黄金卷03（重庆专用，2025新题型）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（重庆专用） 黄金卷03 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B D B A A A B B B 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11． 12． 13． 14． 15． 16． 三、解答题：（本大题8个小题，第17(1)题6分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．(1)解： 当，时，原式 (2)解： ， ∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴原式． 18．（1）解：八年级D组的人数为：(人)， ∴， ∴， ∵八年级抽取的学生的比赛成绩中，排在第五、六名的成绩为93、94， ∴， ∵七年级抽取的学生的比赛成绩中，97出现的次数最多， :∴， 故答案为：40，93.5，97； （2）解：八年级安全意识更强，理由如下： 从平均数看，两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均大于七年级，所以八年级学生安全意识更强； （3）解： (人)， 答：估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数一共是1300人． 19．（1）解：由四边形的内角和为， 故答案为：； （2）解：补全证明过程如下： ∴， ∵， ∴； （3）证明：∵， ∴ ∠D=90º， ∵，， ∴ ∠B=90º， ∴， ∵点到，的距离相等， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴， 由（）知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（1）解：设型每台元、型每台元，根据题意得， ；解得： 答：型每台元、型每台元 （2）解：设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑， 根据题意得：， ． 购买型电脑的实际总费用不少于元， ， 即，解得：， ． 答：该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值． 21．（1）解：在平行四边形中， ，． ∴，， ∵点为边的中点， ∴， 当时， 过E作于F， ∵， ∴， ∴； 当时， 过C作于G， ∴， ∴ 综上， （2）解：画图如下： 由图象知：当时，y随x的增大而减小； （3）解：当经过时，，解得， 当经过时，，解得， 当经过时，，解得， 画图分析 当时，一次函数与的图象有且仅有2个交点． 22．（1）解：如图，过点作的垂线，交点为， 由题意得：海里， 设，在中， ， ， ， 在中， ， ，即：， 解得：， 海里． （2）解：如图， 点D位于点C的正南方向， 三点共线， ， 由（1）得：， 点D位于点B的北偏东54°方向， ， 在中，， 即：， 解得：， ，， 轮船从到的时间为：小时， 2个小时后维修船向点D处行驶， 维修船时间为小时， 维修船路程为海里， ， 维修船能在轮船到达岛屿之前到达点D处． 23．（1）解：点在抛物线的对称轴上， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 是抛物线与y轴的交点， ， ； （2）解：存在最小值，理由如下： 由（1）可知，， 点D是抛物线上一点，坐标为， ， ， 作C点关于直线的对称点，连接交抛物线对称轴于点K，连接，    由对称性可知，， ， 当、K、D三点共线时，有最小值，即的值最小， 抛物线的对称轴为直线，与抛物线对称轴垂直， ， ，轴， ， ， ， 的最小值为， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， ． （3）∵， 如图，过作于，设，则， ∴，    ∵， ∴，， ∴ ， 而， 解得：， ∵在第一象限，则， ∴， ∴. 24．（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接，设与交于点，在上截取， 由（1）得：， 即：， 在和中， ， ， ， ， ， 设， ， ， ，是的中点， ，， ， ， 是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，证明如下： 如图，连接，设与交于点，过点作交的延长线于点，连接， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 即：， 在和中， ， ， ，， ，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 5 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（重庆专用） 黄金卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1．下面各数中，是无理数的为（   ） A．3.14 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，根据无限不循环小数是无理数即可判断求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是有限小数，不是无理数，该选项不合题意； 、是分数，不是无理数，该选项不合题意； 、0是整数，不是无理数，该选项不合题意； 、是无理数，该选项符合题意； 故选：． 2．下列图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合是解决此题的关键．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形解答即可．   【详解】解：A、图案不能找到一个点，使图形绕此点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； B、图案能找到一个点，使图形绕次点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； C、图案不能找到一个点，使图形绕次点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； D、图案不能找到一个点，使图形绕次点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 3．