黄金卷04（重庆专用，2025新题型）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（重庆专用） 黄金卷04 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1．-2025的相反数是（ ） A．-2025 B．2025 C． D． 2．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．三角板和量角器是我们的常用学习工具，现将它们按如图所示的方式摆放，则的度数为（　 　） A． B． C． D． 5．如图，在▱ABCD中，AEAD，连接BE交AC于点F，若△AEF的面积是9，则△BCF的面积为（     ） A．16 B．18 C．24 D．36 6．2024年沙特阿拉伯国庆节期间，中国无人机表演团队震撼全球，6000架无人机编队划破夜空，展示了中国“智造”实力．无人机表演并非简单的编程或灯光秀，而是涉及到多项技术的深度融合．这其中就包括了精准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“”方向飞行，，，，…根据这个规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．已知最简二次根式与2可以合并成一项，则a，b的值分别为（　 　） A．a＝1，b＝2 B．a＝﹣1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝﹣1，b＝2 8．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧点D、E，则阴影部分的面积为（　　 ） A．π﹣2 B．π+2 C．2﹣π D． +π 9．如图，已知的半径为2，与相切，连接并延长，交于点B，过点C作，交于点D，连接，若，则弦的长为（     ） A．3 B．5 C． D． 10．学习乘法公式后，小明所在的学习小组为了加强对公式的理解，编了一个小游戏，游戏规则如下：第一次操作：把整式与的差记为，第二次操作：把整式与的差记为，第三次操作：，第四次操作：把整式与的差记为，……，以此类推，为正整数，第次操作：．下列说法： ①当，时，； ②不论，为何整数，的值一定是整数； ③若的值为奇数，则的值必然也是奇数； ④若为奇数，且，从开始的连续个整式的和记为，则，，三个整式的值中可能有2个奇数． 其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．计算： ． 12．如图，在中，为中线，点，，为的四等分点，在内任意抛一粒豆子，豆子落在阴影部分的概率为 ． 13．如图，直线分别交轴、轴于点、，点在轴，将绕点按逆时针旋转得到，连接，则的最小值为 ． 14．若数m使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于x的分式方程有非负数解，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 15．如图，⊙O与矩形ABCD的三边相切，过A点作⊙O的切线AE，切点为点N，交CD边于点E，连接AB边上的切点M与N，若DE=CD＝7，则MN ． 16．如果四位数m满足千位上的数字与百位上的数字的差等于十位上的数字与个位上的数字的差的一半，则称这个数为“半差数”．对于一个四位数m，将这个四位数m千位上的数字与百位上的数字对调，十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数n，记，计算 ．若s，t都是“半差数”，其中，（，，，，x，y，a，b都是整数），规定，若，则k的最大值为 ． 三、解答题：（本大题8个小题，第17(1)题6分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．（1）先化简，再求值：，其； （2）先化简，再从中选择一个合适的数代入求值． 18．某校七年级进行了防震减灾知识测试活动，为了解学生对防震减灾知识的掌握情况，七年级某班从男、女生中各随机抽取10名学生的测试成绩（百分制）进行统计，并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 10名男生的成绩：95  92  84  85  89  88  84  88  91  84 10名女生的成绩：91  88  86  89  85  86  86  88  89  92 学生 平均数 众数 中位数 方差 男生 88 m 88 13.2 女生 88 86 n 4.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)________，________； (2)若该校七年级共800名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩优秀（90分以上）的学生人数是多少； (3)根据上述数据，该班掌握防震减灾知识较好的是男生还是女生？