8.4乘法公式（压轴题）2024-2025学年苏科版七年级数学下册

苏科版七年级数学下 8.4乘法公式 （压轴题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．请认真观察图形，解答下列问题：    (1)根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积和：(只需表示，不必化简) (2)由（1）你能得到怎样的等量关系？请用等式表示； (3)如果图中的满足求的值． 2．利用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)． 3．计算： (1)． (2)运用乘法公式计算： ． (3)计算：． (4)计算：． 4．（1）已知实数，满足，，求的值； （2）已知实数，满足，，求的值． 5．计算： (1)已知，求的值； (2)计算：． 6．【阅读理解】若x满足，求的值． 解：设，则，所以． 【跟踪训练】请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若x满足，求的值； (2)若，求的值； (3)如图，已知正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积为15，分别以为边作正方形．求阴影部分的面积． 7．如图①②，已知两个正方形，先将B放在A的内部得图③，再将并列放置后构造新的正方形得图④． (1)图③中阴影部分的面积可表示为_______；图④中空白部分的面积可表示为_______；图④中阴影部分的面积可表示为______________．（用含的代数式表示） (2)若图③中阴影部分的面积为3，图④中阴影部分的面积为15，求正方形的面积之和． 8．【阅读理解】请阅读并解答下列问题： 若满足，求的值． 解：设，，则． 我们把解决上述问题的这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【类比应用】 （）若满足，求的值； 【迁移应用】 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如，图可以得到，结合上述阅读材料，解决下列问题； （）两块完全相同的特制直角三角板如图所示放置，其中，，在同一直线上．连接，，若，，求一块特制直角三角板的面积． 9．按要求解决下面问题． (1)比较与的大小．（“<”、“>”、“=”） ①当，时，________ ②当，时，________ (2)根据（1）中计算结果，猜想与的大小关系，并加以证明． (3)如图，点在线段上，以，为边长，在线段的两侧分别作正方形与正方形，并连结．设两个正方形的面积分别为，．若的面积为2，求的最小值． 10．【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为 ． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则 ． （2）若x满足，求的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地于点E，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，米，求种草区域的面积和． 11．在计算时，小青的做法如下： ． 请用这种方法计算：． 12．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数， 即．所以，所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式______，则的最小值为______； (2)已知，求代数式的最大值； (3)已知，请比较与的大小，并说明理由； 13．【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到． 【活动猜想】 （1）写出由图2所表示的数学等式： ； 【类比探究】 （2）①根据上面的等式，如果将看成，则　　　　　　　　　　（结果化简）； ②若，求的值． 【拓展运用】 （3）已知实数a、b、c满足以下条件：，，且，求k的值． 14．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图，可以得到，请解答下列问题： (1)写出图所表示的数学等式 ； (2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则 ； (3)用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长宽分别为、的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，则 ． 15．乘法公式的探究及应用 (1)如图1到图2的操作能验证的等式是____________．（请选择正确的一个） A．    B． C．    D． (2)当，时，则____________； (3)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 16．数与形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，在如下图1和图2中阴影部分的面积便可利用几何直观的“等面积法”推导出数学等式． (1)发现问题：利用“等面积法”，表示图1和图2中阴影部分的面积，可获得的数学等式是： ①如图1，可知：___________； ②如图2，可知：=___________； (2)解决问题：若，，根据（1）中的数学等式，求的值． 17．【阅读理解】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质． 例如：教材在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，就等于这两个数的平方差”，即，利用了如图①的图形表示它的几何意义：深色阴影部分面积为，也可转化成一个一边长为，另一边长为的长方形，其阴影部分面积为，由于阴影部分面积相同，因此有． 【类比探究】如图②是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形．（如图③ （1）观察图③请你写出，，之间的等量关系： ； 【解决问题】 （2）若 ，直接写出代数式的值，并求的值； 【拓展应用】 （3）已知，为实数，，求的值． 18．将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：，，求的值． 解：，，即 又，，得． 