如图所示，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分，两点，则矩形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数k的几何意义．反比例函数k的几何意义：反比例函数上任意一点与两坐标轴围成的矩形面积．根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】解：∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴矩形的面积为． 故选：D． 4．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（　　） A． B．5 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角的和差计算，熟练掌握计算是解题的关键．根据题意，得，代入解答即可． 【详解】解：根据题意，得， ， 由代入得：． 故选：B． 5．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且，若的面积与的面积比为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质．解题关键掌握两个相似三角形的面积之比是边长之比的平方． 由，得，根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵ △ADE的面积与△ABC的面积比为， ∴， ∴， ∴ 故选：A. 6．如图，在△ABC中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则（   ）度．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 【详解】解：如图：    ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图：    同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故选：A． 7．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则（   ） A．4 B．14 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．先把化简，然后根据同类二次根式的定义列式求解即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故选：A． 8．如图，在扇形中，圆心角，分别以的中点E，F为圆心，的长为直径作半圆，两个半圆交于点C．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查求不规则图形的面积，连接，，易证四边形为菱形．将图中阴影部分的面积转化为扇形与扇形的面积之和，易得圆心角，半径，根据可求解即可 【详解】解：如图，连接，，可得 ∴四边形为菱形． ∴，， ， ． 故选：B． 9．如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边'与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（　　） A．9 B．10 C．8 D．12 【答案】B 【详解】连接，延长交于点，设，则，由勾股定理得，则得出答案． 【解答】解：连接，延长交于点， ∵与相切， ∴． 又矩形中，， ∴， ∴， ． ∵矩形绕点旋转所得矩形为， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴， 设， 则． ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 10．已知整式，其中n，，，，…，均为自然数，且，下列说法： ①当，时，则； ②若，则存在一个n使得满足条件的整式有6个； ③若时，则满足条件的所有整式有且仅有85个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整式中的探究规律，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． ①当，时，可得  ，，，，，即可求解； ②若，分类讨论：时；当时，当时，当时，当时，分别进行求解，即可判断； ③分类讨论：当时，当时，当时， 当时，当时，当时，同理可求． 【详解】解：①当，时， ，，…，为自然数，且， ，，，，， ， 故①错误． ②若， 当时， ， 有个； 当时， ， 可以取、、、，有个； 当时， ， 为，，，，，， 有个； 当时， ， 为，， ， 有个； 当时， ， 为， 有个； 存在一个（），使得满足条件的整式有且仅有6个； 故②正确． ③当时， 当时， 整式：， 有1个； 当时， 时， 整式：； 时， 整式：， 此时共有：个； 当时， 时， 整式：， 有个； 时， 整式为，可以取、，有个； 时， 整式为， 为， 有个； 此时共有：个； 当时， 时， 整式：， 有个； 时， 整式为，可以取、、，有个； 时， 整式为， 为，，， 有个； 时， 整式为， 为， 有个； 此时共有：个； 当时，由②得此时共有：个； 若， 当时， ， 有个； 当时， ， 可以取、、、，4，有5个； 当时， ， 为，，，，，，，，，， 有10个； 当时， ， 为，，，，， ， 有6个； 当时， ， 为，，，，， ∴有4个， 当时， ， 为， ∴有1个， 此时共有：个； 综上所述：共有个， 故③错误． 因此正确的结论是②，共1个． 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，原式利用算术平方根定义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．如图所示，在圆形转盘中，，拨动指针，指针指向区域a的概率为，在矩形转盘中，，，拨动指针，指针指向区域的概率为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用几何图形求概率；由圆得圆中区域的圆心角为，可求出，由矩形的性质及等边三角形的判定及性质得，可得，可求出，即可求解；理解利用区域对应的角度进行求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 圆中区域的圆心角为， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ； 故答案为：． 