场甲获胜，则概率为； 甲获得冠军的概率. 故选：A. 2．某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，．只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且是否通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设“第次通过第一关”，“第次通过第二关”，其中． 从而得到选手能进入第三关的事件为再由互斥事件和事件及独立事件乘法公式求解即可； 【详解】设“第次通过第一关”，“第次通过第二关”，其中． 由题意知选手能进入第三关的事件可表示为：， 所以选手能进入第三关的概率： ． 故选：C． 3．已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件为“所抽袋子里有红球”，事件为“所抽袋子里有白球”，事件为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互对立 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【分析】根据要写条件，利用互斥事件、对立事件和相互独立的定义，逐一判断选项即可. 【详解】对于A，事件和事件可以同时发生，即抽取丁袋，事件与事件不互斥，A错误； 对于B，，，，事件与事件相互独立，B正确； 对于C，事件与事件可以同时发生，即抽取丁袋，事件与事件不对立，C错误； 对于D，，，，事件与事件不独立，D错误. 故选：B 4．某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由互斥事件和独立事件的概率公式计算即可得解. 【详解】记事件“该同学在笔试中结果为优秀”，记事件“该同学在实验操作中结果为优秀”， 则由题得， 且事件“该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀”， 又事件互斥，这两项测试的结果相互不受影响， 所以该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为. 故选：D 5．甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击.约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先要明确前4次中甲恰好射击3次的所有可能情况，然后根据每次射击命中与否相互独立这一条件，利用独立事件概率的乘法公式来计算每种情况的概率，最后将所有情况的概率相加得到最终结果. 【详解】前4次中甲恰好射击3次有三种情况： 第一种情况：第一次甲命中，第二次乙命中，第三次甲没命中，第四次甲射击. 第二种情况：第一次甲没命中，第二次甲没命中，第三次甲命中，第四次乙射击 . 第三种情况：第一次甲没命中，第二次甲命中，第三次乙命中，第四次甲射击 . 甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与， 则甲、乙两人每次射击没有命中目标的概率分别为与. 计算第一种情况的概率: 根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为. 计算第二种情况的概率: 根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为. 计算第三种情况的概率: 根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为. 计算前4次中甲恰好射击3次的总概率: 将三种情况的概率相加得，前4次中甲恰好射击3次的概率为. 故选：B. 6．（多选题）已知事件发生的概率分别为，则（    ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若与相互独立，则 D．若与相互独立，则 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式逐项计算判断. 【详解】对于A，若与互斥，则，A正确； 对于B，若与相互独立，则，B错误； 对于C，若与相互独立，则与相互独立，则，C正确； 对于D，若与相互独立，则，D正确. 故选：ACD 7．（多选题）口袋中装有编号为①，②，③的3个红球和编号为①，②，③，④，⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同．现从中取出1个小球，记事件A为“取出的小球的编号为③”，事件B为“取出的小球是黑球”，则（   ） A．A与B互斥 B． C．A与B独立 D． 【答案】BD 【分析】根据互斥事件、独立事件的概念判断A、C，根据和事件、交事件的定义及古典概型的概率公式计算即可判断B、D； 【详解】对于A，当取到的小球为黑球，且编号为③，事件和事件同时发生，所以， 故与不互斥，故A错误； 对于B，表示、同时发生的概率，即取到的小球为黑球且编号为③，所以，故B正确； 对于C，表示取出的小球的编号为③的概率，则， 表示取出的小球是黑球的概率，则， 因为，所以事件A与B不独立，故C错误； 对于D，表示取到的小球标号为③或黑球，所以，故D正确. 故选：BD． 8．（多选题）某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则（   ） A．事件A和事件B是对立事件 B．事件A和事件C是对立事件 C． D． 【答案】BC 【分析】由对立事件、和事件及独立事件的概念逐个判断即可； 【详解】因为表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲可能获得二等奖，即事件A和事件B不是对立事件，故A错误； 事件A表示“甲没有中奖”，事件C表示“甲中奖”，则事件A和事件C是互斥事件且和事件为必然事件，则事件A和事件C是对立事件，故B正确； 又因为，所以，故C正确； ，故D错误． 故选：BC 9．（多选题）连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，，记，则下列说法错误的是（   ） A．事件“”的概率为 B．事件“是奇数”的概率为 C．事件“”与“”互为对立事件 D．事件“是奇数”与“”互为互斥事件 【答案】AC 【分析】利用列举法和古典概型概率公式可得A错误，B正确，再由互斥事件、对立事件的概念可知C错误，D正确. 【详解】连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数有： ，， ，， ，，共36种； 对于A，事件“”所包含的基本事件为，，，，，，，，共8个， 所以事件“”的概率为，即A错误； 对于B，事件“是奇数”的共有18个，因此事件“是奇数”的概率为，可得B正确； 对于C，易知的所有取值为， 当时，可知事件“”与“”可以同时发生，因此C错误； 对于D，若，则，此时是偶数， 因此“是奇数”与“”不可能同时发生，互为互斥事件，可得D正确. 故选：AC 10．（多选题）已知事件满足，则下列说法正确的有（    ） A．若事件独立，则事件独立 B．若事件独立，则事件独立 C．若事件独立，则事件独立 D．若事件独立，则事件独立 【答案】AC 【分析】根据事件相互独立的概念逐项判断可得正确答案. 【详解】A.由事件独立得， ∴，故事件独立，A正确； B.要使事件独立，则需事件两两独立，且满足， 条件中只给出事件独立，没有说明事件和事件独立，B错误； C.∵事件独立，∴，又， 因，故，即事件独立，故C正确； D.由选项C可知根据事件独立可得事件独立，结合选项B可得选项D错误. 故选：AC. 11．（多选题）若事件互斥，事件中的事件满足，则（    ） A．事件独立 B．事件独立 C．若事件对立，则事件独立 D．若事件不对立，则事件不独立 【答案】ACD 【分析】应用对立事件及独立事件概率乘积公式计算判断各个选项即可. 【详解】由，所以，所以独立，A选项正确； 事件互斥，不能判断事件是否独立，B选项错误； 由条件可得，当事件对立时，，所以事件独立，C选项正确； 当事件不对立时，， 所以，，所以事件不独立，D选项正确；. 故选：ACD. 12．（多选题）已知为随机事件，，则下列结论正确的有（   ） A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则 C．若相互独立，则 D．若相互独立，则 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件的概率性质即可求解AB，根据独立事件的性质以及公式即可求解CD. 【详解】对于A，若为互斥事件，则,A正确， 对于B，若为互斥事件， 则,故B错误， 对于C, ,故,C正确， 对于D，相互独立，则也相互独立，故，D正确， 故选：ACD 13．（多选题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由对立事件，互斥事件和事件，独立事件逐个判断即可； 【详解】因为，所以，故A正确； 由于无法确定是否相互独立，故无法确定的值，但是，故B错误； 又，故C错误，D正确. 故选：AD. 14．（多选题）甲、乙、丙、丁4人报名参加周末公益活动，有，3个单位需要招志愿者，每个单位各招1人，设事件“单位招到甲或乙”，事件“单位招到甲或丙”，事件“单位招到丙或丁”，事件“单位招到甲或乙”，则下列说法错误的是（   ） A．事件相互独立 B．事件相互独立 C．事件相互独立 D．事件相互独立 【答案】BCD 【分析】根据独立事件的概率公式验证即可. 【详解】，两个单位招志愿者的不同选法种数为， 因为事件所包含的基本事件为（招甲、招丙），（招乙、招甲），（招乙、招丙），共3个， 所以，因为，所以为独立事件，故A项正确； ，同理得，故B项错误； ，同理得，故C项错误； 因为为对立事件，所以，故D项错误. 故选：BCD 15．（多选题）抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件表示“第一枚掷出的点数为奇数”，事件表示“第二枚掷出的点数为偶数”，事件表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则（    ） A．与是互斥事件 B．与是相互独立事件 C． D．与是对立事件 【答案】BC 【分析】根据互斥事件判断A，应用概率的乘法公式计算判断B，应用互斥事件结合概率性质计算判断C，根据对立事件定义判断D. 【详解】事件与事件能同时发生，故事件A，B不是互斥事件，故A错误； 因为，，，所以，故与互不影响，故B正确； 事件，事件， 不可能同时发生，故事件与互斥，故，故C正确； 表示“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”， ，， 事件与事件不是对立事件，故D错误． 故选:BC． 16．（多选题）下列命题正确的是（   ） A．若三个事件、、两两相互独立，则 B．设、是两个随机事件，且，，若，则、是相互独立事件 C．若，，则事件、相互独立与、互斥有可能同时成立 D．若事件、相互独立，，，则 【答案】BD 【分析】利用特例法可判断A选项；利用独立事件的定义可判断B选项；利用互斥事件和独立事件的定义可判断C选项；利用并事件的概率公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，设样本空间，每个样本点的概率为． 定义，；，；，． ，．，． ，，所以、、两两相互独立． 而，，， 此时．A选项错误； 对于B选项，已知，，，即， 所以、是相互独立事件，B选项正确； 对于C选项，若、互斥，则，． 若、相互独立，则（因为，）． 所以事件、相互独立与、互斥不可能同时成立，C选项错误； 对于D选项，因为、相互独立， 则， 所以，D选项正确． 故选：BD. 17．某商场举行有奖问答游戏，每名参加者要依次回答若干道题，若连续答对两题则结束游戏，并获得奖品，若连续答错两题也结束游戏，但不能获得奖品，只要没有出现连续答对或连续答错的情况，就继续答题．已知小明答对每道题的概率都为，则小明获得奖品的概率为 ． 【答案】 【分析】设表示当前已答对最后一题的情况下获得奖品的概率；表示当前已答错最后一题的情况下获得奖品的概率；由题意确定，的等式关系，求解即可； 【详解】设表示当前已答对最后一题的情况下获得奖品的概率； 表示当前已答错最后一题的情况下获得奖品的概率； 由题意可得：， 解得：，， 所以小明获得奖品的概率为， 故答案为： 18．