根据上面得接题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则______． (2)为推动学生劳动实践得有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地、，两个正方形面积和为，两个正方形边长和为，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积． 19．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)请观察图1和图2的面积关系，直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系：　　； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，．求的值． 20．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，． ∴． ∴． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为_________； (2)若，，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，分别以，为边作正方形和正方形，若，两正方形的面积和，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《苏科版七年级数学下 8.4乘法公式 （压轴题）》参考答案 1．(1)方法一：；方法二： (2) (3)9 【分析】（1）根据阴影部分的面积与空白部分的面积关系即可求出结果； （2）根据阴影部分的面积相等即可求出结果； （3）根据与已知条件即可求出对应值． 【详解】（1）解：方法一：∵图中阴影部分的面积由两部分组成，第一部分的面积为，第二部分的面积为： ； ∴阴影部分的面积的第一种表示方法为． 方法二：∵大正方形的面积为；空白部分的面积为， ∴阴影部分的面积为：； （2）解：由（1）可知阴影部分的面积相等， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ 2．(1) (2)1 (3)400 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式和平方差公式进行简便计算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 3．(1) (2) (3) (4) 【分析】 此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：平方差公式，完全平方公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式解答即可． （2）根据完全平方公式，平方差公式的运算即可求解． （3）原式利用平方差公式及完全平方公式计算即可得到结果． （4）利用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项即可得到结果． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式； （3） 解：原式； （4） 解：原式 ． 4．（1）；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值问题，掌握完全平方公式中、、三者之间的关系，并能熟练利用平方差公式进行运算是解题的关键． （1）根据题意求出，再根据，进行整体代换求值，即可求解； （2）由平方差公式可求，再由完全平方公式展开进行整体代换求值，即可求解； 【详解】解：（1），， ， ， ． （2）， ， ， ． ， ． 5．(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）逆用同底数幂的乘法和幂的乘方的运算法则求解即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：原式． 6．(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，利用完全平方公式变形计算： （1）设，仿照题干给出的解题方法进行求解即可； （2）设，仿照题干给出的解题方法进行求解即可； （3）根据题意，得到：，进而得到，根据，设，进行求解即可． 【详解】（1）解：设，则， 所以． （2）设，则，． 因为， 所以， 所以， 所以． （3）根据题意，得， 所以， ． 设，则（． 因为， 所以（负值已舍去）， 所以 ． 7．(1)；； (2)18 【分析】本题综合考查了完全平方公式的应用，正方形的面积公式，重点掌握完全平方公式的应用，难点是巧用变形求解两个正方形的面积和． （1）根据正方形的面积公式进行计算即可图③中阴影部分的面积；用两个正方形的面积之和可得图④中空白部分的面积；用大正方形面积减去两个小正方形的面积，即可得图④中阴影部分的面积； （2）根据题意得出，，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：图③中阴影部分正方形的边长为，则面积为；图④中空白部分的面积可表示为；图④中大正方形的边长为，面积为，则阴影部分的面积可表示为：； 故答案为：；；； （2）解：图③中阴影部分的面积为3，图④中阴影部分的面积为15， ，， 由，得． 由，得． 故正方形的面积之和为18． 8．（1）；（2） 【分析】仿照题目中例子，设，，然后即可求得所求式子的值； 先设直角三角形的较短的直角边为a，较长的直角边为b，然后根据，，可以得到，，再变形，即可求得一块特制直角三角板的面积． 本题考查整式的混合运算、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：设，，则， ， ， 即的值为17； 设直角三角形的较短的直角边为a，较长的直角边为b， 由题意可得：，， ， ， ， ， ， ， ， 即一块特制直角三角板的面积为 9．(1)①=，② (2)，详见解析 (3)的最小值为 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解决此题的关键． （1）依据题意，将，代入，，进而可以判断得解；②依据题意，将，代入，，进而可以判断得解； （2）依据题意，由，进而可以判断得解； （3）依据题意，根据（2）得，从而的面积，，，则，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：=； ，， ， 故答案为：>； （2）解：， 证明：， ； （3）解：由题意，根据（2）得， 又的面积，，， ， 的最小值为8． 10．【类比探究】；（1）217；（2）12；【拓展】60 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 类比探究：由图①所得到的等式，进行变形即可； （1）由，代入即可求出答案； （2）设，由题意得，由代入计算即可； 拓展：设，由题意得，，，根据代入计算即可． 