精品解析：2025届山东省青岛市平度市高考模拟检测试题（一）数学试题

平度市2025年高考模拟检测（一） 数学试题 2025.02 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 设一个球的表面积为，它的内接正方体的表面积为，则的值等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量 ，，，若点不能构成三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列，，且，将与公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则的前10项和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了研究与的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表），假设经验回归方程为，则（ ） 1 2 3 4 5 0.5 0.8 1 1.2 15 A. B. 当时的残差为 C. 样本数据的％分位数为0.8 D. 去掉样本点后，与的样本相关系数不变 10. 抛物线的焦点为，直线过且与交于两点，为坐标原点，点为上一点，且，则（ ） A. 过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有条 B. 当的面积为时， C. 为直角三角形 D. 的最小值为 11. 已知函数，记一次完整的图形变换为“T变换”，“T变换”的规则为：将函数图象向右平移2个单位，纵坐标缩短为原来的，再向上平移1个单位，的图象经历一次“T变换”得到的图象，依此类推，经历次“T变换”后，得到的图象，则（ ） A. B. 若，则 C. 当时，函数的极大值之和小于 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量服从正态分布，若，则____________. 13. 在中，角的对边成公差为的等差数列.若，则的面积为___________. 14. 有个编号分别为盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到红球的概率是________，从第个盒子中取到红球的概率是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，其面积. （1）求的值； （2）若，且，求. 16. 如图，在多面体中，，的中点为. （1）求证：四点共面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的大小. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.点在的右支上，当轴时，. （1）求方程; （2）若直线与右支的另一个交点为，求面积的最小值. 18. 《周易》反映了中国古代的二进制计数的思想方法，可以解释为：把阳爻“”当做数字“”，把阴爻“”当做数字“”，例如，成语“否极泰来”包含了“否”卦和“泰”卦，“否”卦所表示的二进制数为，转化为十进制数是，“泰”卦所表示的二进制数为，转化为十进制数是 （1）若某卦的符号由五个阳爻和一个阴爻构成，求所有这些卦表示的十进制数的和； （2）在由三个阳爻和三个阴爻构成的卦中任取一卦，若三个阳爻均相邻，则记分；若只有两个阳爻相邻，则记分；若三个阳爻互不相邻，则记分，设任取一卦后的得分为随机变量，求的分布列和数学期望． 19. 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象.现定义双曲正弦函数，回答以下问题： （1）类比三角函数的导数关系：，，写出与的导数关系式，并证明； （2）对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平度市2025年高考模拟检测（一） 数学试题 2025.02 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集运算，即可得结果. 【详解】由， 故选：C. 2. 已知复数满足，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简可得，进而可得复数的虚部. 【详解】由已知， 则， 即复数的虚部为， 故选：C. 3. 设一个球的表面积为，它的内接正方体的表面积为，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出正方体的棱长，然后求出正方体的表面积，根据正方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出球的表面积，即可得到二者的比值． 【详解】解：设正方体的棱长为1，所以正方体的表面积为， 正方体的体对角线即为正方体外接球的直径， 设外接球的半径为，则，即， 所以球的表面积， 所以． 故选：B． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式，诱导公式求解． 【详解】， 故选：A． 5. 已知向量 ，，，若点不能构成三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的坐标，再根据三点共线求出的值，即可得到结果. 【详解】由题意可得,， 若点三点共线，则点不能构成三角形, 即，解得：， 所以的值为. 故选：B. 6. 已知数列，，且，将与的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则的前10项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对n分奇数与偶数讨论，求出数列与数列的公共项，利用裂项相消法求和. 