请说明理由． 19．【方法总结】 以下是某同学对一道《学习与评价》习题的分析与反思． 题目：如图，在中，是的平分线，点、分别在边、上，． 求证：． 分析：作，，垂足分别为、．根据角平分线的性质，得． 再证明，得． 反思：遇到和角平分线有关的题目，可以尝试向角的两边作垂线段来寻求解题思路． 根据上述解题经验，解决下列问题． 【变式迁移】 （1）如图，四边形中，， 求证：平分． 【问题解决】 （2）如图，在中，，是边上的中线，将沿翻折后得到，连接．若，，直接写出的长． 20．小秦同学今年参加学校组织的劳动实践活动，并了解苹果和猕猴桃的售卖情况，和果农们一起采摘苹果和猕猴桃．在劳动实践过程中，小秦同学了解到如下信息： 商品 苹果 猕猴桃 规格 4kg/箱 3kg/箱 成本（元/箱） 40 24 售价（元/箱） 50 33 根据上表提供的信息，解答下列问题： (1)果农在实体店销售上表中规格的苹果和猕猴桃共，获得利润8400元，求销售这种苹果和猕猴桃的箱数； (2)为了保证果农的种植利润，网店还能销售表中规格的苹果和猕猴桃共1000箱，其中，这种规格的苹果的销售量不低于．若在网店继续销售这种规格的苹果为，在网店销售这种规格的苹果和猕猴桃获得的总利润为y（元），求出y与x之间的函数关系式，并求在网店销售这种规格的苹果和猕猴桃至少获得多少总利润． 21．如图1，在矩形中，，，对角线交于点O．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度沿运动，点E是线段上一动点，满足，设点P、Q运动的时间都为x（），点P到的距离与点P到的距离的和为，点E到的距离为． (1)请直接写出，关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 22．如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东方向上，测得港口C位于B的北偏东方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上． (1)求灯塔M到轮船航线的距离（结果保留根号）； (2)求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）． 23．如图，地物线与轴相交于点，点（在的左侧），与轴相交于点，连接，． (1)求的周长； (2)如图，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，交直线于点，当有最大值时，求的最大值与点的坐标； (3)将抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，点为原抛物线与新抛物线的交点，点是原抛物线上一点，当时，直接写出点的坐标． 24．（1）已知点为等边△ABC边所在直线上一点，连，以为边作等边，连． ①如图，点在线段上，求证：； ②如图，点在的延长线上，，分别是的中点，连，求的值； （2）如图，点为等腰直角△ABC直角边所在直线上任意一点，连，以为斜边作等腰直角，连，当的长最小时，直接写出的值，不需要说明理由． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（重庆专用） 黄金卷04 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1．-2025的相反数是（ ） A．-2025 B．2025 C． D． 【答案】B 【详解】本题考查了相反数的知识，只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的定义即可解题． 【分析】解：-2025的相反数是2025，故选：B． 2．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意． 故选A． 3．如图，已知点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求出，，最后根据的面积进行求解． 【详解】由题意知，，， ∴的面积，故选A． 4．三角板和量角器是我们的常用学习工具，现将它们按如图所示的方式摆放，则的度数为（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴，故B正确． 故选：B． 5．如图，在▱ABCD中，AEAD，连接BE交AC于点F，若△AEF的面积是9，则△BCF的面积为（     ） A．16 B．18 C．24 D．36 【答案】D 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，易证得△AEF∽△CBF，又由点E是AD中点，△AEF的面积为9，即可求得△BCF的面积． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△AEF∽△CBF， ∵AEAD， ∴， ∴， ∵△AEF的面积为9， ∴S△BCF＝36．故选：D． 6．