13．如图，△ABC是等边三角形，且，△ABC的面积，在上移动，连接AD，将线段AD绕点A顺时针方向旋转，得到线段AE，连接．则△BED的周长最小值是 ． 【答案】 【分析】证明，由全等三角形的性质得出，由旋转的性质得出，证明△ADE是等边三角形，则得出，当时，最小，即△BED的周长有最小值，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】解：∵ △ABC是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ △BED的周长， ∵将线段绕点A顺时针旋转， ∴， ∴ △ADE是等边三角形， ∴， 当时，最小，即△BED的周长有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的周长最小值是， 故答案为：． 14．若关于的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程的解，先解关于x的一元一次不等式组，再根据不等式组有解且至多有2个整数解得到a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解，求出所有满足条件的整数a的值，并求出它们的和即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ， ∵关于x的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解， ∴， ∴， 解，得， ∴， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴或或或1， ∵， ∴， ∴， ∴所有满足条件的整数a的值为：或或1， ∴所有满足条件的整数a之和为：， 故答案为：． 15．如图，，点在上，与相切于点，与的交点分别为．作，与交于点，作，垂足为，连接并延长，交于点，，则的长为 ，的长为 ． 【答案】 【分析】连接，根据含度角的直角三角形的性质得，然后根据证明，得到，，再由勾股定理求出的长，即可求出的长，过点作于点，证明求出，进而求出，从而得到，又证明求出，然后利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵ 与相切于点， ∴ ， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴ ， 过点作于点 ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，． 16．对于任意一个四位数，其各个数位上的数字各不相同，如果千位数字比十位数字大3，百位数字比个位数字大1，则称这个四位数字为“差3倍数”．若是一个“差3倍数”，的千位数字记为，百位数字记为，十位数字记为，个位数字记为，将的千位数字和百位数字交换，十位数字和个位数字交换，得，记，若为偶数，则的最大值为 ；若，且被3除余2，则满足条件的“差3倍数”的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，整式加减的应用，本题属于新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用“差3倍数”的定义表示出，由，结合为偶数，即可解答；同理表示出，且被3除余2，可得是3的倍数，根据“差3倍数”的定义结合数位上的数字的特征和整除的特性解答即可． 【详解】解：根据题意：， 则， ∴， ∵为偶数，且（为整数）， ∴为偶数， ∴为偶 数， ∴为， 当最大，则有最大值， 此时，，则，不符合题意； ，则，符合题意； ∴的最大值为； ∵被3除余2， ∴是3的倍数， ∵， ∴是3的倍数， ∵（为整数），， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴符合条件的代数式的值为：， 当时，，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，不符合题意，舍去； 或，即，此时，，则的值为，符合题意； ∴满足条件的“差3倍数”为； 故答案为：，． 三、解答题：（本大题8个小题，第17(1)题6分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．(1)先化简，再求值：，其中，； 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式，把所求式子化简．先展开，去括号合并同类项，化简后将、的值代入计算即可． 【详解】解： 当，时，原式 (2)先化简，再求值：，其中a是方程的根． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值及一元二次方程的根．熟练掌握分式运算法则是解题关键． 先运用分式的加减法乘除法将化简，再根据一元二次方程根的定义得到a的式子，整体代入即可求值． 【详解】解： ， ∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴原式． 18．为了了解同学们的安全意识，我区某中学开展了“安全知识竞赛”，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示，）进行整理、描述和分析，并将其共分成四组：（A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的比赛成绩是：84，85，86，87，88，92，95，97，97，99． 八年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：91，93，94． 七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 91 91 中位数 90 b 众数 c 100 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级安全意识更强？请说明理由； (3)该校七年级有1200名学生、八年级有1000名学生参加了此次“安全知识竞赛”，请估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数一共是多少？ 