数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制.五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为.若从由数字2，3，4（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为 . 【答案】 【分析】结合五进制数转化十进制的概念，设三位五进制数从左到右的数字分别为，可得：十进制数，能被3整除，也即能被3整除，进而通过列举，由古典概型概率公式即可求解； 【详解】数字组成的三位五进制数总共有个， 设这个三位五进制数从左到右的数字分别为， 转化成十进制数后此数为， 此数能被3整除等价于能被3整除， 因为，所以能被3整除的只有三种情况， 若，则的取值有、两种， 若，则的取值有、、、、五种， 若，则的取值有、两种， 故能被3整除的数共有个，则所求概率为. 故答案为： 19．如图，电流通过元件的概率均为0.8，且各元件能否正常工作相互独立，则电流能在E，F之间通过的概率是 . 【答案】0.7424 【分析】先求出电流不能通过，且也不能通过的概率，再利用对立事件的概率公式求出电流能通过的概率，然后利用独立事件的概率公式可求得结果. 【详解】根据题意可知电流能通过的概率为，电流能通过的概率为， 所以电流不能通过，且也不能通过的概率为， 所以电流能通过的概率为， 因为电流能通过的概率为， 所以电流能在E，F之间通过的概率为. 故答案为： 20．某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照［20，40），［40，60），［60，80），［80，100］分组，绘制成评分频率分布直方图如下： (1)为了更进一步了解A地区用户的不满意原因，将A地区抽取的400名用户作为一个总体，按照评分再用分层抽样的方法抽取40人进行面对面交流，那么应从评分在内的用户中抽取几人？ (2)从B地区随机抽取两名用户，且这两名用户评分独立，以频率估计概率，求这两名用户的评分恰好一个大于60分，另一个小于60分的概率； (3)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图及分层抽样的概念求解； （2）利用频率分布直方图求概率，再结合独立事件概率乘积公式计算求解； （3）利用频率分布直方图，结合平均数的公式求解. 【详解】（1）由频率分布直方图及分层抽样的概念得： 应从评分在内的用户中抽取的人数为：； （2）由频率分布直方图得： B地区用户对该公司产品的评分小于60分的概率为：， B地区用户对该公司产品的评分大于60分的概率为：， 设这两名用户的评分恰好一个大于60分，另一个小于60分为事件A， 则； （3）， ， 所以 ，， 则. 21．问卷的设计是一门很大的学问，例如，调查问题的措辞会对被调查者产生影响，举例来说，在“你在多大程度上喜欢吸烟”和“你在多大程度上不喜欢吸烟”这两种问法中，前者会比后者给出更为肯定的答案．下面设计了一个调查程序： 已知某高校有12000名学生，我们随机抽取其中1200名学生进行调查（吸烟问题）． 第一步：每个被测人员在大小和形状相同的50个红球与50个白球中随机摸取一个球，然后再同时掷两个骰子：（结果只有被测人员知道） 第二步：如果取到红球，且两个骰子的点数之和是4或5或6，则被测人员在计数器上点一下： 如果取到白球，且吸烟的被测人员在计数器上点一下．已知最后计数器数字是211． (1)求第二步中两个骰子的点数之和是4或5或6的概率： (2)试估计某高校吸烟的人数． 【答案】(1) (2)220人 【分析】（1）由古典概型可求， （2）先求出被测试中的一个学生吸烟的概率，再估算高校吸烟的人数. 【详解】（1）设两个骰子的点数之和是4或5或6的事件为，则掷两个骰子共有种不同结果， 其中之和是4或5或6的有（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共有12种， 所以. （2）设被测试中的一个学生吸烟的概率为，则被计数器计数的学生人数为211， 所以，解得， 所以估计某高校吸烟的人数为人． 22．骰子通常作为桌游小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面的点数从小到大分别为1，2，3，4，5， (1)先后抛掷骰子两次，记“两次点数之和为4”，求事件A的概率； (2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：游戏有2关，第一关抛掷一次，所得的点数不小于2，则算闯过第1关；第二关抛掷两次，所得的点数之和不小于7，则算闯过第2关.假定每次闯关互不影响.由甲连续挑战两关并均过关，则甲胜；否则，乙获胜.这种游戏规则公平吗？请说明理由. 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】（1）求出基本事件总数，利用列举法求出事件包含的基本事件个数，再利用古典概型求解即可； （2）分别求出挑战第一关和第二关通过的概率，根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率求解即可. 【详解】（1）先后抛掷骰子两次，基本事件总数， 事件包含的基本事件有：共3个， 事件的概率为； （2）抛掷1次骰子有共6种结果， 出现的点数不小于2的情况有共5种，则挑战第一关通过的概率为； 抛掷骰子两次，基本事件总数， 抛掷2次出现的点数之和不小于7的情况有 共21种， 则挑战第2关通过的概率为， 则连续挑战2关并过关的概率为， 所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 因为，所以这种游戏不公平． 23．某农科所在同一块试验田种植了，两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按，，，，，分为6组（每份重量（g）均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立. (1)求的值及品种小麦千粒重的中位数； (2)用频率估计概率，从，两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量恰有一个不低于45g的概率. 【答案】(1)，品种千粒重的中位数为43.75g； (2). 【分析】（1）利用频率分布直方图求出及中位数. （2）求出千粒重不低于45g的概率，再利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算即得. 【详解】（1）由品种小麦的频率分布直方图，得，所以； 设品种小麦千粒重的中位数为，由品种小麦的频率分布直方图， 得，，则， 于是，解得，即品种千粒重的中位数为43.75g. （2）设事件，分别表示从，两个品种中取出的小麦的千粒重不低于45g， 事件表示两个样本小麦的千粒重恰有一个不低于45g，则， 用频率估计概率，则，， 由，相互独立，所以 . 24．每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 【答案】(1) (2)① ，；② 【分析】（1）利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可； （2）①根据对立事件和独立事件的概率公式列方程，即可求解；②先根据独立事件的概率公式求“甲两轮都胜出”和“乙两轮都胜出”的概率，再利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件“第一轮比赛中甲胜出”，事件“第二轮比赛中甲胜出”， 设事件“第一轮比赛中乙胜出”，事件“第二轮比赛中乙胜出”， 由题意得，，，相互独立，且，，，． 记事件“乙恰好有一轮胜出”，则，又互斥， 所以，当时， . 因此，当时，乙恰好有一轮胜出的概率为. （2）①事件“甲，乙各有一轮胜出”，事件“甲，乙两轮都胜出”， 则， ， 则，解得，． ②事件“甲两轮都胜出”，事件“乙两轮都胜出”， 事件“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”， ，， 25．临川二中两名优秀学子小明、小华同学独立地参加中国科技大学少科班的入学面试，入学面试时共有道题目，答对道题则通过面试（前道题都答对或都答错，第道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为、、，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答道题就结束面试”为事件，记“小华道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值； （2）若事件发生，则小华前两题一题，答错一题，第三题答对，求出的值，分析可知，事件、相互独立，由独立事件的概率公式可求得的值； （3）记小明没有通过面试为事件，小华通过面试的事件记为，求出这两个事件的概率，记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值. 【详解】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错， 所以，. （2）若事件发生，则小华前两题一题，答错一题，第三题答对， 根据题意则小华道题都回答且通过面试的概率为， 由题意可知，事件、相互独立，则. （3）记小明没有通过面试为事件， 即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则小明没有通过面试的概率为， 可得小明通过面试的概率为， 而由（1）可得小华通过面试的事件记为，则概率为， 由题意可知，事件、相互独立， 则小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为， 则概率为． 专题二：名校概率培优压轴试题精选 1．连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 【答案】D 【分析】对A，根据互斥事件的定义判断；对B，根据相互独立事件的定义判断；对C，求得，，即可判断；对D，求得即可判断. 【详解】根据题意，试验的结果有：正正，正反，反反，反正. 则事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正. 对于A，事件与事件不是互斥事件， 它们有可能同时发生，故A错误； 对于B，试验结果除了和外，还有其它结果如反反，所以事件与事件不是相互对立事件，故B错误； 对于C，， ， 所以，故C错误； 对于D，，，所以，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理清事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正. 2．现有5个正整数，，，，，若这组数据的和为10，方差为，则从这组数据中随机取1个数，该数超过众数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，，由此得这5个数只可能是3，2，2，2，1，其众数为2，再结合古典概型即可求解. 【详解】由题意可知，设平均数为，方差为， 则，则， 即， 整理得：， 显然最大的数不可能为5，若最大的数为4，剩余的四个数均为1， 此时，不合要求； 若最大的数为4，剩余的四个数分别为1，1，1，2， 此时，不合要求； 故该组数据中最大的数不可能大于等于4，且这5个数也不可能都是2， 则这5个数只可能是3，2，2，2，1，其众数为， 所以从这组数据中随机取1个数，该数超过众数的概率为. 故选：A 3．一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据裁判擦去的是奇数还是偶数分类考虑，分析得出若擦去的是奇数，则乙一定获胜；若擦去的是偶数，则甲一定获胜，由此根据古典概型概率公式计算即得. 【详解】由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数， 注意2，3，4，⋅⋅⋅，2024中有1011个奇数，1012个偶数. （1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜. 