2024年沙特阿拉伯国庆节期间，中国无人机表演团队震撼全球，6000架无人机编队划破夜空，展示了中国“智造”实力．无人机表演并非简单的编程或灯光秀，而是涉及到多项技术的深度融合．这其中就包括了精准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“”方向飞行，，，，…根据这个规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题关键是仔细观察点的坐标变化及运动轨迹，发现以4个点为一组的规律，包括每组点坐标的变化特征以及每组最后一个点坐标的规律． 根据各个点的位置关系，可得点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上，且，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，……， 由此发现：点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上， ∵， ∴点在第四象限的角平分线上， ∴点．故选：C． 7．已知最简二次根式与2可以合并成一项，则a，b的值分别为（　 　） A．a＝1，b＝2 B．a＝﹣1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝﹣1，b＝2 【答案】C 【分析】根据最简二次根式和合并同类二次根式的法则得出方程组，求出方程组的解即可． 【详解】∵最简二次根式与2可以合并成一项， ∴， 解得：a＝1，b＝0， 故选：C． 8．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧点D、E，则阴影部分的面积为（　　 ） A．π﹣2 B．π+2 C．2﹣π D． +π 【答案】A 【分析】连接OE.可得=BOE-BCD-S△OCE.根据已知 条件易求得BC=OC=CD=2,BO=OE=4.∠BOE=,CE=,所以由扇形面积公式、 三角形面积公式进行解答即可. 【详解】解：连接OE，可得=BOE-BCD-S△OCE， 由已知条件可得，BC=OC=CD=2，又,BO=OE=4， ∠BOE=，可得CE=， BOE=， BCD， S△OCE=， =BOE-BCD-S△OCE==， 故选A. 9．如图，已知的半径为2，与相切，连接并延长，交于点B，过点C作，交于点D，连接，若，则弦的长为（     ） A．3 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】连接OC，由于CA是⊙O的切线，从而可求出∠AOC＝60°，由垂径定理可得ED＝EC，再由直角三角形的性质即可求出BD的长度． 【详解】解：（1）连接OC，设CD与AB交于点E，如图． ∵CA是⊙O的切线， ∴∠ACO＝90° ∵∠A＝30°， ∴∠AOC＝60°， ∵DC⊥AB，AB过圆心O， ∴ED＝EC，∠OCD＝30°， ∴， ， ， ， 故选：C． 10．学习乘法公式后，小明所在的学习小组为了加强对公式的理解，编了一个小游戏，游戏规则如下：第一次操作：把整式与的差记为，第二次操作：把整式与的差记为，第三次操作：，第四次操作：把整式与的差记为，……，以此类推，为正整数，第次操作：．下列说法： ①当，时，； ②不论，为何整数，的值一定是整数； ③若的值为奇数，则的值必然也是奇数； ④若为奇数，且，从开始的连续个整式的和记为，则，，三个整式的值中可能有2个奇数． 其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】先计算出六个等式的值，找到规律，后按照规律，变形计算判断即可． 【详解】解：把整式与的差记为，则， 把整式与的差记为，则， ， 把整式与的差记为， 则， ， ， ① ， 当，时， ， 故该结论正确； ②由，， 得到， ， 故不论，为何整数，一定是整数， 故的值一定是整数， 故本结论正确； ③由2023,2024都不是3的倍数，是3的倍数， 由得， ∴， ∴ ， ∵的值为奇数， ∴是奇数， ∵是偶数， ∴一定是奇数， ∴一定是奇数， ∴一定是奇数， ∴一定是奇数， 故的值必然也是奇数， 故此结论是正确的； ④根据题意，得，， ， ∴，， ∴， ∵可能是3的倍数， ∴一定是偶数， ∵ ∵为奇数，是偶数，是偶数， ∴是偶数， ∴一定是偶数， ∴，，三个整式的值中可能有2个奇数． 故该结论是正确的． 故选：A． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．计算： . 【答案】4 【分析】先计算负指数幂，零次幂和绝对值，再计算加减法. 【详解】, 故答案为：4. 12．如图，在中，为中线，点，，为的四等分点，在内任意抛一粒豆子，豆子落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】先求出阴影部分的面积与总面积的关系，再根据概率=相应的面积与总面积之比即可求出答案． 【详解】解：∵在中，为中线， ∴， ∵点为的四等分点， ∴，，， ∴， ∴， ∴豆子落在阴影部分的概率为．故答案为：． 13．