重难点06 勾股定理中五种常用的思想方法-2024-2025学年八年级数学下册【重难点考点】专练（人教版）

重难点06 勾股定理中五种常用的思想方法 ▲思想方法一：方程思想： 在直角三角形中，利用方程思想解题也是很好的解题方法，设一条未知线段长为x，用已知数或含x的代数式表示出其它线段长，在直角三角形中应用勾股定理列出关于x的方程，解这个方程即可求出线段长. ▲思想方法二：转化思想： 在运用勾股定理时，直角三角形为前提条件，在非直角三角形中求三角形的边或角或推理论证时，常通过作垂线构造直角三角形，将问题转化到直角三角形中来解决. ▲思想方法三：数学结合思想: 勾股定理是三角形是直角三角形（形），得到三角形三边的数量关系（数），勾股定理的逆定理的是由三角形三边的数量关系（数），得到这个三角形是直角三角形（形），二者相互结合，能使抽象的数量关系直观化，从而有效分析和解决问题. ▲思想方法四：建模思想： 运用勾股定理解决实际问题的实质是将生活中的实际问题转化为数学问题，然后将已知和未知转化为直角三角形的边，利用勾股定理求出直角三角形的边，最后得出实际问题的解. ▲思想方法五：分类讨论思想： 在研究三角形的高时，应分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情况考虑，另外在探究直角三角形的边长时也应注意分类. 【题型1 方程思想在勾股定理中的应用】 1．（2024春•天门校级月考）一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则该三角形的面积为（　　） A．8 B．10 C．24 D．48 2．（2024秋•徐汇区期末）一个直角三角形两条直角边的比是3：4，斜边长为10cm，那么这个直角三角形面积为 　 　． 3．如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．10 4．（2024春•海淀区校级期中）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从D处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB． 5．（2024春•青山湖区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝12，BC＝20． （1）求AC的长； （2）若点P为线段AC上一点，连接BP，且BP＝CP，求AP的长． 6．（2024春•碑林区校级期末）如图，学校高17.6m的教学楼AB上有一块高5m的校训宣传牌AC，为美化环境，对校训牌AC进行维护．一辆高2.6m的工程车在教学楼前点M处，伸长25m的云梯（云梯最长25m）刚好接触到AC的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处？ 7．（2024春•番禺区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，已知CD＝6，AD＝10． （1）求线段AE的长； （2）求△ABC的面积． 【题型2 转化思想在勾股定理中的应用】 1．（2024春•大冶市期中）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，则正方形B的面积是（　　） A．15 B．9 C．10 D．21 2．如图，长方体的底面长和宽分别为4cm和2cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为　 　cm． 3．如图，有一圆柱形油罐，底面周长为24m，高为10m．从A处环绕油罐建梯子，梯子的顶端点B正好在点A的正上方，梯子最短需要 　 　m． 4．（2024秋•高新区校级期末）如图，圆柱底面半径为cm，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为 　 cm． 5．（2024秋•安岳县期末）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝10m，宽AD＝5m，中间竖有一堵砖墙高MN＝1m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 　 　m的路程． 6．（2024秋•高新区校级月考）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．求四边形ABCD的面积． 7．（2024春•崇阳县校级月考）如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，∠ADC＝150°，AB⊥BC． （1）直接写出：∠C的度数为 　 　，的值为 　 　． （2）求四边形ABCD的面积． 【题型3 数形结合思想在勾股定理中的应用】 1．（2024春•玉州区期中）先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴时，两点距离公式可简化成|x1﹣x2|或|y2﹣y1|． （1）已知A（3，4），B（﹣2，﹣3），试求A，B两点的距离； （2）已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为﹣4，试求A，B两点的距离； （3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6），B（﹣3，2），C（3，2），找出三角形中相等的边？说明理由． 2．（2024春•平桥区校级期末）如图所示，四边形ABCD，∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m． （1）求四边形ABCD的面积； （2）如图2，以A为坐标原点，以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，点P在y轴上，若S△PBDS四边形ABCD，求P的坐标． 3．（2024春•长沙县期末）阅读下列一段文字，并结合图中的信息理解平面内两点间的距离公式的推导过程： 在直角坐标系中，已知两点的坐标是M（x1，y1），N（x2，y2），那么M、N两点之间的距离可以用公式MN计算．试根据公式解决下列问题： （1）若点M1（2，4），N1（﹣3，﹣8），则M1，N1两点间的距离为 　 　； （2）若点M2（5，m）与N2（2，0）的距离为6，求m的值； （3）若点M3（1，2），N3（4，﹣2），点O是坐标原点，试判断△M3ON3是什么三角形，并说明理由． 4．（2024春•交城县期中）先阅读下面的一段文字，再解答问题． 已知：在平面直角坐标系中，任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），其两点之间的距离公式为MN．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知点A（1，5），B（﹣3，6），试求A，B两点之间的距离； （2）已知点A，B在垂直于y轴的直线上，点A的坐标为（﹣5，），AB＝8，试确定点B的坐标； （3）已知点A（0，6），B（﹣3，2），C（3，2），请判断△ABC的形状，并说明理由． 5．如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC＝5km，B厂距离河边BD＝1km，经测量CD＝8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E． （1）设ED＝x，请用x的代数式表示AE+BE的长； （2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？ （3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为多少？ 6．（2024春•越秀区校级期中）如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x． （1）用含x的代数式表示AC+CE的长为 ； （2）求AC+CE的最小值 　 ； （3）根据（2）中的规律和结论，请模仿图1在网格中（图2）构图并求代数式的最小值． 【题型4 建模思想在勾股定理中的应用】 1．（2024春•昆玉市期末）如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？ 2．如图所示的是一个拉箱的示意图，箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为6cm．当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处．请求点C离地面的距离（假设点C的位置保持不变） 3．（2024秋•蒲江县校级期中）一架梯子AB长2.5m，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙0.7m． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了0.4m．那么梯子底部在水平方向滑动了0.4m吗？为什么？ 4．（2024秋•郑州期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 5．（2024春•合江县期末）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，AB＝AD＝13m，BC＝8m，CD＝6m，且BD＝10m．该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植1m2花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 6．（2024秋•南岸区校级期中）如图1，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高为4米，宽为2.8米， （1）请问这辆送家具的卡车能通过这个通道吗？为什么？ （2）如图2，若通道正中间有一个0.4米宽的隔离带，问一辆宽1.4米高3.9米的车能通过这个通道吗？为什么？ 7．（2024春•汉南区校级月考）如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB＝90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由． 