理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不互质，故乙胜. （2）若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜. 理由如下：设裁判擦去的是，则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成： 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲必获胜. 甲获胜的概率为. 故选:B. 【点睛】关键点点睛：本题考查的是质数与合数的概念、数的整除性、概率公式，利用分类讨论的思想是解答此题的关键. 4．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手，分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得至少有一天淋雨的概率. 【详解】解：“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”， 连续上两天班，上班、下班的次数共有4次. (1)4次均不下雨，概率为：； (2)有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：； (3)有2次下雨但不淋雨，共3种情况： ①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨； 概率为：； (4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨， 概率为：； (5)4次均下雨，概率为：； 两天都不淋雨的概率为：， 所以至少有一天淋雨的概率为：. 故选：D. 5．设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分第一次乙投进第二、三次甲均未投进第四次甲投篮，第一次甲投进第二次乙投进第三次甲未投进第四次甲投篮，第一次甲未投进第二次甲投进第三次乙投进第四次甲投篮，第一、二次甲未投进第三次甲投进第四次甲投篮四种情况求概率可得答案. 【详解】甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为，， 则甲、乙两人每次未投进篮球的概率分别为，， 根据题意，前4次中甲恰好投篮3次的情况为 第一次乙投进第二、三次甲均未投进第四次甲投篮， 其概率为； 第一次甲投进第二次乙投进第三次甲未投进第四次甲投篮， 其概率为； 第一次甲未投进第二次甲投进第三次乙投进第四次甲投篮， 其概率为； 第一、二次甲未投进第三次甲投进第四次乙投篮， 其概率为. 则前4次中甲恰好投篮3次的概率为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对前4次中甲恰好投篮3次的情况分析，然后再由互斥事件的概率加法公式求和. 6．如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，根据相互独立事件的概率公式求出、，即可求出、，再根据对立事件及独立事件的概率公式计算可得. 【详解】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件， 该电子元件能正常工作为事件， 则，， ，所以， 所以， 即该电子元件能正常工作的概率是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用对立事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求出. 7．（多选题）现有甲，乙，丙，丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排名（积分多者名次靠前，积分同者名次并列）.积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队胜3场与乙队胜3场是互斥事件 B．不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 【答案】ACD 【分析】对A，根据互斥事件的定义判断；对B，根据甲胜乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平分析判断；对C，分两种情况，丙胜1负2场，或丙平3场，讨论求解；对D，根据甲队胜2场分3种情况，甲胜乙丙，甲胜乙丁，甲胜丙丁，讨论求解. 【详解】对于A，甲队胜3场是指甲胜乙，甲胜丙，甲胜丁， 乙队胜3场是指乙胜甲，乙胜丙，乙胜丁，不可能同时发生，故它们是互斥事件，故A正确； 对于B，若甲胜乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平，则甲、乙、丙各得4分，丁得3分，故B错误； 对于C，丙队积分为3分，包含两种情况，丙胜1负2场，或丙平3场， 若丙胜1负2场，则其概率为， 若丙平3场，则其概率为， 所以丙队积分为3分的概率为，故C正确； 对于D，甲队胜2场且乙队胜2场，分下面3种情况： 若甲胜乙丙，乙胜丙丁，概率为， 若甲胜乙丁，乙胜丙丁，概率为， 若甲胜丙丁，乙胜丙丁，甲平乙或甲胜丙丁，乙胜甲丙或甲胜丙丁，乙胜甲丁， 其概率为， 所以甲队胜2场且乙队胜2场的概率为. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题选项D解题的关键是根据甲队胜2场分3种情况，甲胜乙丙，甲胜乙丁，甲胜丙丁，由相互独立事件的概率公式求解，再相加即可. 8．（多选题）在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲、乙、丙、丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时（    ） A．四支球队的积分总和可能为15分 B．甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 C．可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况 D．丙队在输了一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为 【答案】AC 【分析】根据甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平可判断A，根据甲胜乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平判断C，由互斥事件与独立事件的概率公式计算概率判断BD. 【详解】四支球队共6场比赛，有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁. 对于A，四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，所以四支球队的积分总和可能为15分，故A正确； 对于B，每场比赛中两队胜、平、负的概率都为， 则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为，故B错误； 对于C，若甲胜乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平， 则甲、乙、丙各得4分，丁得3分， 出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况，故C正确； 对于D，丙队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分， 三队中选一队与丙比赛，丙输，，例如是丙甲，若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平， 则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意， 在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那么它们之间的比赛无论什么情况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意； 若丙全赢（概率是）时，丙得6分，其他3人分数最高为5分， 这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不能赢否则甲的分数不小于6分，只有全平或全输， ①若甲一平一输，概率是，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是； ②若甲两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意； ③若两场甲都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是； 综上概率为，故D错误. 故选：AC. 9．（多选题）某电视节目有奖闯关活动，共设置三道试题，选手需依次进行答题，每次答题正确后均会获得相应奖金，且奖金累积．选手每次独自答题正确后选择继续答题或放弃答题的概率相同，若选择放弃答题，则奖金有效；若选择继续答题，当答题错误时，选手可以使用一次场外求助机会，若求助后答题正确，则奖金有效，同时答题结束，若求助后答题错误，则奖金清零，同时答题结束．已知甲在本次活动中依次独自答题正确的概率分别为，场外求助后答题正确的概率为，则下列命题中正确的是（    ） A．甲在第一题使用场外求助的概率为 B．甲答题两次并获得奖金的概率为 C．甲未使用场外求助并获得奖金的概率为 D．甲在后两题中使用场外求助并获得奖金的概率为 【答案】AC 【分析】记甲第一题独自答题正确为事件、第二题独自答题正确为事件、第三题独自答题正确为事件，甲选择继续答题为事件，甲场外求助后答题正确为事件，求出，，，，．根据相互独立事件的概率、互斥事件的概率逐项判断可得答案. 【详解】记甲第一题独自答题正确为事件、第二题独自答题正确为事件、 第三题独自答题正确为事件，甲选择继续答题为事件， 甲场外求助后答题正确为事件， 则，，，，． 对于选项A：若甲在第一题使用场外求助，则甲第一题独自答题错误， 故甲在第一题使用场外求助的概率，A正确； 对于选项B：甲答题两次并获得奖金包含两种情况：①第一题独自答题正确且 选择继续答题，同时第二题独自答题正确且选择放弃答题； ②第一题独自答题正确且选择继续答题，第二题独自答题错误但场 外求助后答题正确．故甲答题两次并获得奖金的概率 ，B错误． 对于选项C：甲未使用场外求助并获得奖金包含三种情况：①第一题独自答题 正确且选择放弃答题；②第一题独自答题正确且选择继续答题， 同时第二题独自答题正确且选择放弃答题；③前两题均独自答题正确 且均选择继续答题，同时第三题独自答题正确．所以甲未使用场外求 助并获得奖金的概率 ，C正确； 对于选项D：甲在后两题中使用场外求助并获得奖金包含两种情况： ①第一题独自答题正确且选择继续答题，同时第二题独自答题错误 但场外求助后答题正确；②前两次均独自答题正确且均选择继续答题， 同时第三题独自答题错误但场外求助后答题正确． 因为， ， 所以甲在后两题中使用场外求助并获得奖金的概率，D错误． 故选：AC. 【点睛】思路点睛：本题涉及概率计算，相互独立事件的概率、互斥事件的概率，我们需要根据题目所给的各种情况的概率，分别计算每个选项中的概率值，然后判断命题的正确性. 10．袋中装有6个相同的球，分别标有数字，从中一次性随机取出两个球，设两球标号为和，并记.将球放回袋中，重复上述操作，得到和.记，其中，则的概率为 . 【答案】 【分析】根据题意写出样本空间，并列出的所有情况，从而根据古典概型求概率. 【详解】每一次取球时，标号组合都有种等可能的组合情况， 其对应的样本空间为： . 下面分析每一个样本点对应的情况： ； ； ； ； ； . 记为事件，则 . 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据样本点列出的所有情况是解题关键. 11．若事件满足，，同时成立，则称事件两两独立，现抛掷一枚质地均匀的骰子，观察面朝上的数字， 得到样本空间， 若事件， 事件， 则可以构造事件 (填一个满足条件的集合即可)， 使得成立， 但不满足事件两两独立. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相互独立事件以及“两两相互”的定义对问题进行分析，先判断相互独立，确定构造事件，使“与”或“与”不相互独立，根据事件包含的基本事件的个数进行分类讨论，由此求得符合题意的时间. 【详解】元素或有且仅有一个属于C，剩余的中任选两个属于，都满足条件要求． 因为，，，则， 若不满足事件两两独立，只需构造事件， 使得和至少有一个成立， 设事件包含的基本事件个数为（且），（且）， 当成立时，有，得， 所以或． （i）若，则，， 此时，，满足， 又，，，； ，，，， 又因为，所以事件两两独立，不满足要求， （ii）若，则， 因为，，所以必有且、且两种情况． 当且时，，，， 所以，， 所以若事件两两独立，则存在事件使得且， 此时，，不符合题意，所以不可能两两独立． 所以构造集合使得，且均满足题意， 故满足要求的为：、、、、、． 当且时，同理符合要求的集合为：、、、、、． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于设事件包含的基本事件个数为（且），（且），根据题设得到或，再利用古典概率公式及条件，即可求解. 12．某电视台举办“庆奥运”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从（跳水）、（乒乓球）、（游泳）三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答、两类问题的概率均为，能正确回答类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立．为使取得复赛资格的概率最大，在“”、“”和“”三种回答顺序中，选手甲应选择 【答案】 【分析】分别计算出甲按“”、“”和“”三种回答顺序回答时，甲进入复赛资格的概率，比较大小后可得出结论. 【详解】按顺序回答，取得复赛资格的概率为， 按顺序回答，取得复赛资格的概率为， 按顺序回答，取得复赛资格的概率为， 因为，所以，甲按顺序回答，可使取得复赛资格的概率最大， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：求相互独立事件同时发生的概率的步骤： （1）首先确定各事件是相互独立的； （2）再确定各事件会同时发生； （3）先求出每个事件发生的概率，再求其积. 13．有一种珍惜物种，对于其每个个体，每天都会发生如下事件：有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个，对所有新产生的生物每天也会发生上述事件，假设开始只有一个这样的珍惜生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】若开始有个珍稀生物、最终灭绝的概率则为，由题知，由于，则，解之可得. 【详解】设开始有一个珍稀生物、最终灭绝的概率为， 那么若开始有个珍稀生物、最终灭绝的概率则为， 由题意知， 从而可得，即， 因为，所以，所以。 解之可得，故的最大值为. 故答案为： 14．甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，比赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如下表： 第一轮 甲VS乙 丙VS丁 第二轮 甲VS丙 乙VS丁 第三轮 甲VS丁 乙VS丙 规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，平局两队各记1分，三轮比赛结束后以总分排名．总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排名前两位的球队出线．假设甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为，，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为，，．每场比赛结果相互独立．求： （1）丁的总分为7分的概率为 ； （2）若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3，0，3，0，求丁以6分的成绩出线的概率为 ． 【答案】 【分析】由相互独立事件的乘法公式求解即可得出丁的总分为7分的概率；丁以6分的成绩出线分为三种情况：第二轮中若甲负于丙或平丙、第二轮中若甲胜丙、第三轮中丙平乙或负于乙和第二轮中若甲胜丙时、第三轮中丙胜乙时，甲、丁、丙队总分均为6分，分别求出其概率即可得出答案. 【详解】记第轮比赛丁胜、平、负的事件分别为，每场比赛结果相互独立. 丁总分为7分，则丁三场比赛两胜一平，记丁三轮比赛两胜一平的事件为， 所以； 第一轮比赛，甲胜乙，丙胜丁，又丁总分为6分，则丁对战甲、乙都获胜， 此时，乙队总分最多3分，少于丁队总分， ①第二轮中若甲负于丙或平丙时，甲总分最多4分，少于丁队总分， 此时甲、乙两队少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率为； ②第二轮中若甲胜丙、第三轮中丙平乙或负于乙时，丙总分最多4分， 此时丙、乙两队少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率为； ③第二轮中若甲胜丙时、第三轮中丙胜乙时，甲、丁、丙队总分均为6分， 此时由抽签确定出线，三队中有两队出线，每队出线概率为，丁队出线的概率为， 综上，丁以6分出线的概率为. 故答案为：①；②. 【点睛】思路点睛：丁以6分的成绩出线分为三种情况：第二轮中若甲负于丙或平丙、第二轮中若甲胜丙、第三轮中丙平乙或负于乙和第二轮中若甲胜丙时、第三轮中丙胜乙时，甲、丁、丙队总分均为6分，分别求出其概率即可. 15．已知有，两个盒子，其中盒中有3个黑球和3个白球，盒中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从盒，乙从盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中.按上述方法重复操作两次后，盒中有8个球的概率是 ． 【答案】 【分析】确定两次取球后盒中有8个球必须是满足两次取球均为甲获胜，再分别计算出第一次都取黑球，第二次取同色球，第一次都取白球，第二次取同色球的概率，相加即可求解. 【详解】若两次取球后，盒中有8个球，则两次取球均为甲获胜， 第一次取球甲乙都取到黑球，其概率为， 第一次取球后盒中有4个黑球和3个白球，盒中有2个黑球和2个白球， 第二次取到同色球的概率为， 此时盒中有8个球的概率为； 若第一次取球甲乙都取到白球，其概率为， 第一次取球后盒中有3个黑球和4个白球，盒中有3个黑球和1个白球， 第二次取到同色球的概率为， 此时盒中有8个球的概率为； 所以盒中有8个球的概率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的突破口在于先分清楚两次取球后，盒中有8个球，则两次取球均为甲获胜，再分别讨论并计算出第一次都取黑球，第二次取同色球，第一次都取白球，第二次取同色球的概率，相加即可求解. 16．已知集合 是集合 的真子集且 ， 如果 ， 使得 ， 其中 ， 则称 是集合 的一组有序基底集，记为 .已知 ，且 为 的一组有序基底集，则集合 中的元素之和小于 4 的概率为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，满足集合 的基底集可以为： ，，，，，， ，，，，，共有11组； 再把每组中的两个集合调换位置，此时也是11组， 综上可得，共计22组，其中满集合中元素之和小于4的有9组，所以概率为. 故答案为：. 17．设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则= 【答案】0.3/ 【分析】先求出，根据得到，结合，求出，从而得到. 【详解】由题意得，为互斥事件， 即， ， 又①，②， 式子①②相加得， 故， 所以，则. 故答案为：0.3 【点睛】若事件A，B互斥，则有， 若事件A，B不互斥，则有. 18．为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)当时，求游戏三的获胜概率； (3)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大. 【答案】(1)游戏一获胜的概率为，游戏二获胜的概率为 (2) (3)的所有可能取值为5，6，7 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式来求得正确答案. （2）根据古典概型概率计算公式来求得正确答案. （3）根据相互独立事件、互斥事件（对立事件）求得先玩游戏三或先玩游戏二获得书券的概率，由此列不等式来求得的所有可能取值. 【详解】（1）设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，.所以游戏一获胜的概率为. 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以，所以游戏二获胜的概率为. （2）游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为， 时，样本的个数为2，所以所求概率为； （3）设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则， 所以，即. 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为. 【点睛】关键点睛：本题第3小问的解决关键是利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解. 19．某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为. (1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设，且每局比赛相互独立. （i）求乙连胜两局获得最终胜利的概率； （ii）求比赛结束时乙获胜的概率； (2)若，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲 【分析】（1）（i）计算第一局乙获胜的概率和第二局乙获胜的概率，相乘即可得结果. （ii）考虑比赛结束时乙获胜的所有情况，由独立事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式即可得结果. （2）计算第一局乙对丙最终乙获胜的概率和第一局乙对甲最终乙获胜的概率，结合条件作差比较大小即可得到结果. 【详解】（1）（i）. （ii） ， （2）设事件为“第一局乙对丙最终乙获胜”，为“第一局乙对甲最终乙获胜”， 第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜； 第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜； 第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜， 故； 同理可得； ， 由于，故， 所以，故乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲. 20．在川大附中2024秋季教职工运动会拔河比赛中，高一、高二、高三三个年级组和行政组共四个队伍角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”： 第一轮，四个队伍通过抽签分成两组，每组两个队伍对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”； 第二轮，“胜区”中两个队伍对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两个队伍对阵，败者直接淘汰出局获第四名； 第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名； 第四轮，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名. 已知高二和高三年级组水平相当，高一和行政组水平相当，高二对高三、高一对行政组的胜率均为，高二、高三对高一和行政组的胜率均为，没有平局，且不同对阵的结果相互独立.