如图，直线分别交轴、轴于点、，点在轴，将绕点按逆时针旋转得到，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求出点A，点B的坐标，得到，将线段绕点A逆时针旋转到，易得为等边三角形，推出的坐标，当时，有最小值，此时，连接，易证，得，此时，，得到，进而推出，由，则，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：直线分别交轴、轴于点、， 时，，时，， ， ， ， 将线段绕点A逆时针旋转到， ， ， 为等边三角形， ， 当时，有最小值， 此时，连接， 是绕点按逆时针旋转得到， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 此时，， ， ， ， 在中，， ， ， 的最小值为，故答案为：． 14．若数m使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于x的分式方程有非负数解，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 【答案】-1 【分析】分别求出使不等式组有四个整数解的m的范围和使方程有非负数解的m的范围，综合这两个范围求整数m的值. 【详解】解不等式组，可得， ∵不等式组有且仅有四个整数解， ∴﹣1≤＜0， ∴﹣4＜m≤3， 解分式方程，可得x＝， 又∵分式方程有非负数解， ∴x≥0，且x≠2， 即≥0，≠2， 解得 且m≠-2， ∴﹣4<m≤2，且m≠-2 ∴满足条件的整数m的值为﹣3，-1，0，1，2 ∴所有满足条件的整数m的值之和是： 故答案为：﹣1． 15．如图，⊙O与矩形ABCD的三边相切，过A点作⊙O的切线AE，切点为点N，交CD边于点E，连接AB边上的切点M与N，若DE=CD＝7，则MN ． 【答案】 【分析】连接OM，OF，过点N作NH⊥AB于点H，先证r=12，，再证△ANH∽△EAD，最后根据勾股定理得出结果． 【详解】解：连接OM，OF，过点N作NH⊥AB于点H， 设⊙O的半径为r， 则∠NHM=∠NHA=90°， ∵⊙O与矩形ABCD的三边相切， ∴OM⊥AB，OF⊥CD，AB∥CD，AD=BC，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°， ∴M、O、F三点共线， ∵∠BMF=∠B=∠C=90°， ∴四边形BCFM是矩形， ∴AD=BC=MF=2r，BM=CF=r， ∵DE==7， ∴AB=CD=28， ∴AM=AB-BM=28-r，EF=CD-DE-CF=21-r， ∵AB，AE，CE都是⊙O的切线， ∴AN=AM=28-r,EN=EF=21-r， ∴AE=AN+EN=49-2r， 在Rt△ADE中，， ∴， 解得：r=12， ∴AN=AM=28-12=16，AD=2×12=24，AE=49-2×12=25， ∵∠NHM=∠BAD=90°， ∴NH∥AD， ∵∠ANH=∠EAD， ∵∠NHA=∠D=90°， ∴△ANH∽△EAD， ∴， ∴， ∴AH=，NH=， ∴MH=AM-AH=， 在Rt△MNH中， MN=， 故答案为：． 16．如果四位数m满足千位上的数字与百位上的数字的差等于十位上的数字与个位上的数字的差的一半，则称这个数为“半差数”．对于一个四位数m，将这个四位数m千位上的数字与百位上的数字对调，十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数n，记，计算 ．若s，t都是“半差数”，其中，（，，，，x，y，a，b都是整数），规定，若，则k的最大值为 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的化简求值、一次函数的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先根据题意列代数式并化简，再由半差数特征即可求得的值；先根据半差数特征得到、，再结合半差数的定义以及已知条件得到，然后根据一次函数的性质得到有最小值为，进而完成解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵，，且s，t都是“半差数”， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ， ； ∴， ∵， ∵， ∴当时，分母有最大值，有最小值为，此时k取最大值． 故答案为：6，． 三、解答题：（本大题8个小题，第17(1)题6分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．（1）先化简，再求值：，其 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则，将式子进行化简，然后将代入即可． 【详解】解：原式=x2+2xy+y2-（x2-y2）-2xy = x2+2xy+y2-x2+y2-2xy =2y2 当时，原式=2×（）2=． （2）先化简，再从中选择一个合适的数代入求值． 