【题型5 分类讨论思想在勾股定理中的应用】 1．已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为（　　） A．5 B．7 C．12 D．12或7 2．（2024秋•肃州区期末）已知直角三角形两边的长分别为3cm，4cm，则以第三边为边长的正方形的面积为　 　． 3．（2024春•南岗区校级月考）已知等腰三角形的两边长为10和12，则等腰三角形的面积为 　 　． 4．（2024•扶沟县一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，∠B＝30°，点P在△ABC的内部，，D是AB的中点，连接PA，PD，当△PAD为等腰三角形时，PA的长为 　 　． 5．（2024秋•威海期末）如图所示，已知OA＝10，P是射线ON上一动点，∠O＝60°． （1）当△AOP是等边三角形时，求OP的长； （2）当△AOP是直角三角形时，求OP的长． 6．（2024春•献县月考）已知：AD是△ABC边BC上的高，∠ACD＝45°，AB＝13，AD＝5． （1）若D在线段BC上，求线段BC的长； （2）若D在直线BC上，求△ABC的面积． 7．（2024秋•东莞市期末）如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，若AB＝16 厘米，AC＝12 厘米，BC＝20厘米．点P从点A开始，以2厘米/秒的速度沿A→B→C的方向移动，终点为C；点Q从点C开始，以1厘米/秒的速度沿C→A→B的方向移动，终点为B．如果P，Q同时出发，用t秒表示移动时间． （1）分别求出P，Q到达终点时所需时间； （2）若点P在线段AB上运动，点Q在线段CA上运动，试求出当t为何值时，QA＝AP？ （3）当t为何值时，S三角形QBCS三角形ABC？ 8．（2023春•红谷滩区校级月考）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP． （1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）； （2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值； 1．直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（　　） A．13 B． C．13或 D．13或12 2．在△ABC中，AB＝2，，∠C＝30°，则线段BC的长为（　　） A．4 B． C．4或 D．2或4 3．（2024•宣城模拟）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（　　）米． A．0.9 B．1.3 C．1.5 D．1.6 4．△ABC中，AB＝20，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的面积为（　　） A．66 B．126 C．54或44 D．126或66 5．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是 　 　尺． 6．如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，已知点D的坐标是（0，﹣4），AB的长是14，则△ABD的面积为 　 　． 7．（2024春•上杭县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，若△ADB为等腰三角形，则运动时间为 　 　． 8．（2024春•南京期末）如图，在线段AB上取一点C，分别以AC、BC为直角边作等腰直角三角形ACD、等腰直角三角形CBE．若这两个等腰直角三角形的面积和为11，△CDB的面积为3.5，则AB的长为 　　 ． 9．（2024春•海淀区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为　 　． 10．如图，一只蚂蚁沿着棱长为2的正方体表面从顶点A出发，经过3个面爬到顶点B，如果它运动的路径是最短的，则最短路径为 　 　． 11．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是边BC上的任意一点，以AD为折痕翻折△ABD，使点B落在点E处，连接EC，当△DEC为直角三角形时，BD的长为 　 　． 12．（2024春•开州区期中）如图，开州大道上A，B两点相距14km，C，D为两商场，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA＝8km，CB＝6km．现在要在公路AB上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等． （1）求E站应建在离A点多少km处？ （2）若某人从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？ 13．（2024春•顺德区校级月考）如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，且AB＝AC，由于某种原因，从取水点C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（点A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3km，CH＝2.4km，BH＝1.8km． （1）CH是否是村庄C到河边最近的路？请说明理由； （2）求原来的路线AC的长． 14．（2024春•长乐区期中）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小迪同学将绳子拉直，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米． （1）求旗杆AB的高度； （2）小迪在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂（拉绳处E与脚底F的连线与地面垂直），后退至将绳子刚好拉直为止，测得小迪手臂伸直后离地的高度EF为2米，问小迪需要后退几米？ 15．已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm． （1）求证：CD⊥AB； （2）求该三角形的腰的长度． 16．（2024春•山亭区校级月考）如图所示在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，动点P从点A出发沿射线AC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t s，连接BP，当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 17．（2023春•市中区期中）如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，BD⊥AC． （1）求出AC的长和BD的长． （2）点P从点C出发，以每秒1cm的速度沿C→A→B运动，运动到点B时停止，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PBC的面积为36cm2？ 18．（2024春•潮南区期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，动点P从点B出发沿射线BC以每秒1个单位长度的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）BC＝　 　，AB边上的高h＝　 　； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点06 勾股定理中五种常用的思想方法 ▲思想方法一：方程思想： 在直角三角形中，利用方程思想解题也是很好的解题方法，设一条未知线段长为x，用已知数或含x的代数式表示出其它线段长，在直角三角形中应用勾股定理列出关于x的方程，解这个方程即可求出线段长. ▲思想方法二：转化思想： 在运用勾股定理时，直角三角形为前提条件，在非直角三角形中求三角形的边或角或推理论证时，常通过作垂线构造直角三角形，将问题转化到直角三角形中来解决. ▲思想方法三：数学结合思想: 勾股定理是三角形是直角三角形（形），得到三角形三边的数量关系（数），勾股定理的逆定理的是由三角形三边的数量关系（数），得到这个三角形是直角三角形（形），二者相互结合，能使抽象的数量关系直观化，从而有效分析和解决问题. ▲思想方法四：建模思想： 运用勾股定理解决实际问题的实质是将生活中的实际问题转化为数学问题，然后将已知和未知转化为直角三角形的边，利用勾股定理求出直角三角形的边，最后得出实际问题的解. ▲思想方法五：分类讨论思想： 在研究三角形的高时，应分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情况考虑，另外在探究直角三角形的边长时也应注意分类. 【题型1 方程思想在勾股定理中的应用】 1．（2024春•天门校级月考）一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则该三角形的面积为（　　） A．8 B．10 C．24 D．48 【分析】设另一直角边长为x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：设另一直角边长为x，则斜边长为（x+2）， 由勾股定理得，x2+62＝（x+2）2， 解得，x＝8， ∴该三角形的面积6×8＝24， 故选：C． 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 2．（2024秋•徐汇区期末）一个直角三角形两条直角边的比是3：4，斜边长为10cm，那么这个直角三角形面积为 　 　． 【分析】根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：∵一个直角三角形两条直角边的比是3：4， ∴设两条直角边分别为3x，4x， 根据勾股定理得，（3x）2+（4x）2＝102， ∴x＝2， ∴两条直角边分别为6cm和8cm， ∴这个直角三角形面积为8×6＝24（cm2）， 故答案为：24cm2． 