【详解】因为数列是正奇数数列， 对于数列，当为奇数时，设，则，为奇数； 当为偶数时，设，则，为偶数， 所以，由数列的函数特性知为递减数列， 又， 所以， 故选：C． 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过边长相等得到角相等，证明三角形相似，利用线段比例关系得到的关系式即可得到结果. 【详解】由题意得，， 由椭圆定义得，故， ∵，，∴， ∴与相似，∴，即， 整理得，故，解得， 由得，，即椭圆离心率为. 故选：B. 8. 已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件推导出函数周期为4，，可求. 【详解】由为偶函数，得，即，则， 因此，即，则， 于是，函数是周期为4的周期函数， 由，得，因此， 所以． 故选：A 【点睛】关键点点睛：利用偶函数的性质，结合已知等式，探讨函数的周期性是求解问题的关键. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了研究与的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表），假设经验回归方程为，则（ ） 1 2 3 4 5 0.5 0.8 1 1.2 1.5 A. B. 当时的残差为 C. 样本数据的％分位数为0.8 D. 去掉样本点后，与的样本相关系数不变 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据样本中心点、残差、百分位数、相关系数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题， 所以，故A选项正确； 由A，当时，， 所以时的残差为，所以B选项正确； 因为，所以样本数据的％分位数为，C选项错误； 去掉样本点后，而， 由于， 所以去掉样本点后，与的样本相关系数不变，故D正确. 故选：ABD 10. 抛物线的焦点为，直线过且与交于两点，为坐标原点，点为上一点，且，则（ ） A. 过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有条 B. 当的面积为时， C. 为直角三角形 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】由可得抛物线方程，对于A，注意到与抛物线线有一个公共点的直线有两类，一类是抛物线切线，另一类是与y轴垂直的直线，据此可判断选项正误；对于B，设，由的面积为，可得，由韦达定理可判断选项正误；对于C，由B，验证是否等于0可判断选项正误； 【详解】抛物线的焦点为，准线为 因点上一点，且，由抛物线定义可得， 则抛物线方程为：. 对于A，注意到，则点M在抛物线外，如图所示，则过M点可做抛物线的两条切线，此外直线过点M，且与抛物线只有一个公共点，故过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有条，故A错误； 对于B，设直线AB方程为：，将直线AB方程与抛物线联立，可得： ，设，由韦达定理： ，由图可得， 则. 又由抛物线定义可得 ，故B正确； 对于C，可得注意到，则 ，故为钝角，则为钝角三角形，故C错误； 对于D，由B， ，则由抛物线定义： . 当且仅当，即时取等号.故D正确. 故选：BD 11. 已知函数，记一次完整的图形变换为“T变换”，“T变换”的规则为：将函数图象向右平移2个单位，纵坐标缩短为原来的，再向上平移1个单位，的图象经历一次“T变换”得到的图象，依此类推，经历次“T变换”后，得到的图象，则（ ） A. B. 若，则 C. 当时，函数的极大值之和小于 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件给出变换求出的解析式可判断A；作出的图象，可知若，只需成立即可，参变分离可求出的范围可判断B；设的极大值为，则有，求出的通项，可判断D，对求和可判断C. 【详解】，其中，即，故A正确； 作出的图象，可得．若，只需，对即可， 故，故B错误； 记的极大值为（也是最大值），则，且，则， 即，即，故D正确； 当时，函数的极大值之和 ，故C正确； 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量服从正态分布，若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性计算可得. 【详解】因为且， 所以，解得. 故答案为： 13. 在中，角的对边成公差为的等差数列.若，则的面积为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据等差数列的概念结合正弦定理可得，，，通过余弦定理求出，最后由面积公式即可得结果. 【详解】因为成公差为的等差数列，所以； 因为，由正弦定理可得； 解得，，， 由余弦定理可得， 因为，所以， 所以的面积为， 故答案为：. 14. 有个编号分别为的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到红球的概率是________，从第个盒子中取到红球的概率是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设事件表示“从第i个盒子中取到红球”（），利用全概率公式可得，当时，由全概率公式得，通过构造得数列是等比数列，利用数列通项求. 【详解】设事件表示“从第i个盒子中取到红球”（），则，， 所以， 则当时， ， 所以，又， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以． 