经抽签，第一轮由高二对阵高三，高一对阵行政组. (1)求比赛结束时，高二比赛的场次是2场的概率； (2)若已知高二输了第一轮的比赛，求高二获得冠军的概率； (3)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：即四个队伍分成两组后，每组中的两个队伍对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军.分别求在以上两种赛制下高二获得冠军的概率，并比较哪种赛制对高二夺冠有利？请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)得冠军的概率分别为与 ，“双败淘汰制”对高二夺冠有利 【分析】（1）由题意可得高二两场全输，计算其概率即可得； （2）由题意可得高二后三场全胜，结合每轮的对手及胜率计算即可得； （3）在“双败淘汰制”下，分别计算高二全胜、只输了第一场与只输了第二场的概率，求和即可得其夺冠概率；在“单败淘汰制”下，高二需全胜，计算其概率即可得其夺冠概率；比较两者概率大小，即可得解. 【详解】（1）设高二在第场比赛获胜的事件为， 由高二比赛的场次是2场，则高二两场全输， 则； （2）由于高二输了第一轮的比赛，高二后续需全胜才能获得冠军， 则； （3）在“双败淘汰制”下，若高二获得冠军，则最多只能输一场， 若高二全胜，其概率为， 若高二只输了第一场，则， 若高二只输了第二场，则， 则高二获得冠军的概率为； 在“单败淘汰制”下，若高二获得冠军，则需两场全胜，则， 由，故，故“双败淘汰制”对高二夺冠有利. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于计算“双败淘汰制”下高二获得冠军的概率需要分全胜、只输了第一场与只输了第二场的情况进行计算. 21．中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.2024年巴黎奥运会，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌.其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制.每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月10日，中国队对战瑞典队，最终以取得团体赛冠军，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为. (1)求中国队以的比分获胜的概率； (2)求中国队在已输一场的情况下获胜的概率； (3)求至多进行四场比赛的概率. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式进行求解即可； （2）设事件“中国队在已输一场的情况下获胜”，则有两类情况：①设事件“中国队从第二场开始连胜三场”，②设事件“中国队在二到四场中胜两场，再胜第五场”，分别求出两种情况的概率，再利用互斥事件的加法公式即可求出事件的概率. （3）设中国队进行三场、四场比赛获胜分别为事件、，瑞典队进行三场、四场比赛获胜分别为事件、，至多进行四场比赛为事件，分别求出、、、的概率，再利用互斥事件的加法公式即可求出事件的概率. 【详解】（1）设事件“中国队以的比分获胜”， 中国队在每一场中获胜的概率均为， ， 中国队以的比分获胜的概率为； （2）设事件“中国队在已输一场的情况下获胜”，则有两类情况： ①设事件“中国队从第二场开始连胜三场”， ， ②设事件“中国队在二到四场中胜两场，再胜第五场”， ， 与是互斥事件， ， 中国队在已输一场的情况下获胜的概率为； （3）设中国队进行三场、四场比赛获胜分别为事件、，瑞典队进行三场、四场比赛获胜分别为事件、，至多进行四场比赛为事件， ，， ，， ，，，是互斥事件， ， 至多进行四场比赛的概率为. 【点睛】关键点睛：本题的关键在于理解互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式. 22．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）． (1)已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． (2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 【答案】(1)① ；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①记事件为“至少收到一次0”，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得；②记事件为“第三次收到的信号为1”，事件为“三次收到的数字之和为2”，证明即可； （2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，事件为“采用单次传输方案时译码为0”，根据题意可得，解不等式可解. 【详解】（1）①记事件为“至少收到一次0”，则． ②证明：记事件为“第三次收到的信号为1”，则． 记事件为“三次收到的数字之和为2”， 则． 因为， 所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，则． 记事件为“采用单次传输方案时译码为0”，则． 根据题意可得，即， 因为，所以， 解得，故的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算各事件的概率. 23．在某抽奖活动中，初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球，颜色为2白1红．每次随机抽取一个小球后放回．抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态．记第n次抽奖中奖的概率为． (1)求，，； (2)若存在实数a，b，c，对任意的不小于4的正整数n，都有，试确定a，b，c的值，并说明理由； (3)若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章，则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少？ 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解即可； （2）分别求出第一次中奖，第次中奖的概率，第一次未中奖而第二次中奖，第次抽奖中奖的概率，前两次均未中奖，第次抽奖中奖的概率，即可求解时，，对比即可求解； （3）先分析获得勋章的情形，分别求出从初始状态开始抽三次，前两次均未中奖而第三次中奖的概率，再求出仅三次中奖的概率即可求解. 【详解】（1）, ， ； （2）因为每次中奖后袋中的球会回到初始状态， 从初始状态开始，若第一次中奖，此时第次抽奖中奖的概率为， 从初始状态开始，若第一次未中奖而第二次中奖， 此时第次抽奖中奖的概率为， 从初始状态开始，若前两次均未中奖，则第三次必中奖， 此时第次抽奖中奖的概率为， 综上所述，对任意的，， 又，所以； （3）由题意知每抽三次至少有一次中奖，故连抽次至少中奖次， 所以只需排除次中奖的情况即可获得一枚优胜者勋章， 另外，每两次中奖的间隔不能超过三次，每次中奖后袋中的球会回到初始状态， 从初始状态开始，抽一次中奖的概率为， 从初始状态开始抽两次，第一次未中奖而第二次中奖的概率为， 从初始状态开始抽三次，前两次均未中奖而第三次中奖的概率为， 用表示第次，第次，第次中奖，其余未中奖， 则三次中奖的所有情况如下：， ， 故仅三次中奖的概率为 ， 所以从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为. 【点睛】关键点点睛：题意知每抽三次至少有一次中奖，故连抽9次至少中奖3次，故只需排除3次中奖的情况即可获得一枚优胜者勋章，另外，每两次中奖的间隔不能超过三次，每次中奖后袋中的球会回到初始状态，是解决第三问的关键. 专题三：概率全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2022高一·浙江温州·竞赛）有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片.第一个盒子中有三张分别标号为的卡片；第二个盒子中有五张分别标号为的卡片；第三个盒子中有七张分别标号为的卡片.现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第个盒子中取出的卡片的号码为，则为奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由分步乘法计数原理求出样本空间中的基本事件数，再由分步乘法计数原理和分类加法计数原理求出事件为奇数所包含的基本事件数，再由古典概型概率公式求概率. 【详解】从三个盒子中各随机抽取一张卡片可分为三步完成，第一步从第一个盒子中取一张卡片，有3种方法，第二步从第二个盒子中取一张卡片，有5种方法，第三步从第三个盒子中取一张卡片，有7种方法，由分步乘法计数原理可得共有种方法，事件为奇数等价于，，都为奇数或，，中有一个为奇数，两个为偶数，其中事件，，都为奇数包含个基本事件，即24个基本事件，事件为奇数，，为偶数包含个基本事件，即12个基本事件，事件为奇数，，为偶数包含个基本事件，即9个基本事件，事件为奇数，，为偶数包含个基本事件，即8个基本事件，所以事件包含的基本事件数为，即53个基本事件， 所以， 故选：B. 2．（16-17高三·北京·强基计划）投掷一枚均匀的骰子6次，每次掷出的点数可能为1，2，3，4，5，6且概率相等，若存在k使得1到k次的点数之和为6的概率是p，则p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】点数之和为6的可能投法共有11种，分类计算后可得相应的概率，放缩后可得其范围. 【详解】点数之和为6的可能投法有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 于是所求概率． 一方面，， 另一方面， ， 故选：B. 3．（17-18高三·北京·强基计划）设集合S中有10个元素，从S中每次随机选取1个元素，取出后还放回到S中，则取5次后所取出的元素有重复的概率是（保留两位有效数字）（    ） A．0.50 B．0.55 C．0.70 D．前三个答案都不对 【答案】C 【分析】考虑取5次后没有重复元素的概率，故可得正确的选项. 【详解】考虑反面，取5次后没有重复元素的概率为， 于是所求概率为． 故选：C. 4．（16-17高三·北京·强基计划）某人决定就近打车前往目的地，前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”．有以下两种方案： 方案一：决定不乘第一辆车，若第二辆车的车况好于第一辆车，就乘坐此车；否则直接乘坐第三辆车． 方案二：直接乘坐第一辆车． 若三辆车开过来的先后次序等可能，记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列表后可求相应的概率. 【详解】记好、中、差分别为A，B，C，方案一包含的基本事件数为，方案二包含的基本事件数为，则 1 2 3 A B C √ A C B √ B A C √ B C A √ C A B √ C B A 于是． 故选：A 5．（20-21高三上·北京·强基计划）随机投掷三颗骰子，下列说法中正确的是（    ） A．有两颗骰子之和为7的概率是 B．有两颗骰子之和为8的概率是 C．所有骰子中最小值为2的概率是 D．所有骰子中最小值为3的概率是 【答案】B 【分析】利用古典概率的概率公式可得各选项中的概率. 【详解】有两颗骰子之和为7的可能为，对应的基本事件数为， 因此所求概率为． 有两颗骰子之和为8的可能为，对应的基本事件数为， 因此所求概率为． 所有骰子中最小值为2，则按2出现次数分类，对应的基本事件数为， 因此所求概率为． 所有骰子中最小值为3，则按3出现次数分类，对应的基本事件数为， 因此所求概率为． 故选：B 6．（2024高三上·全国·竞赛（多选题））对于一个随机试验，设是样本空间，是随机事件，是样本点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据样本空间、样本点、随机事件的定义即可得到答案. 