【答案】(1)40，93.5，97；(2)八年级安全意识更强，理由见解析；(3)1300人 【分析】题考查用样本估计总体、扇形统计图、中位数、众数的意义和计算方法，从统计图表中获取数量之间的关系是解决问题的关键． （1）先利用扇形统计图求出八年级D组的人数，进而求出a的值；再利用中位数和众数的定义，求出b、c的值； （2）根据中位数和众数进行分析即可； （3）用七、八年级的学生人数分别乘以比赛成绩不低于90分的学生人数的占比，即相加即可得出答案． 【详解】（1）解：八年级D组的人数为：(人)， ∴， ∴， ∵八年级抽取的学生的比赛成绩中，排在第五、六名的成绩为93、94， ∴， ∵七年级抽取的学生的比赛成绩中，97出现的次数最多， :∴， 故答案为：40，93.5，97； （2）解：八年级安全意识更强，理由如下： 从平均数看，两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均大于七年级，所以八年级学生安全意识更强； （3）解： (人)， 答：估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数一共是1300人． 19．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 关于“互补四边形”的研究报告 研究对象：互补四边形 研究方法：观察（测量，实验）一猜想一推理证明 教材知识：四边形的内角和为 ▲ ． 研究内容： 【一般概念】互补四边形是一种特殊的几何图形，有一组对角和为的四边形叫“互补四边形”． 【性质探究】如图1，在“互补四边形”中，，是四边形的一个外角．试判断与的数量关系，并说明理由． 猜想：． 证明：∵，， ， 任务： (1)材料“▲”处的内容为__________； (2)补全材料中“”处的证明过程； (3)如图，在“互补四边形”中，，，为延长线上的一点，且点到和的距离相等，连接，交的平分线于点．求证：． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)证明见解析． 【分析】（）根据四边形的内角和定理即可求解； （）由“互补四边形”的性质可得，再由，通过等角的补角相等即可求证； （）由，则，由“互补四边形”的性质可得，又点到，的距离相等，则平分，由平分和，得，最后由三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：由四边形的内角和为， 故答案为：； （2）解：补全证明过程如下： ∴， ∵， ∴； （3）证明：∵， ∴ ∠D=90º， ∵，， ∴ ∠B=90º， ∴ ， ∵点到，的距离相等， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴， 由（）知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．一家电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)已知购买2台型电脑和3台型电脑需要元，且购买3台型电脑和8台型电脑的费用刚好可以买20台型电脑．求型电脑和型电脑的售价． (2)这家电脑公司为提高型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买型电脑，拿出的旧电脑和购买的型电脑数量一共是台．若要使购买型电脑的数量是旧电脑数量的倍，且购买型电脑的实际总费用不少于元，则要在计划的基础上再多买台型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 【答案】(1)型每台元、型每台元；(2)该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设型每台元、型每台元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． （2）设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑，根据购买型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，可列出关于，的二元一次方程，变形后可得出，利用总价单价数量，结合购买型电脑的实际总费用不少于100000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最小值为4． 【详解】（1）解：设型每台元、型每台元，根据题意得， ；解得： 答：型每台元、型每台元 （2）解：设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑， 根据题意得：， ． 购买型电脑的实际总费用不少于元， ， 即，解得：， ． 答：该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值． 21．如图1，在平行四边形中，，，．点为边的中点，动点从点出发，沿折线方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点时停止运动，连接，．设点的运动时间为秒，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数与的图象有且仅有2个交点，请直接写出常数的取值范围． 【答案】(1) (2)画图见解析，当时，y随x的增大而减小（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查了求分段函数的解析式、根据解析式画函数的图象、一次函数的图象与性质、矩形的性质等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意，分和讨论，根据三角形面积公式得出y关于x的函数表达式即可； （2）根据（1）中函数表达式，取，，作出图象，写出该函数的一条性质即可； （3）分别求出经过，，时，b对应的值，然后画图分析即可求解． 【详解】（1）解：在平行四边形中， ，． ∴，， ∵点为边的中点， ∴， 当时， 过E作于F， ∵， ∴， ∴； 当时， 过C作于G， ∴， ∴ 综上， （2）解：画图如下： 由图象知：当时，y随x的增大而减小； （3）解：当经过时，，解得， 当经过时，，解得， 当经过时，，解得， 画图分析 当时，一次函数与的图象有且仅有2个交点． 22．已知轮船在点A处测得灯塔点C位于北偏东方向，若轮船以15海里/小时的速度向正东方向行驶2个小时到达点B处，此时测得灯塔在轮船的北偏东方向．