【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．10 【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，根据中点的定义可得BD＝6，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解． 【解答】解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x， ∵D是BC的中点， ∴BD＝6， 在Rt△NBD中，x2+62＝（18﹣x）2， 解得x＝8． 即BN＝8． 故选：A． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强． 4．（2024春•海淀区校级期中）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从D处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB． 【分析】在Rt△ABC中，∠B＝90°，则满足AB2+BC2＝AC2，BC＝a（米），AC＝b（米），AD＝x（米），根据两只猴子经过的路程一样可得10+a＝x+b＝15解方程组可以求x的值，即可计算树高＝10+x． 【解答】解：Rt△ABC中，∠B＝90°， 设BC＝a（米），AC＝b（米），AD＝x（米） 则10+a＝x+b＝15（米）． ∴a＝5（米），b＝15﹣x（米） 又在Rt△ABC中，由勾股定理得：（10+x）2+a2＝b2， ∴（10+x）2+52＝（15﹣x）2， 解得，x＝2，即AD＝2（米） ∴AB＝AD+DB＝2+10＝12（米） 答：树高AB为12米． 【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到两只猴子行走路程相等的等量关系，并且正确地运用勾股定理求AD的值是解题的关键． 5．（2024春•青山湖区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝12，BC＝20． （1）求AC的长； （2）若点P为线段AC上一点，连接BP，且BP＝CP，求AP的长． 【分析】（1）根据勾股定理，可以求得AC的长； （2）先设AP＝x，则BP＝CP＝16﹣x，然后根据勾股定理，即可求得AP的长． 【解答】解：（1）∵∠A＝90°，AB＝12，BC＝20， ∵AB2+AC2＝BC2， ∴AC16； （2）设AP＝x，则BP＝CP＝16﹣x． ∵∠A＝90°， ∴AB2+AP2＝BP2， ∴122+x2＝（16﹣x）2， 解得x＝3.5， ∴AP的长为3.5． 【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答． 6．（2024春•碑林区校级期末）如图，学校高17.6m的教学楼AB上有一块高5m的校训宣传牌AC，为美化环境，对校训牌AC进行维护．一辆高2.6m的工程车在教学楼前点M处，伸长25m的云梯（云梯最长25m）刚好接触到AC的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处？ 【分析】过点D作DE⊥AB交AB于点E，由勾股定理求出DE＝20m，设DD′＝x m，则D′E＝（20﹣x）m，然后在Rt△CED′中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB交AB于点E， 由题意得：AE＝AB﹣BE＝17.6﹣2.6＝15（m），CE＝AB+AC﹣BE＝17.6+5﹣2.6＝20（m）， 在Rt△AED中，由勾股定理得：DE20（m）， 设DD′＝x m，则D′E＝（20﹣x）m， 在Rt△CED′中，由勾股定理得：D′E2+CE2＝CD′2， 即（20﹣x）2+202＝252， 解得：x＝5， 答：工程车向教学楼方向行驶5米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 7．（2024春•番禺区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，已知CD＝6，AD＝10． （1）求线段AE的长； （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）根据角平分线的性质可得DE＝CD＝6，再根据勾股定理即可求解； （2）设BC＝x，则BE＝x，AB＝8+x，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程求解即可得出BC的长，进而可求解． 【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E， ∴DE＝CD＝6， ∴AE8； （2）设BC＝x，则BE＝x，AB＝8+x， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2， 即162+x2＝（8+x）2， 解得x＝12， 即BC＝12， ∴S96． 【点评】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握勾股定理以及角平分线的性质是解题的关键． 【题型2 转化思想在勾股定理中的应用】 1．（2024春•大冶市期中）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，则正方形B的面积是（　　） A．15 B．9 C．10 D．21 【分析】由正方形面积公式得到LN2＝5，QK2＝6，PK2＝20，由勾股定理求出PQ2＝PK2﹣QK2＝14，而MN＝PQ，由勾股定理得到ML2＝MN2﹣LN2＝14﹣5＝9，即可得到正方形B的面积． 【解答】解：∵正方形A、C、D的面积依次为5、6、20， ∴LN2＝5，QK2＝6，PK2＝20， ∵△PQK是直角三角形， ∴PQ2＝PK2﹣QK2＝14， ∵四边形MNPQ是正方形， ∴MN＝PQ， ∵△MNL是直角三角形， ∴ML2＝MN2﹣LN2＝14﹣5＝9， ∴正方形B的面积＝ML2＝9． 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理，正方形的性质，关键是由勾股定理求出ML2的值． 2．如图，长方体的底面长和宽分别为4cm和2cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为　 　cm． 【分析】要求长方体表面两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开；接下来利用“两点之间，线段最短”以及直角三角形勾股定理来解答即可． 【解答】解：根据题意，画出侧面展开图． ∵PA＝2×（4+2）＝12，QA＝5， ∴PQ13（cm）． 故蚂蚁爬行的最短路径长为13cm． 故答案为：13． 【点评】本题主要考查两点之间线段最短，以及如何把立体图形转化成平面图形． 3．如图，有一圆柱形油罐，底面周长为24m，高为10m．从A处环绕油罐建梯子，梯子的顶端点B正好在点A的正上方，梯子最短需要 　 　m． 【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【解答】解：将圆柱体的侧面展开，如图所示： 则AC＝底面周长＝24m，BC＝10m， 在Rt△ABC中，AB26（m）， 故答案为：26． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短和勾股定理是常用求解方法． 4．（2024秋•高新区校级期末）如图，圆柱底面半径为cm，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为 　 cm． 【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【解答】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB； 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短； ∵圆柱底面半径为cm， ∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π4（cm）； 又∵圆柱高为9cm， ∴小长方形的一条边长是3cm； 根据勾股定理求得AC＝CD＝DB5（cm）； ∴AC+CD+DB＝15（cm）； 故答案为：15． 【点评】本题主要考查了平面展开﹣﹣路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 5．（2024秋•安岳县期末）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝10m，宽AD＝5m，中间竖有一堵砖墙高MN＝1m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 　 　m的路程． 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可． 【解答】1解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN， 原图长度增加2米，则AB＝10+2＝12m， 连接AC， ∵四边形ABCD是长方形，AB＝12m，宽AD＝5m， ∴AC13m， ∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走13m的路程． 故答案为：13． 【点评】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键． 6．（2024秋•高新区校级月考）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°． 求四边形ABCD的面积． 【分析】连接AC，根据勾股定理可知AC2＝BA2+BC2，再根据AC2＝DA2+DC2即可得出∠D是直角；根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可得出结论． 