【详解】对于一个随机试验，其所有可能的结果的集合称为样本空间，样本空间的元素称为样本点或基本事件，随机事件是样本空间的一个子集. 所以有和. 故选：BC 7．（2022高三·浙江宁波·竞赛（多选题））一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件“摸出的球是红球”，事件“摸出的球标号为偶数”，事件“摸出的球标号为3的倍数”，则（    ） A．事件A与事件C互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件B相互独立 D．事件B与事件C相互独立 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件的概念可判断AB的正误，根据独立事件的判断方法可得CD的正误. 【详解】对AB，若摸得的球为红球，则其标号为1或2，不可能为3的倍数， 故事件A与事件C互斥，故A正确； 若摸得的球的标号为6，则该标号为3的倍数，故事件B与事件C不互斥，故B错误； 对C，，所以C正确； 对D，，所以D正确； 故选：ACD． 8．（16-17高三·北京·强基计划（多选题））将4瓶外观相同、品质不同的酒让品酒师品尝，要求按品质优劣将4种酒排序．经过一段时间，再让该品酒师品尝这4瓶酒，并让他重新按品质优劣将4种酒排序．根据测试中两次排序的偏离程度评估品酒师的能力．记表示第一次排序为1，2，3，4的四种酒分别在第二次排序中的序号，记为其偏离程度．假设为1，2，3，4的等可能的各种排列，表示在1轮测试中的概率，表示在相继进行的3轮测试中均有的概率，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】表示中4个均为0或者2个为0且2个为1，故可根据古典概型的概率公式求，再根据独立事件的乘法公式求. 【详解】当时，中4个均为0或者2个为0且2个为1， 于是可能的排列有，，，， 因此，进而． 故选：AB 9．（2024高二下·吉林·竞赛）设集合.若的子集满足: 若，则，则称子集具有性质，现从的所有非空子集中，等可能地取出一个，则所取出的非空子集具有性质的概率为 . 【答案】 【分析】求出试验的基本事件总数，再利用列举法求出具有性质的事件含有的基本事件数即可求解. 【详解】集合非空子集的个数为， 具有性质的事件含有的基本事件为: ，共 7 个， 所以所取出的非空子集具有性质的概率为. 故答案为： 10．（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）一个不透明口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，现随机取一个小球然后放回，再随机取出一个小球，则第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为 ． 【答案】 【分析】画出树状图,借助古典概型计算即可. 【详解】画出树状图: 由树状图可知：基本事件的总数共有16种， 其中第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号有6种， 所以第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为. 故答案为：. 11．（2022高三·湖南湘西·竞赛）解放军东部战区此前在中国台湾省周边海域展开大规模实弹演习.对于台军有什么导弹可以拦截“东风快递”导弹，拦截率是多高的问题，台军退将在一档政论节目中称，台湾天弓导弹一发的拦截率大概是，“我（台湾）三发拦你（大陆）一发，拦截率就了”.此节目播出后，相关内容让岛内网友傻眼，同时也引发国内网友嘲笑.请你用所学数学知识解决此问题，则“三发拦一发”的拦截率大约是 . 【答案】 【分析】根据独立事件概率乘法公式和对立事件概率的求法可求得结果. 【详解】三发导弹拦截均失败的概率为， “三发拦一发”的拦截率大约是. 故答案为： 12．（2022高二·江苏苏州·竞赛）已知第一只口袋里有2个白球，3个红球，5个黄球，第二只口袋里有2个白球，4个红球，4个黄球，若从两个口袋中各取一球，则取出的球颜色不同的概率是 . 【答案】/0.64 【分析】先求出两个球都为白球、红球、黄球的概率，进而求出两球颜色相同的概率，即可求出球颜色不同的概率. 【详解】若两个口袋都取出白球，概率为；若两个口袋都取出红球，概率为；若两个口袋都取出黄球，概率为； 则取出两球颜色相同的概率为，则取出的球颜色不同的概率是. 故答案为：. 13．（20-21高三下·广东·强基计划）设个人进行互相传球游戏，每个拿球的人等可能地把球传给其他人中的任何一位，．若初始时球在甲手中，则第次传球之后，球又回到甲手中的概率为 ． 【答案】 【分析】先设第次传球之后，球又回到甲手中的概率为，由题可得，再变形成，构造等比数列即可求出结果. 【详解】不妨记初始时球在甲手中，则第次传球之后，球又回到甲手中的概率为， 表示初始时球在甲手中的概率，易知且次传球传不到甲手上的概率为， 同时球在第次传回甲手中只可能是第次球传到了其余的个人手中然后再传给了甲， 从而有，且， 可变形为，又， 所以，整理得， 故答案为：． 【点睛】关键点晴，本题的关键在于，注意到球在第次传回甲手中只可能是第次球传到了其余的个人手中然后在传给了甲，从而有，再构造等比数列求解. 14．（19-20高一·安徽芜湖·强基计划）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆车向左转的概率为 . 【答案】 【分析】求出三辆汽车经过这个十字路口时可能出现的所有情况，再求出至少有两辆车向左转的情况，由古典概率的公式代入即可得出答案. 【详解】用分别表示向直行，向左转和向右转， 则三辆汽车经过这个十字路口时可能出现的情况有： ，，， ，，， ，，，共有种情况， 至少有两辆车向左转的有：，，，，共有种， 故至少有两辆车向左转的概率为. 故答案为：. 15．（2023高二·安徽·竞赛）某游戏公司开发了一款游戏，共有两关，公司组织了水平相当的位玩家测试这款游戏．玩家按预先指定的顺序依次上场，每位玩家的测试都是相互独立的．他们通过第一关测试的概率都为，通过第二关测试的概率都为．若玩家通不过第一关测试，则他下场，由下一位玩家继续上场测试，若玩家通过第一关测试，则继续第二关的测试，若第二关测试通过，则游戏测试终止，若第二关测试通不过，则下一位玩家直接从第二关开始测试．当时，求第位玩家终止测试的概率（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】根据题意考虑当且第位玩家终止测试时，第位玩家必通过第二关测试，可分为前面位玩家都没有通过第一关测试，以及前面位玩家中恰有一人通过第一关测试，求得相应概率，即可求得答案. 【详解】设第位玩家终止测试的概率为． 当且第位玩家终止测试时，第位玩家必通过第二关测试． 若前面位玩家都没有通过第一关测试，其概率为， 若前面位玩家中人第位玩家才通过第一关测试， 则前面位玩家无人通过第一关测试，其概率为， 第位玩家通过第一关测试，但没有通过第二关测试，其概率为， 第位玩家到第位玩家中都没有通过第二关测试，其概率为． 所以前面位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为： ， ， 因此，第位玩家终止测试的概率为． 【点睛】方法点睛：本题综合考查了概率的计算问题，解答时要能综合应用独立事件的乘法公式以及互斥事件加法公式进行求解，关键是要明确第位玩家终止测试时前面位玩家的测试情况. 16．（2016高三·河南·竞赛）《中国好声音（）》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于2012年7月13日在浙江卫视播出.每期节目有四位导师参加.导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练.已知某期《中国好声音》中，6位选手唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示： 导师转身人数（人） 4 3 2 1 获得相应导师转身的选手人数（人） 1 2 2 1 现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况. (1)请列出所有的基本事件； (2)求两人中恰好其中一位为其转身的导师不少于3人，而另一人为其转身的导师不多于2人的概率. 【答案】(1)所有的基本事件见解析； (2). 【分析】（1）设位选手中，有4位导师为其转身，有3位导师为其转身，有2位导师为其转身，只有1位导师为其转身，一一列出基本事件共有即可； （2）在（1）所列基本事件中找出事件“两人中恰好其中一位为其转身的导师人数不少于3人，而另一人为其转身的导师不多于2人”所包含的基本事件共个，即可计算其概率. 【详解】（1）设6位选手中，有4位导师为其转身，有3位导师为其转身，有2位导师为其转身，只有1位导师为其转身. 则所有的基本事件有共15个. （2）事件“两人中恰好其中一位为其转身的导师人数不少于3人，而另一人为其转身的导师不多于2人”所包含的基本事件有：共9个，故所求概率为. 17．（22-23高三·北京·强基计划）11个黑球，9个红球，依次取出，剩下全是一种颜色就结束，求最后只剩下红球的概率？ 【答案】 【分析】 利用事件的转化可求最后只剩下红球的概率. 【详解】设为“依次取出，最后只剩红球”，为“依次取出，最后一只为红球”， 下证：中含有的基本事件与含有的基本事件一样多. 设为中的基本事件，则至少余有一个红球且没有黑球， 故为中的基本事件， 设为中的基本事件，则的最后一球为红球， 则也为中基本事件， 故中含有的基本事件与含有的基本事件一样多. 故问题转化为求，由古典概型的概率公式可得， 故最后只剩下红球的概率为. 18．（17-18高三·北京·强基计划）一副52张的纸牌，编号为1，2，3，…，52．若A，B，C，D四人每人从中不放回地抽取一张，规定编号较小的两人为一组，编号较大的两人为另一组．已知A抽到编号为a，中的一张，D抽到这两张牌中的另一张．设A，D两人在同一组的概率为．当时，求的最小值． 【答案】 【分析】设从剩下的50张纸牌中抽出的纸牌编号为，则，，据此可求，再求出的取值范围后可求概率. 【详解】如果从剩下的50张纸牌（除去编号为的纸牌）中抽出的纸牌编号为， 则，. 故， 故， 解得或，故的最小值为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考高一概率易错培优竞赛试题 【专题目录】 专题一：名校概率易错题精选 专题二：名校概率培优题精选 专题三：概率全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 专题一：名校概率易错题精选 1．现有甲，乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（   ） A． B． C． D． 2．某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，．只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且是否通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为（   ） A． B． C． D． 3．已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件为“所抽袋子里有红球”，事件为“所抽袋子里有白球”，事件为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互对立 D．事件与事件相互独立 4．某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 5．甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击.约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）已知事件发生的概率分别为，则（    ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若与相互独立，则 D．若与相互独立，则 7．