精品解析：内蒙古自治区呼伦贝尔市扎兰屯市2024-2025学年八年级上学期期末数学试题

2024-2025学年内蒙古呼伦贝尔市扎兰屯市八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.下列各题的四个选项中只有一个正确，请将正确答案填入下表） 1. 下列图标不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 长度分别为3，1，x的三条线段能组成一个等腰三角形，x的值可以是（） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 不存 4. 英国曼彻斯特大学两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，获得了诺贝尔物理学奖，石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，是角平分线，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，下列条件中，不能证明的是（　　） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB≠AC，若用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点D，使△ACD是等腰三角形，则下列作法中，正确的有（ ） A. ②③ B. ①② C. ①③ D. ①②③ 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 9. 如图，是的中线， E和F分别是和的中点，若的面积为，则的面积为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 10. 已知，则（ ） A. 12 B. 14 C. 8 D. 16 二、填空题（共7小题，每小题2分，共14分，将最后结果填写在横线上） 11. 因式分解：_____． 12. 若分式的值为0，则________． 13. 计算：＝_______________． 14. 若，，则的值为______． 15. 如图，在中，，是边上的中线，在上取一点E，连结，使得，若，则________． 16. 某星期日，小明和小新约好同时出发到中山公园踏青，小明家和小新家到中山公园的距离分别是和，小明步行前往，小新骑共享单车前往．已知小新骑车的速度是小明步行速度的4倍，结果小新提前15min到达．若设小明步行的速度为，则根据题意可列方程___________． 17. 如图，在等边三角形中，是中线，点分别在上，且，动点在上，则的最小值为______． 三、解答题（共4道小题，每题5分共20分） 18. 计算：． 19. 解方程： 20. 如图，点D、E在的边上，，求证：． 21. 先化简，再求值：，其中，． 四、（本题8分） 22. 如图所示， 中： （1）下列操作中，作的平分线的正确顺序是______（将序号按正确的顺序写在横线上）． ①分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点P； ②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交 于点M，交 于N点； 画射线，交于点D． （2）能说明 的依据是______（填序号）． ． ． ．④角平分线上点到角两边的距离相等． （3）若 ，，过点D作于点E，求． 五、（本题8分） 23. 如图，已知线段和点C，若点C在线段上，，，，，相交于点P． （1）求证：； （2）若，求的度数． 六、（本题8分） 24. 端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3000元购进、两种粽子1100个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同，已知粽子的单价是种粽子单价的1.2倍. （1）求、两种粽子的单价各是多少？ （2）若计划用不超过7000元的资金再次购买、两种粽子共2600个，已知、两种粽子的进价不变，求中粽子最多能购进多少个？ 七、（本题12分） 25. 【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理，如图1，可以表述为 ∵ ∴ 【新知应用】已知：在中，，若，则______；若，则______． 【尝试探究】如图2，四边形中，，，若连接，则平分． 某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程． 【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形中，，，，连接，平分吗?请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年内蒙古呼伦贝尔市扎兰屯市八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.下列各题的四个选项中只有一个正确，请将正确答案填入下表） 1. 下列图标不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项不合题意； B．是轴对称图形，故本选项不合题意； C．轴对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列计算中正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，完全平方公式，同底数幂乘法计算和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 长度分别为3，1，x的三条线段能组成一个等腰三角形，x的值可以是（） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系和等腰三角形定义，解决问题的关键是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可． 已知三角形两边长分别为2和1，根据在三角形中任意两边之和第三边，任意两边之差<第三边；即可求第三边长的范围，再结合等腰三角形选择符合条件的． 【详解】解：由三角形三边关系定理得，即． 长度分别为3，1，x的三条线段能组成一个等腰三角形， 故等腰三角形三边只能为3，3，1， 故选：B． 4. 英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，获得了诺贝尔物理学奖，石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：C． 5. 如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键． 先根据角平分线的定义求出，进而根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， 在中，，， ∴． 故选：D． 6. 如图，下列条件中，不能证明的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 【详解】解：添加条件，结合条件，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，不可以利用证明，故B符合题意； 添加条件，可得，结合条件，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合可利用证明得到，同C选项可证明，故D不符合题意； 7. 在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB≠AC，若用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点D，使△ACD是等腰三角形，则下列作法中，正确的有（ ） A ②③ B. ①② C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图痕迹可知，图①作的是∠BAC的平分线，图②作的是CA=CD，图③作的是AC的垂直平分线，然后逐一判断即可解答． 【详解】解：图①：由题意得：AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=45°， ∵∠BAC=90°，AB≠AC， ∴∠B≠∠C≠45°， ∴∠C≠∠CAD， ∴△ACD不是等腰三角形，故①错误； 图②：由题意得： CA=CD， ∴△ACD是等腰三角形，故②正确； 图③：由题意得： 点D在AC的垂直平分线上， ∴DA=DC， ∴△ACD是等腰三角形，故③正确， 所以，上列作法中，正确的有：②③， 故选：A． 【点睛】本题考查了基本作图－解平分线、线段垂直平分线，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键． 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后把已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式=ab-a+b-1=ab-（a-b）-1， 把a-b=5，ab=3代入得：原式=3-5-1=-3， 故选：A． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9. 如图，是的中线， E和F分别是和的中点，若的面积为，则的面积为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据三角形的中线求面积，由是的中线可得，进而得；由是的中线可得 ；由是的中线可得，据此即可求解． 【详解】解：∵F是的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴是的中线， ∴ ， ∵E是的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 故选：A． 