（参考数据：，，，，，） (1)求轮船点B与灯塔点C的距离（结果精确到0.1m）； (2)轮船在点B处发生故障，向位于C点的维修船发出信号，双方约定在岛屿点D处维修，点D位于点B的北偏东54°方向，点D位于点C的正南方向．发出信号后轮船即刻调转航线以原速向点D处航行，若2个小时后维修船以30海里/小时的速度向点D处行驶，请问维修船能否在轮船到达岛屿之前到达点D处？ 【答案】(1)海里；(2)能； 【分析】（1）过点作的垂线，交点为，构造直角三角形，设，分别表示其他线段，然后在中，列式计算即可． （2）求出轮船从到的时间，和维修船到达点D处的时间，比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点作的垂线，交点为， 由题意得：海里， 设，在中， ， ， ， 在中， ， ，即：， 解得：， 海里． （2）解：如图， 点D位于点C的正南方向， 三点共线， ， 由（1）得：， 点D位于点B的北偏东54°方向， ， 在中，， 即：， 解得：， ，， 轮船从到的时间为：小时， 2个小时后维修船向点D处行驶， 维修船时间为小时， 维修船路程为海里， ， 维修船能在轮船到达岛屿之前到达点D处． 23．如图，已知抛物线．点在抛物线的对称轴上，是抛物线与轴的交点，为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点． (1)直接写出，的值； (2)如图，若点的坐标为，点为轴上一动点，直线与抛物线对称轴垂直，垂足为点．探求的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，连接，，若，求点的坐标． 【答案】(1)，；(2)存在，最小值为，；(3) 【分析】（1）根据二次函数性质进行分析，即可得到答案； （2）由（1）可知，求得，作C点关于直线的对称点，连接交抛物线对称轴于点K，连接，当、K、D三点共线时，有最小值，即的值最小，利用坐标点的距离公式，得到，即可求出的最小值，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而得到点的坐标，即可求得点Q的坐标． （3）如图，过作于，设，则，可得，，，而，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：点在抛物线的对称轴上， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 是抛物线与y轴的交点， ， ； （2）解：存在最小值，理由如下： 由（1）可知，， 点D是抛物线上一点，坐标为， ， ， 作C点关于直线的对称点，连接交抛物线对称轴于点K，连接，    由对称性可知，， ， 当、K、D三点共线时，有最小值，即的值最小， 抛物线的对称轴为直线，与抛物线对称轴垂直， ， ，轴， ， ， ， 的最小值为， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， ． （3）∵， 如图，过作于，设，则， ∴，    ∵， ∴，， ∴ ， 而， 解得：， ∵在第一象限，则， ∴， ∴. 24．如图1，在中，，，是的中点，是线段上不与，重合的一点，于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若是的中点．如图2，求的值； (3)用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)，证明见解析 【分析】（1）由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由可得，由此即可得出结论； （2）连接，设与交于点，在上截取，由（1）得，即，利用可证得，于是可得，进而可得，设，由勾股定理可得，由三线合一可得，由线段中点的定义可得，进而可得，由勾股定理可得，由线段中点的定义可得，由勾股定理可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，，利用可证得，于是可得，，由可得，进而可得，再结合，可证得，于是可得，进而可得，，则，由线段之间的和差关系可得，，由可得，于是得解； （3）连接，设与交于点，过点作交的延长线于点，连接，由可得，由可得，进而可得，由（1）得，即，利用可证得，于是可得，，由三线合一可得，则，由直角三角形的两个锐角互余可得，，由对顶角相等可得，进而可得，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，利用可证得，于是可得，，进而可得，由勾股定理可得，由线段之间的和差关系可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接，设与交于点，在上截取， 由（1）得：， 即：， 在和中， ， ， ， ， ， 设， ， ， ，是的中点， ，， ， ， 是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，证明如下： 如图，连接，设与交于点，过点作交的延长线于点，连接， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 即：， 在和中， ， ， ，， ，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 2 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（重庆专用） 黄金卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1．下面各数中，是无理数的为（    ） A．3.14 B． C．0 D． 2．下列图案是中心对称图形的是（　　 ） A． B． C． D． 3．如图所示，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分，两点，则矩形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（　　） A． B．5 C．5 D．6 5．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且，若△ADE的面积与△ABC的面积比为，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则（    ）度．    A． B． C． D． 7．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则（    ） A．4 B．