【解答】解：连接AC， ∵∠B＝90°， ∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625， ∵DA2+CD2＝242+72＝625， ∴AC2＝DA2+DC2， ∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角； ∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC， ∴S四边形ABCDAB•BCAD•CD， ， ＝234． 【点评】本题用到了转化的思想，把四边形的面积转化成三角形的面积来求，考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 7．（2024春•崇阳县校级月考）如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，∠ADC＝150°，AB⊥BC． （1）直接写出：∠C的度数为 　 　，的值为 　 　． （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）连接BD，证明△ABD是等边三角形，得∠ADB＝∠ABD＝60°，BD＝AB＝6，则∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，然后由直角三角形的性质得∠C＝60°，CDBC即可； （2）过点D作DE⊥AB于点E，由勾股定理得DE＝3，CD＝2，再由S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD列式计算即可． 【解答】解：（1）如图，连接BD， ∵AB＝AD＝6，∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB＝∠ABD＝60°，BD＝AB＝6， ∵∠ADC＝150°， ∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝150°﹣60°＝90°， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠C＝90°﹣∠DBC＝90°﹣30°＝60°，CDBC， ∴， 故答案为：60°，； （2）如图，过点D作DE⊥AB于点E， 则∠ADE∠ADB＝30°， ∴AEAD6＝3， ∴DE3， 由（1）可知，BC＝2CD，∠BDC＝90°， ∴BDCD＝6， ∴CD＝2， ∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCDAB•DEBD•CD6×36×215． 【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【题型3 数形结合思想在勾股定理中的应用】 1．（2024春•玉州区期中）先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴时，两点距离公式可简化成|x1﹣x2|或|y2﹣y1|． （1）已知A（3，4），B（﹣2，﹣3），试求A，B两点的距离； （2）已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为﹣4，试求A，B两点的距离； （3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6），B（﹣3，2），C（3，2），找出三角形中相等的边？说明理由． 【分析】（1）直接根据两点间距离公式计算即可； （2）直接根据两点间距离公式计算即可； （3）先根据两点间距离公式分别计算三角形三边的长度，再进行比较即可． 【解答】解：（1）∵A（3，4），B（﹣2，﹣3）， ∴； （2）∵A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为﹣4， ∴AB＝|﹣4﹣6|＝10； （3）AB＝AC，理由如下： ∵A（0，6），B（﹣3，2），C（3，2）， ∴， BC＝|3﹣（﹣3）|＝6， ， ∴AB＝AC． 【点评】本题考查了两点间距离公式，准确理解题意是解题的关键． 2．（2024春•平桥区校级期末）如图所示，四边形ABCD，∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m． （1）求四边形ABCD的面积； （2）如图2，以A为坐标原点，以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，点P在y轴上，若S△PBDS四边形ABCD，求P的坐标． 【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理可求出BD＝5m，然后再证明△BDC是直角三角形，从而可得∠DBC＝90°，最后根据四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积，进行计算即可解答； （2）设P（0，a），可得PD＝|a﹣4|，然后根据已知可得•|a﹣4|•3＝9，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m， ∴BD5（m）， ∵BC＝12m，CD＝13m， ∴DB2+BC2＝52+122＝169，CD2＝132＝169， ∴BD2+BC2＝CD2， ∴△BDC是直角三角形， ∴∠DBC＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积 AD•ABDB•BC 4×35×12 ＝36（m2）， ∴四边形ABCD的面积为36m2； （2）设P（0，a）， ∵DA＝4m， ∴D（0，4）， ∴PD＝|a﹣4|， ∵S△PBDS四边形ABCD， PD•AB36， •|a﹣4|•3＝9， |a﹣4|＝6， a﹣4＝±6， a＝10或a＝﹣2， ∴P（0，10）或（0，﹣2）． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，坐标与图形的性质，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 3．（2024春•长沙县期末）阅读下列一段文字，并结合图中的信息理解平面内两点间的距离公式的推导过程： 在直角坐标系中，已知两点的坐标是M（x1，y1），N（x2，y2），那么M、N两点之间的距离可以用公式MN计算．试根据公式解决下列问题： （1）若点M1（2，4），N1（﹣3，﹣8），则M1，N1两点间的距离为 　 　； （2）若点M2（5，m）与N2（2，0）的距离为6，求m的值； （3）若点M3（1，2），N3（4，﹣2），点O是坐标原点，试判断△M3ON3是什么三角形，并说明理由． 【分析】（1）根据题目中两点间的距离公式，可以求出M1，N1两点间的距离； （2）根据题目中的距离公式和点M2（5，m）与N2（2，0）的距离为6，可以列出相应的方程，然后求解即可； （3）先判断三角形的性质，然后根据两点间的距离公式和勾股定理的逆定理说明理由即可． 【解答】解：（1）∵点M1（2，4），N1（﹣3，﹣8）， ∴M1，N1两点间的距离为：13， 故答案为：13； （2）∵点M2（5，m）与N2（2，0）的距离为6， ∴6， 解得m＝±3， 即m的值是； （3）△M3ON3是直角三角形， ∵点M3（1，2），N3（4，﹣2），点O是坐标原点， ∴M3N35， OM3， ON32， ∵OM32+ON32＝（）2+（2）2＝52＝M3N32， ∴△M3ON3是直角三角形． 【点评】本题考查勾股定理、两点间的距离公式、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，求出相应的距离，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 4．（2024春•交城县期中）先阅读下面的一段文字，再解答问题． 已知：在平面直角坐标系中，任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），其两点之间的距离公式为MN．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知点A（1，5），B（﹣3，6），试求A，B两点之间的距离； （2）已知点A，B在垂直于y轴的直线上，点A的坐标为（﹣5，），AB＝8，试确定点B的坐标； （3）已知点A（0，6），B（﹣3，2），C（3，2），请判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据题目中两点间的距离公式，可以求得A，B两点之间的距离； （2）根据题意，可以设出点B的坐标，再根据AB＝8，即可得到点B的坐标； （3）先判断△ABC的形状，再根据点A（0，6），B（﹣3，2），C（3，2），分别求出AB、BC、AC的长度，即可说明理由． 【解答】解：（1）∵A（1，5），B（﹣3，6）， ∴AB； （2）∵A，B在垂直于y轴的直线上， ∴点A与点B的纵坐标相等， 设B（x，）， ∵AB＝8， ∴|x﹣（﹣5）|＝8， 解得x＝3或x＝﹣13， ∴B（3，）或（﹣13，）； （3）△ABC的形状为等腰三角形， 理由：∵A（0，6），B（﹣3，2），C（3，2）， ∴AB5， AC5， BC＝|3﹣（﹣3）|＝6， ∴AB＝AC＝5， ∴△ABC的形状为等腰三角形． 【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、两点间的距离公式，解答本题的关键是明确题意，会求两点间的距离． 5．如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC＝5km，B厂距离河边BD＝1km，经测量CD＝8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E． （1）设ED＝x，请用x的代数式表示AE+BE的长； （2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？ （3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为多少？ 