【详解】解：类比探究：观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为， 故答案为：； （1）∵，， ∴， 故答案为：217； （2）设，则，， 所以 ； 拓展：设，由题意得，，，即， ， 即种草区域的面积和为60． 11．2 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 直接利用平方差公式将原式变形即可求出答案． 【详解】解：原式， ， ， ． 12．(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了配方法的应用； （1）依据题意，根据完全平方公式求解； （2）由，得到，代入得，利用配方法求最大值即可； （3）求出，即可比较大小． 【详解】（1）解：， ∵不论取何值，总是非负数，即． ∴， ∴当时，有最小值． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值． （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵不论取何值，总是非负数，即． ∴， ∴，即． 13．（1）；（2）①；②1或9；（3） 【分析】本题考查了灵活运用完全平方式，以及运算能力，转换变形是本题得关键． （1）把几何面积和完全平方式结合起来，便可求出相应关系式； （2）灵活运用公式，尤其是符号变换； （3）灵活运用公式，可得，，再结合，可求出k的值． 【详解】解：（1）大正方形面积，大正方形面积也等于各个小矩形面积之和，即：， ∴． 故答案为：； （2）①根据上面的等式，如果将看成， 则， ②由题意得：， ∵n26， ∴， ∴或2， ∴或9； （3）∵，， ∴运用公式可得：，， ∴， ∴等号两边同时乘2得：， 与相加得：， 即， 又∵， ∴， 解得： ． 14．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方式的几何背景，灵活运用完全平方公式是解决本题的关键． （1）根据图形，可以写出相应的等式； （2）根据（1）中的结果和，，可以求得所求式子的值； （3）将展开，即可得到、、的值，再把三者相加即可解答． 【详解】（1）解：正方形的面积， 正方形的面积， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：由题可知，所拼图形的面积为：， ， ， ， ，，， ， 故答案为：． 15．(1)D (2)2 (3)①2；② 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，有理数的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）观察图形，利用两图中的面积相等即可得出结论； （2）利用平方差公式求解即可； （3）①将原式变形为，再利用（1）中公式计算； ②将2变形为，再逐步利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：图1中阴影面积为， 图2的阴影面积为， ∴图1到图2的操作能验证的等式是， 故选：D； （2）解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 故答案为：2； （3）解：① ； ② . 16．(1)； (2)或 【分析】本题主要考查完全平方公式在几何图形中的应用，掌握完全平方公式的变形是解决问题的关键． （1）用两种不同的方法表示阴影部分面积，或根据大、小正方形的边长与长方形边长之间的关系可得答案； （2）利用，求得，再得到，进一步计算即可求出． 【详解】（1）解：①第一个图阴影部分的面积为， 第二个图阴影部分的面积为， ∴； ②大正方形的边长为，面积为， 中间小正方形的边长为，面积为， 四个小长方形的面积为， ∴阴影部分的面积为； 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴， 由（1）可知， ∴， ， ∵ ， ∴当时，原式； 当时，原式； ∴的值为或． 17．（1） （2）， （3）2 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用代数式表示图③中各个部分的面积，再根据面积之间的和差关系即可； （2）根据等式的性质将的两边都除以即可得到的值；再根据代入计算即可； （3）设，，则，，由题意可得，，由代入计算即可． 【详解】解：（1）图③中大正方形的边长为，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，4个空白的小长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2），，两边都除以得， ， ； （3）设，，则，， ，， ． 18．(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式和变形式，是解题的关键： （1）利用完全平方公式变形式进行计算即可； （2）设两个正方形的边长分别为：，根据题意得到， 进而求出的长，再利用面积公式求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）设两个正方形的边长分别为：，由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴放花卉场地的面积为． 19．(1) (2)①；② 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据图中各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）①根据代入计算即可；②根据代入求出即可． 【详解】（1）解：图2，大正方形的边长为，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，4个空白长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）解：①； ②，而， ． 20．(1)12 (2)4 (3)5 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的关键． （1）利用完全平方公式整体代入求解即可； （2）利用完全平方公式整体代入求解即可； （3）设，，用含有a，b的代数式分别表示，以及的面积，再利用题目条件求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵， ∴． 即． ∵， ∴． ∴． ∴． 即； （3）设，， ∴． ∴． 即． ∵， ∴． ∴． 由题意得，为直角三角形， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$