故答案为：；． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是设事件表示“从第i个盒子中取到红球”（），当时，结合全概率公式得到的递推关系：，再构造等比数列. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，其面积. （1）求的值； （2）若，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式，结合正弦定理即可求解， （2）根据正弦定理边化角可求解，进而利用同角关系求解正余弦，即可根据余弦的和差角公式求解，进而利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由已知得， 由正弦定理可得：， . 【小问2详解】 由可得，由（1）可得，解得， ， ， ， ， 由余弦定理得：. 16. 如图，在多面体中，，的中点为. （1）求证：四点共面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1） 利用垂直关系可证明线面垂直，根据过一个点有且只有一个平面与已知直线垂直，可以证明四点共面； （2）引入二面角作参数，来表达相关点坐标，从而利用空间向量法求线面角正弦值，即可得到方程求角，从而可得到答案. 【小问1详解】 连接，由为中点，得， 由，得，而平面， 则平面，同理平面， 又平面与平面有公共直线， 所以四点共面； 【小问2详解】 由（1）知，是二面角的平面角， 设， 由，得， 则，，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的法向量为，则， 取，得， 设直线与平面所成角为， 依题意，，即， 平方化简整理得， 而,则， 即，又，则， 所以平面与平面夹角的大小为. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.点在的右支上，当轴时，. （1）求的方程; （2）若直线与的右支的另一个交点为，求面积的最小值. 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）根据题意得，代入方程即可求解； （2）设直线方程为，与双曲线联立得，由韦达定理有，代入即得，令，得，设，利用单调性即可求解. 【小问1详解】 由题知 ， 又 轴时，有代入方程解得，， 则双曲线的方程为： ； 【小问2详解】 设直线方程为， ，消去得， 则， 所以， ， 因为， 令，则， 得 设，则该函数在上单调递减，则， 故，，即面积的最小值为12. 18. 《周易》反映了中国古代的二进制计数的思想方法，可以解释为：把阳爻“”当做数字“”，把阴爻“”当做数字“”，例如，成语“否极泰来”包含了“否”卦和“泰”卦，“否”卦所表示的二进制数为，转化为十进制数是，“泰”卦所表示的二进制数为，转化为十进制数是 （1）若某卦的符号由五个阳爻和一个阴爻构成，求所有这些卦表示的十进制数的和； （2）在由三个阳爻和三个阴爻构成的卦中任取一卦，若三个阳爻均相邻，则记分；若只有两个阳爻相邻，则记分；若三个阳爻互不相邻，则记分，设任取一卦后的得分为随机变量，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）315 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由题意，由五个阳爻和一个阴爻构成的卦所表示的二进制数有6个，列举后按照二进制数与十进制数之间的转化公式计算求和即得； （2）先判断的所有可能取值，再运用古典概型概率公式和插空计数法求对应的概率值，写出分布列，计算数学期望即可. 【小问1详解】 因为该卦的符号由五个阳爻和一个阴爻构成，所以该卦所表示的二进制数共有个， 分别为、、、、、， 因为这个数中，每个数位都是次和次， 所以这些卦表示的十进制数的和为： ； 【小问2详解】 由题意可知，随机变量的所有可能取值有、、， 则，，， 则随机变量的分布列如下表所示： 故. 19. 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象.现定义双曲正弦函数，回答以下问题： （1）类比三角函数的导数关系：，，写出与的导数关系式，并证明； （2）对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； （3）求的最小值． 【答案】（1）答案见解析； （2）； （3）0. 【解析】 【分析】（1）类比，写出导数关系，再证明； （2）构造函数，，求导，分和两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案； （3）多次求导，结合（2）中结论，先得到在上单调递增，再求出为偶函数，从而得到在内单调递减，求出. 【小问1详解】 导数：， ，； 依题意， ， 所以. 【小问2详解】 构造函数，，由（1）可知， 当时，由，，函数在上单调递增， 对，，即恒成立，因此； 当时，令，，求导得， 而函数在上都单调递增，函数在上单调递增， 因此，函数在上单调递增， 而，，则存在唯一，使得， 当时，，函数在内单调递减， 对任意，，即，不符合题意， 所以实数a的取值范围为． 【小问3详解】 令函数，求导得， 令，求导得， 令，求导得， 当时，由（2）知，，则， 令，求导得，函数在上单调递增， 则，函数在上单调递增， 于是，函数在上单调递增， 则，函数在上单调递增， 又， 函数为偶函数，在内单调递减，因此， 所以函数的最小值为0. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$