【分析】（1）依据ED＝x，AC⊥CD、BD⊥CD，故根据勾股定理可用x表示出AE+BE的长； （2）根据两点之间线段最短可知连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．过点B作BF⊥AC于F，构造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的长； （3）根据AE+BE可作出图形，当A、E、B共线时，利用勾股定理求出AB的值即可． 【解答】解：（1）在Rt△ACE和Rt△BDE中，根据勾股定理可得AE，BE， ∴AE+BE， （2）根据两点之间线段最短可知，连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置． 过点B作BF⊥AC于F，则有BF＝CD＝8，BD＝CF＝1． ∴AF＝AC+CF＝6． 在Rt△ABF中，BA， ∴此时最少需要管道10km． （3）根据以上推理，可作出下图，设ED＝x，BD＝3，CD＝15，AC＝5，当A、E、B共线时，求出AB的值即为原式的最小值． 在Rt△ABF中，AF＝8，BF＝CD＝15， 由勾股定理可得：AB， ∴的最小值为17． 【点评】本题考查了最短路线问题，综合利用了勾股定理，及用数形结合的方法求代数式的值的方法，利用两点之间线段最短是解决问题的关键． 6．（2024春•越秀区校级期中）如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x． （1）用含x的代数式表示AC+CE的长为 ； （2）求AC+CE的最小值 　 ； （3）根据（2）中的规律和结论，请模仿图1在网格中（图2）构图并求代数式的最小值． 【分析】（1）由勾股定理即可求解； （2）过点A作AF⊥DE，垂足为点F，连接AE，则有AB＝DF＝2，BD＝AF＝8，要使AC+EC的值最小，则需满足点A、C、E三点共线即可，即最小值为AE的长，然后问题可求解； （3）取P为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AP、EP．已知AB＝1，DE＝2，BD＝3，然后同理（2）可进行求解． 【解答】解：（1）∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴△ABC和△CDE是直角三角形， ∵AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x， ∴BC＝8﹣x， 在Rt△ABC中，， 在Rt△CDE中，， ∴， 故答案为：； （2）过点A作AF⊥DE，垂足为点F，连接AE，如图所示： ∵AF⊥DE，AB⊥BD，ED⊥BD， ∴四边形ABDF是矩形， ∴AB＝DF＝2，BD＝AF＝8， ∴EF＝3， ∵， ∴要使AC+EC的值最小，则需满足点A、C、E三点共线即可，即最小值为AE的长， ∴AC+CE的最小值； （3）取P为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AP、EP．已知AB＝1，DE＝2，BD＝3，如图所示： 设BP＝x，则根据勾股定理可得：， ∴， 同理（2）可知的最小值即为点A与点E之间的距离， ∴的最小值为． 【点评】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【题型4 建模思想在勾股定理中的应用】 1．（2024春•昆玉市期末）如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？ 【分析】本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m，也就是两树树梢之间的距离是13m，两再利用时间关系式求解． 【解答】解：如图所示： 根据题意，得 AC＝AD﹣BE＝13﹣8＝5m，BC＝12m． 根据勾股定理，得 AB13m． 则小鸟所用的时间是13÷2＝6.5（s）． 答：这只小鸟至少6.5秒才可能到达小树和伙伴在一起． 【点评】此题主要考查勾股定理的运用．关键是构造直角三角形，同时注意：时间＝路程÷速度． 2．如图所示的是一个拉箱的示意图，箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为6cm．当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处．请求点C离地面的距离（假设点C的位置保持不变） 【分析】过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，根据勾股定理即可得到方程652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，求得A'F的长，即可利用勾股定理得到CF的长，进而得出CE的长． 【解答】解：如图所示，过点C作CE⊥DN于点E，延长AA′交CE于F，则∠AFC＝90°． 设A′F＝xcm，则AF＝（55+x）cm， 由题可得，AC＝AB+BC＝65+35＝100（cm），A′C＝65cm． ∵Rt△A′CF中，CF2＝652﹣x2， Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）2， ∴652﹣x2＝1002﹣（55+x）2， 解得x＝25， ∴A'F＝25（cm）， ∴CF60（cm）． 又∵EF＝AD＝3cm， ∴CE＝60+3＝63（cm）， ∴点C离地面的距离为63cm． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 3．（2024秋•蒲江县校级期中）一架梯子AB长2.5m，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙0.7m． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了0.4m．那么梯子底部在水平方向滑动了0.4m吗？为什么？ 【分析】（1）直接根据勾股定理求出AC的长即可； （2）先求出A′C的长，再由勾股定理求出CB′的长，进而得出BB′的长即可． 【解答】解：（1）∵AB＝2.5m，BC＝0.7m， ∴AC2.4（m）． 答：这个梯子的顶端距地面有2.4m； （2）梯子底部在水平方向滑动了0.8m，理由如下： 在Rt△A′CB′中，A′C＝AC﹣0.4＝24﹣0.4＝2（米），A′B′＝2.5米， ∴CB′1.5（m）， ∴BB′＝CB′﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8（m）． 答：梯子底部在水平方向滑动了0.8m． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，求出AC的长是解题的关键． 4．（2024秋•郑州期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论 【解答】解：（1）在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400， 所以，CD＝20（负值舍去）， 所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米）， 答：风筝的高度CE为21.6米； （2）由题意得，CM＝12， ∴DM＝8， ∴BM（米）， ∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米）， ∴他应该往回收线8米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 5．（2024春•合江县期末）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，AB＝AD＝13m，BC＝8m，CD＝6m，且BD＝10m．该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植1m2花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【分析】过A作AE⊥BD于点E，三线合一求出AE的长，勾股定理逆定理，得到△BCD是直角三角形，利用等腰三角形的面积减去直角三角形的面积求出阴影部分的面积，再乘以单价即可． 【解答】解：如图，过A作AE⊥BD于点E， ∵AB＝AD＝13m，BD＝10m， ∴， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：， ∵BC＝8m，CD＝6m，BD＝10m，82+62＝102， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°， ∴， ∴100×36＝3600（元）． 答：此块空地全部种植花卉共需花费3600元． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 6．（2024秋•南岸区校级期中）如图1，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高为4米，宽为2.8米， （1）请问这辆送家具的卡车能通过这个通道吗？为什么？ （2）如图2，若通道正中间有一个0.4米宽的隔离带，问一辆宽1.4米高3.9米的车能通过这个通道吗？为什么？ 【分析】（1）作弦EF∥AD，OH⊥EF于H，连接OF，在直角△OFH中，根据三角函数就可以求出OH，求出隧道的高．就可以判断； （2）同理求得HF和HM，然后求得MF后与1.4米比较即可． 【解答】解：（1）如图，设半圆O的半径为R，则R＝2， 作弦EF∥AD，且EF＝2.8，OH⊥EF于H， 连接OF，（2分） 由OH⊥EF，得HF＝1.4，（3分） 又OH1.4， ∴此时隧道的高AB+OH＞2.6+1.4＝4（米）， ∴这辆卡车能通过此隧道； （2）当车高3.9米时，OH＝3.9﹣2.6＝1.3米， 此时HF米， ∵通道正中间有一个0.4米宽的隔离带， ∴HM＝0.2米， ∴MF＝HF﹣HM＜1.4米， ∴不能通过． 【点评】考查了勾股定理的应用，把本题转化为直角三角形的问题是解决本题的关键． 7．