10. 已知，则（ ） A. 12 B. 14 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行计算，由得到，从而得到，由此即可得到答案，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（共7小题，每小题2分，共14分，将最后结果填写在横线上） 11. 因式分解：_____． 【答案】． 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：． 12. 若分式的值为0，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值是0的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．根据分式的值等于0的条件：分子且分母即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 解得：． 故答案为：． 13. 计算：＝_______________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据负整数指数幂，零指数幂的性质解答 ． 【详解】解：原式=2+1=3， 故答案为3 ． 【点睛】本题考查整数指数幂的应用，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂的性质是解题关键． 14. 若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，即，那么把，，代入即可作答． 【详解】解：因为，， 所以． 故答案为： 【点睛】本题考查了同底数幂除法的逆用，难度较小． 15. 如图，在中，，是边上的中线，在上取一点E，连结，使得，若，则________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 设，则，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理列方程即可得到结论． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∵，是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 16. 某星期日，小明和小新约好同时出发到中山公园踏青，小明家和小新家到中山公园的距离分别是和，小明步行前往，小新骑共享单车前往．已知小新骑车的速度是小明步行速度的4倍，结果小新提前15min到达．若设小明步行的速度为，则根据题意可列方程___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了分式方程的实际应用．设小明步行的速度为，则骑共享单车的速度为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设小明步行的速度为，则骑共享单车的速度为，根据题意得：． 故答案为： 17. 如图，在等边三角形中，是中线，点分别在上，且，动点在上，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点P关于的对称点，连接交于，此时的值最小．最小值． 【详解】解：是等边三角形， ，， ∵是中线， ∴，，． ∵， ，， 如图，作点P关于的对称点，连接交于， 此时的值最小．最小值，     ， ∴， ∴，而， 是等边三角形， ， 的最小值为3． 故答案为：3． 三、解答题（共4道小题，每题5分共20分） 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了多项式与多项式的乘法，完全平方公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是．先根据多项式与多项式的乘法法则和完全平方公式计算，再合并同类项． 【详解】解： ． 19. 解方程： 【答案】无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 20. 如图，点D、E在的边上，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，过点A作C于P，利用三线合一得到P为及的中点，再根据线段之间的关系即可得证． 【详解】证明：如图，过点A作C于P． ∵ ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的运算法则先化简原式，然后将，代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 四、（本题8分） 22. 如图所示，在 中： （1）下列操作中，作的平分线的正确顺序是______（将序号按正确的顺序写在横线上）． ①分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点P； ②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交 于点M，交 于N点； 画射线，交于点D． （2）能说明 的依据是______（填序号）． ． ． ．④角平分线上的点到角两边的距离相等． （3）若 ，，过点D作于点E，求． 【答案】（1）②①③ （2）① （3）45 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图作角平分线的步骤解答； （2）根据全等三角形的判定定理和性质定理解答； （3）过点D作 于F，根据角平分线的性质定理得到 ，根据三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：作 的平分线的正确顺序是②①③， 故答案为：②①③； 【小问2详解】 解：如下图，连接 、 ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴， 故答案为：①； 【小问3详解】 解：如下图，过点作于， ∵于，平分， ∴， ∵ ，， ∴， 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的作法，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 五、（本题8分） 23. 如图，已知线段和点C，若点C在线段上，，，，，相交于点P． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）先根据得，进而可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论； （2）设与交于点H，利用三角形内角和定理及（1）的结论可得出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设与交于点H，如图所示： 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴． 六、（本题8分） 24. 端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3000元购进、两种粽子1100个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同，已知粽子的单价是种粽子单价的1.2倍. （1）求、两种粽子的单价各是多少？ （2）若计划用不超过7000元的资金再次购买、两种粽子共2600个，已知、两种粽子的进价不变，求中粽子最多能购进多少个？ 【答案】（l）种粽子的单价是3元，种粽子的单价是2.5元；（2）种粽子最多能购进1000个. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出分式方程计算即可，注意根的验证. （2）根据题意列出不等式即可，根据不等式的性质求解. 【详解】（l）设种粽子的单价为元，则种粽子的单价为元 根据题意，得 解得： 经检验，是原方程的根 所以种粽子的单价是3元，种粽子的单价是2.5元 （2）设种粽子购进个，则购进种粽子个 根据题意，得 解得 所以，种粽子最多能购进1000个 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，关键在于分式方程的解需要验证. 七、（本题12分） 25. 【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理，如图1，可以表述为 ∵ ∴ 【新知应用】已知：在中，，若，则______；若，则______． 【尝试探究】如图2，四边形中，，，若连接，则平分． 某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程． 【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形中，，，，连接，平分吗?请说明理由． 【答案】新知应用：； 尝试探究：见解析 拓展应用：平分；见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可； （2）延长到点，使得，连接，证明得到，，从而得出平分； （3）连接，延长到，使，连接，由，得到，，，再证明得到，从而得出平分． 【详解】新知应用： ∵， ∴， 若，则； 若，则， ∴； 故答案是； 尝试探究： 证明：如图，延长到点，使得，连接， ∵， 又∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 即平分； 拓展应用： 证明：连接，延长到，使，连接， ∵，， ∴ ∵在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即平分； 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$