（多选题）口袋中装有编号为①，②，③的3个红球和编号为①，②，③，④，⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同．现从中取出1个小球，记事件A为“取出的小球的编号为③”，事件B为“取出的小球是黑球”，则（   ） A．A与B互斥 B． C．A与B独立 D． 8．（多选题）某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则（   ） A．事件A和事件B是对立事件 B．事件A和事件C是对立事件 C． D． 9．（多选题）连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，，记，则下列说法错误的是（   ） A．事件“”的概率为 B．事件“是奇数”的概率为 C．事件“”与“”互为对立事件 D．事件“是奇数”与“”互为互斥事件 10．（多选题）已知事件满足，则下列说法正确的有（    ） A．若事件独立，则事件独立 B．若事件独立，则事件独立 C．若事件独立，则事件独立 D．若事件独立，则事件独立 11．（多选题）若事件互斥，事件中的事件满足，则（    ） A．事件独立 B．事件独立 C．若事件对立，则事件独立 D．若事件不对立，则事件不独立 12．（多选题）已知为随机事件，，则下列结论正确的有（   ） A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则 C．若相互独立，则 D．若相互独立，则 13．（多选题）若，则（    ） A． B． C． D． 14．（多选题）甲、乙、丙、丁4人报名参加周末公益活动，有，3个单位需要招志愿者，每个单位各招1人，设事件“单位招到甲或乙”，事件“单位招到甲或丙”，事件“单位招到丙或丁”，事件“单位招到甲或乙”，则下列说法错误的是（   ） A．事件相互独立 B．事件相互独立 C．事件相互独立 D．事件相互独立 15．（多选题）抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件表示“第一枚掷出的点数为奇数”，事件表示“第二枚掷出的点数为偶数”，事件表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则（    ） A．与是互斥事件 B．与是相互独立事件 C． D．与是对立事件 16．（多选题）下列命题正确的是（   ） A．若三个事件、、两两相互独立，则 B．设、是两个随机事件，且，，若，则、是相互独立事件 C．若，，则事件、相互独立与、互斥有可能同时成立 D．若事件、相互独立，，，则 17．某商场举行有奖问答游戏，每名参加者要依次回答若干道题，若连续答对两题则结束游戏，并获得奖品，若连续答错两题也结束游戏，但不能获得奖品，只要没有出现连续答对或连续答错的情况，就继续答题．已知小明答对每道题的概率都为，则小明获得奖品的概率为 ． 18．数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制.五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为.若从由数字2，3，4（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为 . 19．如图，电流通过元件的概率均为0.8，且各元件能否正常工作相互独立，则电流能在E，F之间通过的概率是 . 20．某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照［20，40），［40，60），［60，80），［80，100］分组，绘制成评分频率分布直方图如下： (1)为了更进一步了解A地区用户的不满意原因，将A地区抽取的400名用户作为一个总体，按照评分再用分层抽样的方法抽取40人进行面对面交流，那么应从评分在内的用户中抽取几人？ (2)从B地区随机抽取两名用户，且这两名用户评分独立，以频率估计概率，求这两名用户的评分恰好一个大于60分，另一个小于60分的概率； (3)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明） 21．问卷的设计是一门很大的学问，例如，调查问题的措辞会对被调查者产生影响，举例来说，在“你在多大程度上喜欢吸烟”和“你在多大程度上不喜欢吸烟”这两种问法中，前者会比后者给出更为肯定的答案．下面设计了一个调查程序： 已知某高校有12000名学生，我们随机抽取其中1200名学生进行调查（吸烟问题）． 第一步：每个被测人员在大小和形状相同的50个红球与50个白球中随机摸取一个球，然后再同时掷两个骰子：（结果只有被测人员知道） 第二步：如果取到红球，且两个骰子的点数之和是4或5或6，则被测人员在计数器上点一下： 如果取到白球，且吸烟的被测人员在计数器上点一下．已知最后计数器数字是211． (1)求第二步中两个骰子的点数之和是4或5或6的概率： (2)试估计某高校吸烟的人数． 22．骰子通常作为桌游小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面的点数从小到大分别为1，2，3，4，5， (1)先后抛掷骰子两次，记“两次点数之和为4”，求事件A的概率； (2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：游戏有2关，第一关抛掷一次，所得的点数不小于2，则算闯过第1关；第二关抛掷两次，所得的点数之和不小于7，则算闯过第2关.假定每次闯关互不影响.由甲连续挑战两关并均过关，则甲胜；否则，乙获胜.这种游戏规则公平吗？请说明理由. 23．某农科所在同一块试验田种植了，两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按，，，，，分为6组（每份重量（g）均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立. (1)求的值及品种小麦千粒重的中位数； (2)用频率估计概率，从，两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量恰有一个不低于45g的概率. 24．每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 25．临川二中两名优秀学子小明、小华同学独立地参加中国科技大学少科班的入学面试，入学面试时共有道题目，答对道题则通过面试（前道题都答对或都答错，第道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为、、，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答道题就结束面试”为事件，记“小华道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 专题二：名校概率培优压轴试题精选 1．连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 2．现有5个正整数，，，，，若这组数据的和为10，方差为，则从这组数据中随机取1个数，该数超过众数的概率为（    ） A． B． C． D． 3．一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 4．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 5．设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（    ） A． B． C． D． 6．如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（    ）    A． B． C． D． 7．（多选题）现有甲，乙，丙，丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排名（积分多者名次靠前，积分同者名次并列）.积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队胜3场与乙队胜3场是互斥事件 B．不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 8．（多选题）在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲、乙、丙、丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时（    ） A．四支球队的积分总和可能为15分 B．甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 C．可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况 D．丙队在输了一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为 9．（多选题）某电视节目有奖闯关活动，共设置三道试题，选手需依次进行答题，每次答题正确后均会获得相应奖金，且奖金累积．选手每次独自答题正确后选择继续答题或放弃答题的概率相同，若选择放弃答题，则奖金有效；若选择继续答题，当答题错误时，选手可以使用一次场外求助机会，若求助后答题正确，则奖金有效，同时答题结束，若求助后答题错误，则奖金清零，同时答题结束．已知甲在本次活动中依次独自答题正确的概率分别为，场外求助后答题正确的概率为，则下列命题中正确的是（    ） A．甲在第一题使用场外求助的概率为 B．甲答题两次并获得奖金的概率为 C．甲未使用场外求助并获得奖金的概率为 D．甲在后两题中使用场外求助并获得奖金的概率为 10．袋中装有6个相同的球，分别标有数字，从中一次性随机取出两个球，设两球标号为和，并记.将球放回袋中，重复上述操作，得到和.记，其中，则的概率为 . 11．若事件满足，，同时成立，则称事件两两独立，现抛掷一枚质地均匀的骰子，观察面朝上的数字， 得到样本空间， 若事件， 事件， 则可以构造事件 (填一个满足条件的集合即可)， 使得成立， 但不满足事件两两独立. 12．某电视台举办“庆奥运”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从（跳水）、（乒乓球）、（游泳）三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答、两类问题的概率均为，能正确回答类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立．为使取得复赛资格的概率最大，在“”、“”和“”三种回答顺序中，选手甲应选择 13．有一种珍惜物种，对于其每个个体，每天都会发生如下事件：有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个，对所有新产生的生物每天也会发生上述事件，假设开始只有一个这样的珍惜生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过，则的最大值为 ． 14．甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，比赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如下表： 第一轮 甲VS乙 丙VS丁 第二轮 甲VS丙 乙VS丁 第三轮 甲VS丁 乙VS丙 规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，平局两队各记1分，三轮比赛结束后以总分排名．总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排名前两位的球队出线．假设甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为，，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为，，．每场比赛结果相互独立．求： （1）丁的总分为7分的概率为 ； （2）若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3，0，3，0，求丁以6分的成绩出线的概率为 ． 