（2024春•汉南区校级月考）如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB＝90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可； （2）利用三角形面积得出CE的长，进而得出海港C是否受台风影响；利用勾股定理得出CD以及CF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝300km，BC＝400km， ∴AB500（km）， 答：监测点A与监测点B之间的距离为500km； （2）海港C受台风影响， 理由：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴S△ABCAC•BCCE•AB， ∴300×400＝500CE， ∴CE＝240（km）， ∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域， ∴海港C会受到此次台风的影响． 以C为圆心，260km长为半径画弧，交AB于D，F， 则CD＝CF＝260km时，正好影响C港口， 在Rt△CDE中， ∵ED100（km）， ∴DF＝200km， ∵台风的速度为25千米/小时， ∴200÷25＝8（小时）． 答：海港C会受到此次台风的影响，台风影响该海港8小时． 【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 【题型5 分类讨论思想在勾股定理中的应用】 1．已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为（　　） A．5 B．7 C．12 D．12或7 【分析】先设Rt△ABC的第三边长为x，再分4是斜边或x为斜边两种情况讨论即可． 【解答】解：设Rt△ABC的第三边长为x，分两种情况： ①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边， 由勾股定理得：x5， 此时这个三角形的周长＝3+4+5＝12； ②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边， 由勾股定理得：x， 此时这个三角形的周长＝3+47； 综上所述：此三角形的周长为12或7， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理、分类讨论等知识；解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 2．（2024秋•肃州区期末）已知直角三角形两边的长分别为3cm，4cm，则以第三边为边长的正方形的面积为　 　． 【分析】分两种情况考虑：当4cm为直角三角形的斜边时，利用勾股定理求出第三边的平方，即为以第三边为边长的正方形的面积；当第三边为直角三角形的斜边时，利用勾股定理求出第三边的平方，即为以第三边为边长的正方形的面积． 【解答】解：若4cm为直角三角形的斜边，此时以第三边为边长的正方形的面积为42﹣32＝16﹣9＝7cm2； 若x为直角三角形的斜边，根据勾股定理得：x2＝32+42＝9+16＝25， 此时以斜边为边长的正方形的面积为x＝25， 综上，以第三边为边长的正方形的面积为7cm2或25cm2． 故答案为：7cm2或25cm2． 【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，以及正方形的面积，利用了分类讨论的思想，分类讨论时注意考虑问题要全面，做到不重不漏． 3．（2024春•南岗区校级月考）已知等腰三角形的两边长为10和12，则等腰三角形的面积为 　 　． 【分析】分10为腰长和12为腰长两种情况，进行讨论求解即可． 【解答】解：当等腰三角形的腰长为10时：如图，过A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝DC＝6， 由勾股定理得：， ∴△ABC的面积是． 当等腰三角形的腰长为12时，则：BD＝CD＝5， ∴， ∴△ABC的面积是； 故答案为：48或． 【点评】本题考查等腰三角形的定义，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的定义，勾股定理是解题的关键． 4．（2024•扶沟县一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，∠B＝30°，点P在△ABC的内部，，D是AB的中点，连接PA，PD，当△PAD为等腰三角形时，PA的长为 　 　． 【分析】分PA＝AD和PA＝PD两种情况，由直角三角形的性质及勾股定理可求出答案． 【解答】解：∵点P在△ABC的内部， ∴PD＝AD不符合题意， 分PA＝AD和PA＝PD两种情况， ①若PA＝AD，如图， ∵∠ACB＝90°，AC＝4，∠B＝30°， ∴AB＝2AC＝8， ∵D是AB的中点， ∴CD＝ADAB＝4， ∴PA＝4； ②若PA＝PD，如图， ∵∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°， 由①知CA＝CD， ∴△ACD为等边三角形， 连接CP，并延长交AB于点E， ∴CE⊥AB， ∵AC＝4， ∴AEAC＝2， ∴CE2， ∵CP， ∴PE＝CE﹣CP， ∴PA． 综上所述，PA的长为4或． 故答案为：4或． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5．（2024秋•威海期末）如图所示，已知OA＝10，P是射线ON上一动点，∠O＝60°． （1）当△AOP是等边三角形时，求OP的长； （2）当△AOP是直角三角形时，求OP的长． 【分析】（1）根据等边三角形的性质即可求解； （2）分两种情况讨论：①若∠OAP＝90°，则∠APO＝30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求OP；②若∠APO＝90°，则∠OAP＝30°，从而可求OP． 【解答】解：（1）当△AOP为等边三角形时，OP＝OA＝10． （2）当△AOP是直角三角形时，分两种情况讨论： ①若∠OAP＝90°，则∠APO＝90°﹣∠O＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴OP＝2OA＝20； ②若∠APO＝90°，则∠OAP＝90°﹣∠O＝30°， ∴． 综上所述，OP的长为5或20． 【点评】本题考查等边三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟练运用相关知识是解题的关键． 6．（2024春•献县月考）已知：AD是△ABC边BC上的高，∠ACD＝45°，AB＝13，AD＝5． （1）若D在线段BC上，求线段BC的长； （2）若D在直线BC上，求△ABC的面积． 【分析】（1）根据题意作出相应图形，然后利用勾股定理求解即可； （2）分两种情况分析：在（1）中情况下；然后再作出另外一种情形图形求解即可． 【解答】解：（1）由题意画图可知， ∵AD是△ABC边BC上的高， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵∠ACD＝45°，AD＝5， ∴AD＝DC＝5． 在Rt△ADB中，AB＝13，AD＝5， ∴， ∴BC＝BD+CD＝12+5＝17； （2）在（1）的情形下， ∵BC＝17，AD＝5， ∴； 另一种情形如下图， ∵∠ADB＝90°，∠ACD＝45°， ∴∠ACD＝∠CAD＝45°， ∴AD＝CD＝5， 在Rt△ADB中，根据勾股定理可得 ， ∴BC＝BD﹣CD＝12﹣5＝7， ∴． ∴△ABC的面积是或． 【点评】本题主要考查勾股定理解三角形及三角形等面积法，理解题意，作出相应图形，然后分情况求解是解题的关键． 7．（2024秋•东莞市期末）如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，若AB＝16 厘米，AC＝12 厘米，BC＝20厘米．点P从点A开始，以2厘米/秒的速度沿A→B→C的方向移动，终点为C；点Q从点C开始，以1厘米/秒的速度沿C→A→B的方向移动，终点为B．如果P，Q同时出发，用t秒表示移动时间． （1）分别求出P，Q到达终点时所需时间； （2）若点P在线段AB上运动，点Q在线段CA上运动，试求出当t为何值时，QA＝AP？ （3）当t为何值时，S三角形QBCS三角形ABC？ 【分析】（1）构建路程、速度、时间之间的关系即可解决问题； （2）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，由AQ＝AP，可得方程12﹣t＝2t，解方程即可． （3）分两种情况：当Q在线段CA上时，当Q在AB上时，根据三角形QBC的面积等于三角形ABC面积的，列出方程即可解决问题． 【解答】解：（1）点P到达终点时所需时间为：（16+20）÷2＝18（s）． 点Q到达终点时所需时间为：（12+16）÷1＝28（s）． （2）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时， CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t， ∵AQ＝AP， ∴12﹣t＝2t， ∴t＝4． ∴t＝4时，AQ＝AP； （3）当Q在CA上时，CQ＝t， ∵三角形QBC的面积等于三角形ABC面积的， ∴S△QBCS△ABC，即t×1616×12， 解得：t＝6； 当Q在AB上时，BQ＝12+16﹣t＝28﹣t， ∴S△QBCS△ABC，即（28﹣t）×1212×16， 解得：t＝20． ∴t＝6或20时，三角形QBC的面积等于三角形ABC面积的． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，学会于分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 8．