【答案】，4 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【详解】解：原式． 因为且， 所以且，所以． 当时，原式． 18．某校七年级进行了防震减灾知识测试活动，为了解学生对防震减灾知识的掌握情况，七年级某班从男、女生中各随机抽取10名学生的测试成绩（百分制）进行统计，并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 10名男生的成绩：95  92  84  85  89  88  84  88  91  84 10名女生的成绩：91  88  86  89  85  86  86  88  89  92 学生 平均数 众数 中位数 方差 男生 88 m 88 13.2 女生 88 86 n 4.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)________，________； (2)若该校七年级共800名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩优秀（90分以上）的学生人数是多少； (3)根据上述数据，该班掌握防震减灾知识较好的是男生还是女生？请说明理由． 【答案】(1)84，88；(2)200;(3)女生，理由如下 【分析】（1）根据题目中的数据，可以得到结果； （2）用样本估计总体即可； （3）根据平均数、中位数、众数、方差的意义解答即可； 本题考查了平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体，掌握以上知识的计算方法和意义是关键． 【详解】（1）10名男生的成绩中84出现的频数最多，故众数为：84，； 10名女生的成绩按顺序排列：85  86  86  86  88  88  89  89  91  92 中位数为：，， 故答案为：84，88； （2）20名学生中测试活动成绩优秀（90分以上）的学生人数为：5人 答：参加此次测试活动成绩优秀（90分以上）的学生人数是200人． （3）掌握防震减灾知识较好的是女生，理由如下： 虽然女生和男生的平均数和中位数相同，但是女生的众数86比男生众数84要高，说明女生掌握防震减灾知识较好；女生的方差比男生的方差小，说明女生的成绩较为稳定，波动较小，所以掌握防震减灾知识较好的是女生． 19．【方法总结】 以下是某同学对一道《学习与评价》习题的分析与反思． 题目：如图，在中，是的平分线，点、分别在边、上，． 求证：． 分析：作，，垂足分别为、．根据角平分线的性质，得． 再证明，得． 反思：遇到和角平分线有关的题目，可以尝试向角的两边作垂线段来寻求解题思路． 根据上述解题经验，解决下列问题． 【变式迁移】 （1）如图，四边形中，， 求证：平分． 【问题解决】 （2）如图，在中，，是边上的中线，将沿翻折后得到，连接．若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）AE=1.4 【分析】（1）过作，垂足为，作，交延长线于，根据已知条件利用可得，可得，即可得出结论； （2）利用（1）中的思路做辅助线过作直线与直线的垂线，构造,利用勾股定理分别计算出AH，BH，可得AE=AG-GE=AH-BH； 【详解】（1）过作，垂足为，作，交延长线于． 又， 在与中 又， 平分 （2） ∵是边上的中线，∠ACB=90° ∴CD=AD=BD ∴ 又由翻折，可知翻折前后对应角相等 ， 又 又中， 即， 则由第（1）问知，平分 过作直线与直线的垂线如图， 由（1）可得CH=CG, BH=GE ∴AG=AH ∵AC=4,BC=3,∠ACB=90° ∴AB= ∴S△ABC ∴， 在Rt△ACH中， ． 20．小秦同学今年参加学校组织的劳动实践活动，并了解苹果和猕猴桃的售卖情况，和果农们一起采摘苹果和猕猴桃．在劳动实践过程中，小秦同学了解到如下信息： 商品 苹果 猕猴桃 规格 4kg/箱 3kg/箱 成本（元/箱） 40 24 售价（元/箱） 50 33 根据上表提供的信息，解答下列问题： (1)果农在实体店销售上表中规格的苹果和猕猴桃共，获得利润8400元，求销售这种苹果和猕猴桃的箱数； (2)为了保证果农的种植利润，网店还能销售表中规格的苹果和猕猴桃共1000箱，其中，这种规格的苹果的销售量不低于．若在网店继续销售这种规格的苹果为，在网店销售这种规格的苹果和猕猴桃获得的总利润为y（元），求出y与x之间的函数关系式，并求在网店销售这种规格的苹果和猕猴桃至少获得多少总利润． 【答案】(1)销售这种苹果箱和猕猴桃的箱 (2)；在网店销售这种规格的苹果和猕猴桃至少获得总利润元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用； （1）设销售这种苹果箱和猕猴桃的箱，根据等量关系：①销售苹果和猕猴桃共，②获得利润8400元，列方程组进行求解即可得； （2）根据总利润=苹果的利润+猕猴桃的利润，可得与间的函数关系式，根据一次函数的性质即可得答案． 