15．已知有，两个盒子，其中盒中有3个黑球和3个白球，盒中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从盒，乙从盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中.按上述方法重复操作两次后，盒中有8个球的概率是 ． 16．已知集合 是集合 的真子集且 ， 如果 ， 使得 ， 其中 ， 则称 是集合 的一组有序基底集，记为 .已知 ，且 为 的一组有序基底集，则集合 中的元素之和小于 4 的概率为 . 17．设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则= 18．为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)当时，求游戏三的获胜概率； (3)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大. 19．某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为. (1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设，且每局比赛相互独立. （i）求乙连胜两局获得最终胜利的概率； （ii）求比赛结束时乙获胜的概率； (2)若，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略. 20．在川大附中2024秋季教职工运动会拔河比赛中，高一、高二、高三三个年级组和行政组共四个队伍角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”： 第一轮，四个队伍通过抽签分成两组，每组两个队伍对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”； 第二轮，“胜区”中两个队伍对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两个队伍对阵，败者直接淘汰出局获第四名； 第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名； 第四轮，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名. 已知高二和高三年级组水平相当，高一和行政组水平相当，高二对高三、高一对行政组的胜率均为，高二、高三对高一和行政组的胜率均为，没有平局，且不同对阵的结果相互独立.经抽签，第一轮由高二对阵高三，高一对阵行政组. (1)求比赛结束时，高二比赛的场次是2场的概率； (2)若已知高二输了第一轮的比赛，求高二获得冠军的概率； (3)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：即四个队伍分成两组后，每组中的两个队伍对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军.分别求在以上两种赛制下高二获得冠军的概率，并比较哪种赛制对高二夺冠有利？请说明理由. 21．中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.2024年巴黎奥运会，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌.其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制.每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月10日，中国队对战瑞典队，最终以取得团体赛冠军，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为. (1)求中国队以的比分获胜的概率； (2)求中国队在已输一场的情况下获胜的概率； (3)求至多进行四场比赛的概率. 22．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）． (1)已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． (2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 23．在某抽奖活动中，初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球，颜色为2白1红．每次随机抽取一个小球后放回．抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态．记第n次抽奖中奖的概率为． (1)求，，； (2)若存在实数a，b，c，对任意的不小于4的正整数n，都有，试确定a，b，c的值，并说明理由； (3)若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章，则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少？ 专题三：概率全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2022高一·浙江温州·竞赛）有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片.第一个盒子中有三张分别标号为的卡片；第二个盒子中有五张分别标号为的卡片；第三个盒子中有七张分别标号为的卡片.现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第个盒子中取出的卡片的号码为，则为奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（16-17高三·北京·强基计划）投掷一枚均匀的骰子6次，每次掷出的点数可能为1，2，3，4，5，6且概率相等，若存在k使得1到k次的点数之和为6的概率是p，则p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（17-18高三·北京·强基计划）设集合S中有10个元素，从S中每次随机选取1个元素，取出后还放回到S中，则取5次后所取出的元素有重复的概率是（保留两位有效数字）（    ） A．0.50 B．0.55 C．0.70 D．前三个答案都不对 4．（16-17高三·北京·强基计划）某人决定就近打车前往目的地，前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”．有以下两种方案： 方案一：决定不乘第一辆车，若第二辆车的车况好于第一辆车，就乘坐此车；否则直接乘坐第三辆车． 方案二：直接乘坐第一辆车． 若三辆车开过来的先后次序等可能，记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为，则（    ） A． B． C． D． 5．（20-21高三上·北京·强基计划）随机投掷三颗骰子，下列说法中正确的是（    ） A．有两颗骰子之和为7的概率是 B．有两颗骰子之和为8的概率是 C．所有骰子中最小值为2的概率是 D．所有骰子中最小值为3的概率是 6．（2024高三上·全国·竞赛（多选题））对于一个随机试验，设是样本空间，是随机事件，是样本点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2022高三·浙江宁波·竞赛（多选题））一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件“摸出的球是红球”，事件“摸出的球标号为偶数”，事件“摸出的球标号为3的倍数”，则（    ） A．事件A与事件C互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件B相互独立 D．事件B与事件C相互独立 8．（16-17高三·北京·强基计划（多选题））将4瓶外观相同、品质不同的酒让品酒师品尝，要求按品质优劣将4种酒排序．经过一段时间，再让该品酒师品尝这4瓶酒，并让他重新按品质优劣将4种酒排序．根据测试中两次排序的偏离程度评估品酒师的能力．记表示第一次排序为1，2，3，4的四种酒分别在第二次排序中的序号，记为其偏离程度．假设为1，2，3，4的等可能的各种排列，表示在1轮测试中的概率，表示在相继进行的3轮测试中均有的概率，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024高二下·吉林·竞赛）设集合.若的子集满足: 若，则，则称子集具有性质，现从的所有非空子集中，等可能地取出一个，则所取出的非空子集具有性质的概率为 . 10．（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）一个不透明口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，现随机取一个小球然后放回，再随机取出一个小球，则第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为 ． 11．（2022高三·湖南湘西·竞赛）解放军东部战区此前在中国台湾省周边海域展开大规模实弹演习.对于台军有什么导弹可以拦截“东风快递”导弹，拦截率是多高的问题，台军退将在一档政论节目中称，台湾天弓导弹一发的拦截率大概是，“我（台湾）三发拦你（大陆）一发，拦截率就了”.此节目播出后，相关内容让岛内网友傻眼，同时也引发国内网友嘲笑.请你用所学数学知识解决此问题，则“三发拦一发”的拦截率大约是 . 12．（2022高二·江苏苏州·竞赛）已知第一只口袋里有2个白球，3个红球，5个黄球，第二只口袋里有2个白球，4个红球，4个黄球，若从两个口袋中各取一球，则取出的球颜色不同的概率是 . 13．（20-21高三下·广东·强基计划）设个人进行互相传球游戏，每个拿球的人等可能地把球传给其他人中的任何一位，．若初始时球在甲手中，则第次传球之后，球又回到甲手中的概率为 ． 14．（19-20高一·安徽芜湖·强基计划）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆车向左转的概率为 . 15．（2023高二·安徽·竞赛）某游戏公司开发了一款游戏，共有两关，公司组织了水平相当的位玩家测试这款游戏．玩家按预先指定的顺序依次上场，每位玩家的测试都是相互独立的．他们通过第一关测试的概率都为，通过第二关测试的概率都为．若玩家通不过第一关测试，则他下场，由下一位玩家继续上场测试，若玩家通过第一关测试，则继续第二关的测试，若第二关测试通过，则游戏测试终止，若第二关测试通不过，则下一位玩家直接从第二关开始测试．当时，求第位玩家终止测试的概率（用含的式子表示）． 16．（2016高三·河南·竞赛）《中国好声音（）》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于2012年7月13日在浙江卫视播出.每期节目有四位导师参加.导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练.已知某期《中国好声音》中，6位选手唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示： 导师转身人数（人） 4 3 2 1 获得相应导师转身的选手人数（人） 1 2 2 1 现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况. (1)请列出所有的基本事件； (2)求两人中恰好其中一位为其转身的导师不少于3人，而另一人为其转身的导师不多于2人的概率. 17．（22-23高三·北京·强基计划）11个黑球，9个红球，依次取出，剩下全是一种颜色就结束，求最后只剩下红球的概率？ 18．（17-18高三·北京·强基计划）一副52张的纸牌，编号为1，2，3，…，52．若A，B，C，D四人每人从中不放回地抽取一张，规定编号较小的两人为一组，编号较大的两人为另一组．已知A抽到编号为a，中的一张，D抽到这两张牌中的另一张．设A，D两人在同一组的概率为．当时，求的最小值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$