（2023春•红谷滩区校级月考）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP． （1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）； （2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值； 【分析】（1）根据条件求出PC＝16﹣2t，在Rt△APC中，用勾股定理即可求出； （2）分三种情况讨论：当AB＝AP时；当AB＝BP时；当PB＝AP时；分别求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：BP＝2t， ∴PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10， ∵AC＝8， 在Rt△APC中，， ∴AP的长度为； （2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16， ∴， 若AB＝AP，如图， 则BP＝2BC＝32，即2t＝32， 解得：t＝16； 若AP＝BP，如图， 则在Rt△ACP中，（2t）2＝（16﹣2t）2+82， 解得：t＝5； 若AB＝BP，如图， 则，解得： ∴当△ABP为等腰三角形时，t的值为或5或16； 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． 1．直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（　　） A．13 B． C．13或 D．13或12 【分析】只给出了两条边而没有指明是直角边还是斜边，所以应该分两种情况进行分析．一种是两边均为直角边；另一种是较长的边是斜边，根据勾股定理可得出结论． 【解答】解：当12是直角边时，斜边长13； 当12是斜边时，斜边长＝12． 故它的斜边长为13或12． 故选：D． 【点评】此题考查勾股定理，此类题在没有明确直角边或斜边的时候，一定要注意分情况考虑，熟练运用勾股定理进行计算． 2．在△ABC中，AB＝2，，∠C＝30°，则线段BC的长为（　　） A．4 B． C．4或 D．2或4 【分析】分两种情况讨论：①∠B为锐角时，过点A作AD⊥BC，分别在Rt△ACD和Rt△ABD中求出CD，BD从而可求出BC；②∠B为钝角时，同样的方法可求出BC． 【解答】解：分两种情况讨论： ①∠B为锐角时，如图， 过点A作AD⊥BC， 在Rt△ACD中， ∵AC，∠C＝30°， ∴AD， ∴CD3， Rt△ABD中， ∵AB＝2，AD， ∴BD1， ∴BC+BD+CD＝1+3＝4； ②∠B为钝角时，如图， 过点D作AD⊥BC交CB的延长线于点D， 同①可求得：CD＝3，BD＝1， ∴BC＝CD﹣BD＝3﹣1＝2， 综上，BC的长为2或4． 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理，含30°角直角三角形的性质，需要注意的是：已知SSA一般解题时需要分情况求解． 3．（2024•宣城模拟）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（　　）米． A．0.9 B．1.3 C．1.5 D．1.6 【分析】过点D作DE⊥AB于E，则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米，由勾股定理得出AE＝0.9（米），则BE＝AB﹣AE＝1.6（米），即可得出答案． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示： 则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米米， 在Rt△ADE中，AD＝1.5米米， 由勾股定理得：AE0.9（米）， ∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米）， ∴CD＝BE＝1.6米， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 4．△ABC中，AB＝20，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的面积为（　　） A．66 B．126 C．54或44 D．126或66 【分析】由勾股定理求出BD、CD的长，再分两种情况分别计算即可． 【解答】解：如图1，∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AB＝20，AD＝12， ∴BD16， 又∵AC＝13， ∴CD5， ∴BC＝BD+CD＝21， ∴△ABC的面积21×12＝126； 如图2，BC＝BD﹣CD＝11， ∴△ABC的面积11×12＝66； 综上所述，△ABC的面积为126或66， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键，注意分类讨论． 5．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是 　 　尺． 【分析】根据题意，运用勾股定理，列方程解答即可． 【解答】解：若设湖水的深度x尺．则荷花的长是（x+0.5）米．在直角三角形中，根据勾股定理， 得：（x+0.5）2＝x2+22， 解之得：x＝3.75， ∴湖水的深度为3.75尺． 故答案为：3.75． 【点评】考查了勾股定理的应用，能够从实际问题中抽象出数学模型是解决此题的关键．熟练运用勾股定理列方程求解． 6．如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，已知点D的坐标是（0，﹣4），AB的长是14，则△ABD的面积为 　 　． 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得，DE＝OD＝4，即可求解． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如下图： 由题意可得：OD＝4， ∵AD平分∠OAB，∠DOA＝∠DEA＝90°， ∴DE＝OD＝4，． 故答案为：28． 【点评】此题考查了角平分线的性质，图形与坐标，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，作出辅助线． 7．（2024春•上杭县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，若△ADB为等腰三角形，则运动时间为 　 　． 【分析】先根据勾股定理求出AB，再分三种情况讨论求解． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝10， ∵当AD＝AB时，BD＝16，△ADB为等腰三角形， 当BD＝AB＝10时，△ADB为等腰三角形， 当AD＝BD时，CD＝8﹣BD＝8﹣AD， ∵∠ACB＝90°， ∴AD2＝AC2+CD2，即AD2＝62+（8﹣AD）2， 解得：AD＝6.25， 故答案为：6.25或16或10． 【点评】本题考查了勾股定理，分类讨论思想是解题的关键． 8．（2024春•南京期末）如图，在线段AB上取一点C，分别以AC、BC为直角边作等腰直角三角形ACD、等腰直角三角形CBE．若这两个等腰直角三角形的面积和为11，△CDB的面积为3.5，则AB的长为 　　 ． 【分析】由等腰直角三角形ACD、等腰直角三角形CBE的面积和为11，△CDB的面积为3.5，设AC＝CD＝x，CE＝CB＝y，得x2+y2＝11×2，xy＝3.5×2＝7，得AB2＝（x+y）2＝x2+y2+2xy＝36，即可得AB＝6． 【解答】解：由等腰直角三角形ACD、等腰直角三角形CBE的面积和为11，△CDB的面积为3.5， 设AC＝CD＝x，CE＝CB＝y， 得x2+y2＝11×2，xy＝3.5×2＝7， 得AB2＝（x+y）2＝x2+y2+2xy＝36， 得AB＝6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了勾股定理，解题关键是正确用字母表示． 9．（2024春•海淀区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为　 　． 【分析】分两种情况：（1）点Q在线段BC的延长线上；（2）点Q在线段CB的延长线上，分别用勾股定理求得QC的长，情况（1）中BQ＝QC+BC，情况（2）中BQ＝QC﹣BC． 【解答】解：分两种情况： （1）点Q在线段BC的延长线上，如图： ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACQ＝180°﹣90°＝90°， ∵AC＝1，AQ＝2， ∴QC， ∵BC＝1， ∴BQ＝QC+BC1； （2）点Q在线段CB的延长线上，如图： ∵∠ACB＝90°，AC＝1，AQ＝2， ∴QC， ∵BC＝1， ∴BQ＝QC﹣BC1． 综上，线段BQ的长为1或1． 故答案为：1或1． 【点评】本题考查了勾股定理在等腰直角三角形及一般的直角三角形的边长计算中的应用，数形结合并分类讨论是解题的关键． 10．如图，一只蚂蚁沿着棱长为2的正方体表面从顶点A出发，经过3个面爬到顶点B，如果它运动的路径是最短的，则最短路径为 　 　． 【分析】将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长． 【解答】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短， AB2， 故答案为：2． 【点评】此题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理，熟练求出AB的长是解本题的关键． 11．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是边BC上的任意一点，以AD为折痕翻折△ABD，使点B落在点E处，连接EC，当△DEC为直角三角形时，BD的长为 　 　． 【分析】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，根据勾股定理求得AB5，根据翻折的性质得AE＝AB＝5，DE＝BD，∠AED＝∠B＝90°．①如图1，当∠DEC＝90°时，推出点E在线段AC上，设BD＝DE＝x，则CD＝4﹣x，根据勾股定理即可得到结果；②如图2，当∠EDC＝90°，于是得到∠BDE＝90°，求得∠BDA＝∠ADE＝45°，于是得到△ABD是等腰直角三角形于是得到结果． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵△AED是△ABD以AD为折痕翻折得到的， ∴AE＝AB＝3，DE＝BD，∠AED＝∠B＝90°． 