专题二 勾股定理中的思想方法-【魔力暑假A计划】2024-2025学年八年级下册数学暑假作业（人教版）

专题 。 勾股定理中的思想方法 类型1 分类讨论思想 类型2 数形结合思想 1.(乌鲁本齐期末)在△ABC中,AB=15,AC 5.如图,一副三角板的直角边靠 C ) -13,高AD-12,则BC等于 在一起,直角顶点重合,现将等 A.14 B.4 腰直角三角形DBE沿BC方向 C.14或4 D.9或5 平移一段距离,使顶点E恰好 落在ABC的AC边上,若BE 2.若一个等腰三角形的腰长为10,且一腰上的 第5题图 -9cm,AB=15cm,则平移的距离为 高为6,则这个等腰三角形的底边长为 ~ ( A.2/3cm ) B.33cm A.2/10 B.4/5 C.5/3cm D.9 cm C.210或6/10 D.4v5或610 6.如下图,O为数轴原点,A,B两点表示的数 3.(重庆忠县期末)已知直角三角形的两边长 分别为一3,3,作腰长为4的等腰三角形 分别为6,8,则该直角三角形的周长为 ABC,连接OC.以点O为圆心、OC的长为半 数游·<世墩 ( __ 径画弥,交数轴正半轴于点M.求点M表示 A.14 B.24 的数, C.14+2/7 D.24或14+2/7 4.定义:如果三角形有一边上的中线恰好等于 这边的长,那么我们称这个三角形是“和谐 三角形”. B 图① 图② (1)如图①,在△ABC中,AB=AC=2/5 BC三4.求证:八ABC是“和谐三角形”; (2)如图②,在Rt△ABC中,C-90*,AC 一4/③,若ABC是“和谐三角形”,求BC 的长. 40 7.如右图,某人到岛上去探宝; ) 10.(高安期中)仔细观察下图,认真分析各式. 从A处登陆后先往东走 并解答问题: 4km,又往北走1.5km,遇 (I)OA-1,OA=v1+1-v②,OA- 到障碍后又往西走2km,再 ②+1=③,0A=③+1=4.. 往北走到4.5km处往东拐,A- 仅走0.5km就找到了宝藏.登陆点A与宝 藏埋藏点B之间的距离是多少千米? (1)按以上规律,推算出OA。三 (2)按以上规律,用含n(n是正整数)的代 数式表示OA,S: (3)若其中一个三角形的面积是/5,则它是 第几个三角形? RJ·11- 斑 类型3 转化思想 8.如图,在ABC中,CE 平分ACB,CF平分 ACD,且EF//BC交 AC于点M.若CM-5.B 则CE+CF*的值为 第8题图 C ) A.75 B. 100 C.120 D.125 9.如下图所示的是一个高为4cm、底面直径为 6cm的圆锥,现有一只蚂蚁在圆锥的顶部A 处,想吃到圆锥底部B处的食物,需爬行的 最短路程是多少? 41 类型4 方程思想 13.已知,如下图,在Rt^ABC中,B=90{; AB=6,BC=4.以斜边 AC为底边作等腰 11.如下图,在\ABC中,AB=10,AC=8,BC 三角形ACD,腰AD刚好满足AD/BC,并 =6,AB的垂直平分线分别交AC,AB于 作腰上的高AE. 点D.E.连接BD求CD的长 (1)求证:AB-AE: (2)求等腰三角形的腰长CD ### 数·二世斑 12.(安阳期末)明朝数学家程大位在他的著作 类型5 《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度 整体思想 的词《西江月》,“平地秋千未起,踏板一尺 14.已知《,,c分别是RABC的两条直角边 离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地 和斜边,且a十b=14,c=10.求△ABC的 ......”翻译成现代文:如下图,秋千OA静止 面积. 的时候,踏板离地高一尺(AC一1尺),将它 往前推进两步(1步一5尺,EB一10尺),此 时踏板升高离地五尺(BD一5尺).