14 C． D． 8．如图，在扇形中，圆心角，分别以的中点E，F为圆心，的长为直径作半圆，两个半圆交于点C．则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边'与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（　　） A．9 B．10 C．8 D．12 10．已知整式，其中n，，，，…，均为自然数，且，下列说法： ①当，时，则； ②若，则存在一个n使得满足条件的整式有6个； ③若时，则满足条件的所有整式有且仅有85个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．计算： ． 12．如图所示，在圆形转盘中，，拨动指针，指针指向区域a的概率为，在矩形转盘中，，，拨动指针，指针指向区域的概率为，则 ． 13．如图，△ABC是等边三角形，且，△ABC的面积，在上移动，连接AD，将线段AD绕点A顺时针方向旋转，得到线段AE，连接．则△BED的周长最小值是 ． 14．若关于的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数之和为 ． 15．如图，，点在上，与相切于点，与的交点分别为．作，与交于点，作，垂足为，连接并延长，交于点，，则的长为 ，的长为 ． 16．对于任意一个四位数，其各个数位上的数字各不相同，如果千位数字比十位数字大3，百位数字比个位数字大1，则称这个四位数字为“差3倍数”．若是一个“差3倍数”，的千位数字记为，百位数字记为，十位数字记为，个位数字记为，将的千位数字和百位数字交换，十位数字和个位数字交换，得，记，若为偶数，则的最大值为 ；若，且被3除余2，则满足条件的“差3倍数”的值为 ． 三、解答题：（本大题8个小题，第17(1)题6分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．(1)先化简，再求值：，其中，； (2)先化简，再求值：，其中a是方程的根． 18．为了了解同学们的安全意识，我区某中学开展了“安全知识竞赛”，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示，）进行整理、描述和分析，并将其共分成四组：（A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的比赛成绩是：84，85，86，87，88，92，95，97，97，99． 八年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：91，93，94． 七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 91 91 中位数 90 b 众数 c 100 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级安全意识更强？请说明理由； (3)该校七年级有1200名学生、八年级有1000名学生参加了此次“安全知识竞赛”，请估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数一共是多少？ 19．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 关于“互补四边形”的研究报告 研究对象：互补四边形 研究方法：观察（测量，实验）一猜想一推理证明 教材知识：四边形的内角和为 ▲ ． 研究内容： 【一般概念】互补四边形是一种特殊的几何图形，有一组对角和为的四边形叫“互补四边形”． 【性质探究】如图1，在“互补四边形”中，，是四边形的一个外角．试判断与的数量关系，并说明理由． 猜想：． 证明：∵，， ， 任务： (1)材料“▲”处的内容为__________； (2)补全材料中“”处的证明过程； (3)如图，在“互补四边形”中，，，为延长线上的一点，且点到和的距离相等，连接，交的平分线于点．求证：． 20．一家电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)已知购买2台型电脑和3台型电脑需要元，且购买3台型电脑和8台型电脑的费用刚好可以买20台型电脑．求型电脑和型电脑的售价． (2)这家电脑公司为提高型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买型电脑，拿出的旧电脑和购买的型电脑数量一共是台．若要使购买型电脑的数量是旧电脑数量的倍，且购买型电脑的实际总费用不少于元，则要在计划的基础上再多买台型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 21．如图1，在平行四边形中，，，．点为边的中点，动点从点出发，沿折线方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点时停止运动，连接，．设点的运动时间为秒，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数与的图象有且仅有2个交点，请直接写出常数的取值范围． 22．已知轮船在点A处测得灯塔点C位于北偏东方向，若轮船以15海里/小时的速度向正东方向行驶2个小时到达点B处，此时测得灯塔在轮船的北偏东方向．（参考数据：，，，，，） (1)求轮船点B与灯塔点C的距离（结果精确到0.1m）； (2)轮船在点B处发生故障，向位于C点的维修船发出信号，双方约定在岛屿点D处维修，点D位于点B的北偏东54°方向，点D位于点C的正南方向．发出信号后轮船即刻调转航线以原速向点D处航行，若2个小时后维修船以30海里/小时的速度向点D处行驶，请问维修船能否在轮船到达岛屿之前到达点D处？ 23．如图，已知抛物线．点在抛物线的对称轴上，是抛物线与轴的交点，为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点． (1)直接写出，的值； (2)如图，若点的坐标为，点为轴上一动点，直线与抛物线对称轴垂直，垂足为点．探求的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，连接，，若，求点的坐标． 24．如图1，在中，，，是的中点，是线段上不与，重合的一点，于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若是的中点．如图2，求的值； (3)用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$