【详解】（1）解：设销售这种苹果箱和猕猴桃的箱， 根据题意得： 解得： 答：销售这种苹果箱和猕猴桃的箱； （2）根据题意得： ∵ ∴y随x的增大而增大 ∵ ∴当时，y取得最小值 最小值为 ∴在网店销售这种规格的苹果和猕猴桃至少获得总利润元． 21．如图1，在矩形中，，，对角线交于点O．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度沿运动，点E是线段上一动点，满足，设点P、Q运动的时间都为x（），点P到的距离与点P到的距离的和为，点E到的距离为． (1)请直接写出，关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】(1),；(2)见解析；(3)或 【分析】（1）分和两种情况分别求出函数关于x的函数关系式及自变量的取值范围，根据三角形面积公式得到，即可得到关于x的函数关系式及自变量的取值范围即可； （2）根据自变量的取值范围画出函数图象即可，并写出的一条性质即可； （3）根据函数图象的交点横坐标及函数图象即可得到答案. 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴， ∴， 当时，如图，作，，垂足分别为点F和点G， 则， ∴，， 即，， ∴，， ∴当时，， 当时，如图，作，，垂足分别为点M和点N， 则， ∴，， 即，， ∴，， ∴当时，， ∴； ∵．点E到的距离为． ∴， ∴； （2）解：函数图象如图所示： 在时，函数随着x的增大而增大；时，函数随着x的增大而减小 （3）解：根据图象估计当时，即函数图象在函数图象下方， 此时x的取值范围是或． 22．如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东方向上，测得港口C位于B的北偏东方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上． (1)求灯塔M到轮船航线的距离（结果保留根号）； (2)求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）． 【答案】(1)海里；(2)海里 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质是解决本题的关键． （1）先利用等腰三角形的性质先说明与的关系，再在中利用直角三角形的边角间关系得结论； （2）先说明四边形是矩形，再利用等腰三角形的性质、直角三角形的边角间关系得结论． 【详解】（1）解：如图，作交于，作交于， ， ， 是等腰三角形 海里， 在中，，海里， 海里； 灯塔到轮船航线的距离为海里； （2），，、都是正北方向， 四边形是矩形， 海里，，在中，，海里， 海里， 在中，， 是等腰直角三角形， 海里， 海里， 港口与灯塔的距离为海里． 23．如图，地物线与轴相交于点，点（在的左侧），与轴相交于点，连接，． (1)求的周长； (2)如图，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，交直线于点，当有最大值时，求的最大值与点的坐标； (3)将抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，点为原抛物线与新抛物线的交点，点是原抛物线上一点，当时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)；(2)的最大值为，点；(3)或 【分析】（1）先求出点，和的坐标，然后根据勾股定理求出和长，即可求解； (2)由，即可求解； （3）求出点的坐标，设点，根据列方程解题即可. 【详解】（1）对于 ①， 当 时, 即点， 令 则 或， 即点的坐标分别为：， ∴，， 则的周长为； （2）在中，， ∴ ， 设直线的表达式为：，把和代入得： ，解得， ∴直线的表达式为， 设点 则点， ∴ ， 的最大值为，此时，点； （3） ②, 联立①②得:，解得：， 则点， 设点，过点F作轴，过点M作轴，如图所示， 而点， ∴， 又∵， ∴， 解得：，，（舍去）， ∴点的坐标为或． 24．（1）已知点为等边△ABC边所在直线上一点，连，以为边作等边，连． ①如图，点在线段上，求证：； ②如图，点在的延长线上，，分别是的中点，连，求的值； （2）如图，点为等腰直角△ABC直角边所在直线上任意一点，连，以为斜边作等腰直角，连，当的长最小时，直接写出的值，不需要说明理由． 【答案】（1）①见解析；②；（）． 【分析】（1）①由和都是等边三角形，得，，，从而得，进而证（）得，即可利用平行线的判定证明结论成立；在线段上取，连接，证明（）得，，进而得，从而证明是等边三角形，得，再证是的中位线，利用三角形的中位线性质即可得解； （2）连接，证明，得，，从而证明点在的角平分线上运动，进而得当时，最小，然后利用勾股定理得，从而即可得解． 