求秋千 绳索(OA或OB)的长度. 42=2√10×(-6) BC=√BD-CD=√(4W3Y-(23 =-1210 ■6： (5)原式=[V2+(W3-1)][√2-(w3-1)门 ②当BC边上的中线AE=BC时， =(w2)2-(3-1)2 AC=AE-CE,即B-(号BC）= =2-(3-25+1) (45), =2-3+2W5-1 解得BC-8: =-2+23. ③：∠ACB=90°，AF=BF, 17.解：(10ah=(W5+2)(W5-2)=(W5)2-2=5-4=1. “CF=号AB,“此时△ABC不是“和腊三角形 (2)a=√5+2.b=5-2. 综上所述，BC:的长是6或8 .a+b=(w5+2)+(W5-2)=25. 5.A ∴.a°+-ab=a2+2ab+-3ab=(a+b)-3ab= 6.解：：△ABC为等腰三角形，OA=OB=3, (2√5)2-3×1=17 .OC⊥AB. 18.D19.C20.2 在R△OBC中，OC=√BC-OB=√-3=√7， 21.解=y=.r+y=返+8 .OM=OC=√7，.点M表示的数为√7. 2 2 7.解：登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是6.5km. 2 2 8.B 9.解：如图，设底面圆心为点O,连接OA,OB, a)原式-r+)=号×=号 AB,则∠AOB=90° (2原式=2(x十)-5y=2×3)-5×立■ 1 7 在Rt△AOB中，OA=4cm,OB= 2 ×6=3 (3原式=+y+2y=x+》-5)2=6. (cm). xy 由勾股定理，得AB=OA十OB=4+3=, ∴.AB=5cm 2解：(a+日)广-a++2=7ad+片-5 故需爬行的最短路程是5cm】 (a-）)=+-2=5-2=8. 10.解：(1)10 2)0A=瓜.8=9 85-5=5, 23.解：(1)x=2-3,y=2+√3. 2 ∴.x+y=(2-3)+(2+3)=4,y=(2-5)(2+3)= m=25=√20，∴.n=20. 4-3=1. 故它是第20个三角形. +y-3ry=x+y+2ry-5ry=(t+y)*-5xy= 11.解：在△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6, 4-5×1=11. ,AB形=AC+BC,.△ABC是直角三角形. (2)x=√2+1..x-1=√2， AB的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E, 则-2.x十2024=x-2x十1+2023=(x-1)2+2023= ..AD=DB. (2)+2023=2025. 设CD为x,则DB=AD=8-x 在Rt△CDB中，CD+BC=DB, 专题勾股定理中的思想方法 即2+6=(8-x), 1.C2.C3.D 解得=子，即CD=子 4.解：(1)证明：如图①，过点A作AD⊥BC 12.解：设OA=OB=x尺. 于点D. ,EC=BD=5尺，AC=1尺， AB=AC.AD L BC,BC=4..BD= .EA=EC-AC=5-1=4(尺)，OE=OA-AE=(x 号c-8. 4)尺. 在Rt△OEB中，根据勾股定理，得x2=(.x一4)2十10， 由勾股定理，得AD=√AB一BD 解得x=14.5. √(2W5)-2=4. 故秋千绳素的长度为14.5尺 ,AD=BC,即△ABC是“和谐三角形” 13.解：(1)证明：：DA=DC,.∠DAC∠DCA. (2)如图②，作△ABC的中线BD,AE,CF AD∥BC..∠DAC=∠BCA, ①当AC边上的中线BD=AC=4√3时， ,∠BCA=∠DCA 88 数学·八年级 又，AE⊥CD,,∠AEC=90°， 如图，过点B作BH⊥AG于点H,则 ∴.∠B=∠AEC=90 ∠ABH=30 ∠B=∠AEC, :AB=BB-AB=1,AH=Z.