当△DEC为直角三角形， ①如图1，当∠DEC＝90°时， ∵∠AED+∠DEC＝180°， ∴点E在线段AC上， 设BD＝DE＝x，则CD＝4﹣x， ∴CE＝AB﹣AE＝2， ∴DE2+CE2＝CD2， 即x2+22＝（4﹣x）2， 解得：x． ②如图2，当∠EDC＝90°时， ∴∠BDE＝90°， ∵∠BDA＝∠ADE， ∴∠BDA＝∠ADE＝45°， ∴∠BAD＝45°， ∴AB＝BD＝3． 综上所述：当△DEC为直角三角形时，BD的长为或3． 故答案为：或3． 【点评】本题考查了翻折变换—折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论思想的应用是解题的关键． 12．（2024春•开州区期中）如图，开州大道上A，B两点相距14km，C，D为两商场，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA＝8km，CB＝6km．现在要在公路AB上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等． （1）求E站应建在离A点多少km处？ （2）若某人从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？ 【分析】（1）设AE＝x km，则BE＝（14﹣x）km，在Rt△ADE和Rt△BCE中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由勾股定理求出DE的长，即可解决问题． 【解答】解：（1）设AE＝x km，则BE＝（14﹣x）km， 在Rt△ADE和Rt△BCE中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2，CE2＝BC2+BE2， ∵C，D两商场到E站的距离相等， ∴DE＝CE， ∴DE2＝CE2， ∴AD2+AE2＝BC2+BE2， 即82+x2＝62+（14﹣x）2， 解得：x＝6， 答：E点应建在离A点6km处； （2）由（1）可知，AE＝6km， ∴DE10（km）， ∴10÷5＝2（h）， 答：若某人从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E，需要2小时． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出AE的长是解题的关键． 13．（2024春•顺德区校级月考）如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，且AB＝AC，由于某种原因，从取水点C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（点A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3km，CH＝2.4km，BH＝1.8km． （1）CH是否是村庄C到河边最近的路？请说明理由； （2）求原来的路线AC的长． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明∠CHB＝90°，根据垂线段最短，即可得出结论； （2）先求出∠CHA＝90°，再利用勾股定理列出方程，解方程即可求出AC的长度． 【解答】解：（1）CH是村庄C到河边最近的路；理由如下： ∵CH2+BH2＝2.42+1.82＝9，BC2＝32＝9， ∴CH2+BH2＝BC2， ∴△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°， ∴CH⊥AB， ∵垂线段最短， ∴CH是村庄C到河边最近的路； （2）∵∠CHB＝90°， ∴∠CHA＝90°， ∴AC2＝AH2+CH2， ∵AB＝AC， ∴AH＝AB﹣HB＝AC﹣1.8， ∴AC2＝（AC﹣1.8）2+2.42， 解得：AC＝2.5， 答：原来的路线AC的长为2.5km． 【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解决问题的关键． 14．（2024春•长乐区期中）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小迪同学将绳子拉直，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米． （1）求旗杆AB的高度； （2）小迪在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂（拉绳处E与脚底F的连线与地面垂直），后退至将绳子刚好拉直为止，测得小迪手臂伸直后离地的高度EF为2米，问小迪需要后退几米？ 【分析】（1）设旗杆AB的高度为xm，则绳子长度为（x+1）m，利用勾股定理得到x2+52＝（x+1）2，解方程即可得到答案； （2）如图所示，过点E作EG⊥AB于G，则四边形BGEF为矩形，则BG＝EF＝2m，EG＝BF，AG＝AB﹣BG＝10m，利用勾股定理求出GE的长进而求出CF的长即可得到答案． 【解答】解：（1）设旗杆AB的高度为xm，则绳子长度为（x+1）m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2， ∴x2+52＝（x+1）2， 解得x＝12， ∴旗杆AB的高度为12m； （2）如图所示，过点E作EG⊥AB于G，则四边形BGEF为矩形， ∴BG＝EF＝2m，EG＝BF， ∴AG＝AB﹣BG＝10m， 在Rt△AGE中，由勾股定理得， ∴， ∴需要后退． 【点评】本题主要考查了勾股定理得实际应用，矩形的性质与判定，熟知勾股定理是解题的关键． 15．已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm． （1）求证：CD⊥AB； （2）求该三角形的腰的长度． 【分析】（1）依据勾股定理的逆定理，即可得到∠BDC＝90°，即可得到CD⊥AB； （2）设腰长为x，则AD＝x﹣12，由（1）可知AD2+CD2＝AC2，解方程（x﹣12）2+162＝x2，即可得到腰长． 【解答】解：（1）∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm， ∴满足BD2+CD2＝BC2， ∴根据勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°， 即CD⊥AB； （2）设腰长为x，则AD＝x﹣12， 由（1）可知∠ADC＝90°，由勾股定理可知，AD2+CD2＝AC2， 即：（x﹣12）2+162＝x2， 解得x， ∴腰长为cm． 【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 16．（2024春•山亭区校级月考）如图所示在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，动点P从点A出发沿射线AC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t s，连接BP，当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出AP的长度，继而可求得t值． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm， ∴， 依题意，AP＝t cm， ①当AB＝BP时， ∵∠ACB＝90°， ∴AC＝PC＝3cm， ∴， ②当AB＝AP时，AP＝5cm， ∴t＝5； ③当BP＝AP时，如图所示， ∴PC＝t﹣AC＝（t﹣3）cm， 在Rt△PBC中，PB2＝BC2+PC2＝42+（t﹣3）2， ∴42+（t﹣3）2＝t2， 解得：， 综上所述，t＝6或5或． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 17．（2023春•市中区期中）如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，BD⊥AC． （1）求出AC的长和BD的长． （2）点P从点C出发，以每秒1cm的速度沿C→A→B运动，运动到点B时停止，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PBC的面积为36cm2？ 【分析】（1）根据三角形面积公式解答； （2）分两种情况利用面积公式解答即可． 【解答】解：（1）因为∠ABC＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm， 所以AC2＝162+122＝400， 所以AC＝20cm． 因为， 所以． （cm）， （2）当点P在线段CA上时，， 所以， 此时t＝7.5； 当点P在线段AB上时，， 所以BP＝6， 此时t＝30， 所以当t为或30时，△PBC的面积为36cm2． 【点评】此题考查勾股定理，关键是根据三角形的面积公式解答． 18．（2024春•潮南区期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，动点P从点B出发沿射线BC以每秒1个单位长度的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）BC＝　 　，AB边上的高h＝　 　； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值． 【分析】（1）由勾股定理可得BC＝4，再利用面积法即可求得AB边上的高h； （2）由于∠B为锐角，分两种情况讨论，由勾股定理可求解． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3， ∴BC4， ∵S△ABCAB•hAC•BC， ∴h， 故答案为：4，； （2）由题意得：BP＝t， 在Rt△ABP中，∠B为锐角， 当∠APB＝90°时，BP＝BC， ∴t＝4； 当∠BAP＝90°时，如图， 则CP＝t﹣4， 在Rt△APC中，AP2＝AC2+CP2＝32+（t﹣4）2， 在Rt△APC中，AP2+AB2＝BP2， ∴32+（t﹣4）2+52＝t2， 解得：t； 综上所述，t的值为4或． 【点评】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$