【详解】（1）①证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴（） ∴， ∴； ②在线段上取，连接， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴（） ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴，即， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； （2）连接， ∵和是分别以和为斜边的等腰直角三角形， ∴，，， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上运动， ∴如图，当时，最小， ∵，， ∴，， ∴，此时重合， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（重庆专用） 黄金卷04 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A A B D C C A C A 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11． 4 12． 13． 14．-1 15． 16． 6 三、解答题：（本大题8个小题，第17(1)题6分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．(1)解：原式=x2+2xy+y2-（x2-y2）-2xy = x2+2xy+y2-x2+y2-2xy =2y2 当时，原式=2×（）2=． （2）解：原式． 因为且， 所以且，所以． 当时，原式． 18．解:（1）10名男生的成绩中84出现的频数最多，故众数为：84，； 10名女生的成绩按顺序排列：85  86  86  86  88  88  89  89  91  92 中位数为：，， 故答案为：84，88； （2）20名学生中测试活动成绩优秀（90分以上）的学生人数为：5人 答：参加此次测试活动成绩优秀（90分以上）的学生人数是200人． （3）掌握防震减灾知识较好的是女生，理由如下： 虽然女生和男生的平均数和中位数相同，但是女生的众数86比男生众数84要高，说明女生掌握防震减灾知识较好；女生的方差比男生的方差小，说明女生的成绩较为稳定，波动较小，所以掌握防震减灾知识较好的是女生． 19．证明：（1）过作，垂足为，作，交延长线于． 又， 在与中 又， 平分 （2） ∵是边上的中线，∠ACB=90° ∴CD=AD=BD ∴ 又由翻折，可知翻折前后对应角相等 ， 又 又中， 即， 则由第（1）问知，平分 过作直线与直线的垂线如图， 由（1）可得CH=CG, BH=GE ∴AG=AH ∵AC=4,BC=3,∠ACB=90° ∴AB= ∴S△ABC ∴， 在Rt△ACH中， ． 20．（1）解：设销售这种苹果箱和猕猴桃的箱， 根据题意得： 解得： 答：销售这种苹果箱和猕猴桃的箱； （2）根据题意得： ∵ ∴y随x的增大而增大 ∵ ∴当时，y取得最小值 最小值为 ∴在网店销售这种规格的苹果和猕猴桃至少获得总利润元． 21．（1）解：在矩形中，，， ∴， ∴， 当时，如图，作，，垂足分别为点F和点G， 则， ∴，， 即，， ∴，， ∴当时，， 当时，如图，作，，垂足分别为点M和点N， 则， ∴，， 即，， ∴，， ∴当时，， ∴； ∵．点E到的距离为． ∴， ∴； （2）解：函数图象如图所示： 在时，函数随着x的增大而增大；时，函数随着x的增大而减小 （3）解：根据图象估计当时，即函数图象在函数图象下方， 此时x的取值范围是或． 22．（1）解：如图，作交于，作交于， ， ， 是等腰三角形 海里， 在中，，海里， 海里； 灯塔到轮船航线的距离为海里； （2），，、都是正北方向， 四边形是矩形， 海里，，在中，，海里， 海里， 在中，， 是等腰直角三角形， 海里， 海里， 港口与灯塔的距离为海里． 23．解：（1）对于 ①， 当 时, 即点， 令 则 或， 即点的坐标分别为：， ∴，， 则的周长为； （2）在中，， ∴ ， 设直线的表达式为：，把和代入得： ，解得， ∴直线的表达式为， 设点 则点， ∴ ， 的最大值为，此时，点； （3） ②, 联立①②得:，解得：， 则点， 设点，过点F作轴，过点M作轴，如图所示， 而点， ∴， 又∵， ∴， 解得：，，（舍去）， ∴点的坐标为或． 24．（1）①证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴（） ∴， ∴； ②在线段上取，连接， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴（） ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴，即， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； （2）连接， ∵和是分别以和为斜边的等腰直角三角形， ∴，，， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上运动， ∴如图，当时，最小， ∵，， ∴，， ∴，此时重合， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$