由 在△ABC和△AEC中， ∠BCA=∠DCA. AC=AC. ∴，△ABC≌△AEC(AAS),,AB=AE 勾股定理，得H=。 (2)由(1)，得AE=AB=6,CE=CB=4. Sm边书Ai=SAcm-SAr X23X2 设DC=x,则DA=x,DE=x-4. 由勾股定理，得DE+AE=DA2, =13 4· 即一4+6=产，解得=受，即CD-受 4.D5.72 14.解：△ABC的面积为24. 6.解：如图，连接BD,AC,AC交EF于 点G, 专题目特殊四边形中的折叠问题 :四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD,AC平分∠BAD. 1.② 2.解：(1)证明：由折叠的性质，得PB=PB,∠PB'C=∠B. ∠BAD=120°.∠BAC=60, 四边形ABCD是平行四边形，PB⊥AD, ∴∠AB0=90°-60°=30. ∴.∠B=∠D,∠PBA=90, ∴A0=号AB=号×2=1. .∠PBA=∠PB'C+∠CBD=∠D+∠CB'D=90', :菱形纸片ABCD沿EF折叠后点A与点O重合， .∠DCB=90. ∴EF⊥AC,EF平分AO,∴AE=EO (2),CD=3,BC=4..AD=B'C=BC=4. :∠BA0=60,AE=E0=A0=1.0G= ∴.DB=√CD+CBF=5,∴.AB=DB-AD=1. 设BP=x,则PB=r,PA=3-x. 根据勾股定理，得5G= 21 在R△AB'P中，PA=AB+PB, (3-0=+,解得x=亭 同理可得PG=号。 BP的长度为学 -号+- 3.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， 7.解：(1D四边形ABCD是菱形，∠A=45, AB∥CD,AB=CD ∴AD=CD,∠A=∠C=45°，∠ADC=135 :E为线段AB的三等分点（靠近点A),F为线段CD的三 由折叠的性质，得AE=DE=号AD,GELAD,∠A 等分点（靠近点C), AE=号AB.CP=cD, ∠GDA=46,DF=FC=CD,HF1CD.∠C=∠CDH =45°. .AE=CF,.四边形AECF为平行四边形. :∠EOF+∠OED+∠OFD+∠ADC=360°. ,"CE⊥AB, ∴.∠E0F=360°-90°-90-135=45. ,,四边形AECF为矩形 (2)四边形DGOH是菱形.理由如下： (2)AB=3, :∠ADC=135°，∠ADG=∠CDH=45,∴.∠GDH=45, ∴.AE=1,BE=2. 由折叠的性质，得∠B=∠B,BE=B'E=2, ∴.∠GDC=∠ADH=90,∴.DHLAD,GD⊥CD. ∴.GE∥DH.GD∥HF, ,∴.BB=2BE=4 .四边形DGOH是平行四边形. .DC=DG..∠DGC=∠DCG. ,AB∥CD, AE-DE-AD.DF-FC-CD.AD-CD. '.∠B=∠DG,∠BAG=∠D=∠B=∠B' .DE=DF.又∠EDG=∠FDH=A5,∠DEG=∠DFH 又：∠B'GA=∠DGC. ■90°， ∴∠BAG=∠B=∠BGA, ∴，△DEG≌△DFH(ASA),.DG=DH, ,.△BAG是等边三角形. .四边形DGOH是菱形. 又：AD∥BC, 8.70【解析】：∠C=∠C=90,∠CMF=∠BMD=50°， ,.∠DGC=∠GCB, ∴∠CFM=40.设∠BEF=a.则∠EFC=18O°-a,∠DFE ∴.∠B=∠B=∠GCB, =∠BEF=a,∠CFE=40+a.由折叠可知，∠EFC= ,△BBC是等边三角形， ∠CFE,∴.180°-a=40°+a,解得a=70°，∴∠BEF的度数 .BC=B'B=4. 为70°. .CE=√BC-BE=√4-2=25. 9.解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形， RJ版·参考答案 89