8.4乘法公式同步练习2024-2025学年苏科版七年级数学下册

苏科版七年级数学下 8.4乘法公式 同步练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1． ， ． 2．若是完全平方式，则 ． 3．若，，则等于 ． 4．若，a，b均为常数，则 ． 5．某同学在计算时，把4写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算： ． 6．如图，四边形，均为正方形，且，设大正方形的面积为，小正方形的面积为．若图中空白部分的面积为36，，则 ． 7．已知，则代数式的值是 ． 8．阅读理解：如果，我们可以先将等式两边同时平方得到，再根据完全平方公式计算得：，即，所以．请运用上面的方法解决下面问题：如果，则的值为 ． 二、解答题 9．（1）计算：； （2）计算：． 10．（1）运用平方差公式计算：； （2）已知，求的值． 11．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．数学活动课上，李明用如图1的长方形纸片，它是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请观察图形，解答下列问题： (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1：______；方法2：______； (2)观察图2，请你写出三个代数式：，，之间的关系______； (3)结合以上信息，灵活运用公式，已知，，求下列各式的值： ①； ②． 12．在数学研究活动中，老师给学生们布置了一些有趣的数学题目．小明和小红是研究活动中的积极成员，他们决定一起讨论并解决这些问题．请你帮助他们完成这些计算． (1)小明在活动中遇到了一道题目：已知，，求的值．请你帮助小明解答这个问题． (2)小红在活动中也遇到了一道题目：已知，，求的值．请你帮助小红解答这个问题． 13．如图①，在边长为x的大正方形中剪去一个边长为y的小正方形．将图①的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成一个如图②的梯形． (1)比较图②和图①的阴影部分面积，可以推得公式：______________（用含的式子表示）； (2)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 14．【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． 【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式． 【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式： ①； ②． 15．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． (1)写出图 1 中所表示的数学等式为：_________； (2)写出图 2 中所表示的数学等式为∶_________； (3)利用(2)中所得到的结论，解决下面的问题：已知 ， ，则 _________ ； (4)小明同学又用 张边长为 的正方形， 张边长为 的正方形， 张边长分别为 、 的长方形纸片拼出了一个面积为长方形，那么 _________ ． 16．【探索发现】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可以得到等式 ． 【解决问题】若，则 ． 【拓展提升】如图2，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形和，延长和交于点，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为42，则两个正方形的面积和 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《苏科版七年级数学下 8.4乘法公式 同步练习》参考答案 1． 4 16 【分析】本题考查幂的运算和平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则以及平方差公式． ①将变形为，再利用积的乘方逆运算进行计算；②把变形为，然后运用平方差公式计算． 【详解】①解： ； ② ． 故答案为：4； 16 2． 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征． 根据完全平方公式，将给定式子与公式对比，找出对应的a，b，进而求出的值． 【详解】在中，，则． 因为， 把代入可得， 所以． 故答案为：． 3．40 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 根据完全平方公式对与关系的转化，结合已知条件求解。 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：40 4． 【分析】本题主要考查了完全平方公式特征，将左边利用完全平方公式计算出来，然后利用多项式等于多项式的条件求出、的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 即． 所以答案为． 5．2 【分析】此题考查了运用平方差公式计算． 把原式前面乘，进一步利用平方差公式计算即可． 【详解】解： = ． 故答案为：2． 6．84 【分析】本题考查了完全平方公式及其变形，平方差公式的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据空白部分面积求出，再根据得出，然后根据完全平方公式的变形得出，最后根据平方差公式求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则空白部分的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：84． 7． 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据完全平方公式将题目中的式子变形，然后整理化简，即可得到所求式子的值． 【详解】解：， 故答案为：． 8．6 【分析】本题考查了完全平方公式变形运算，可得，两边平方得，即可求解；掌握、、三者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：6． 9．（）；（）． 【分析】（）先化简绝对值，计算零指数幂和负整数指数幂，然后合并即可； （）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可； 本题考查了实数的混合运算，整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（1）；（2） 【分析】本题考查了乘法公式，掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键． （1）利用平方差公式计算即可； （2）利用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， 11．(1)，； (2)； (3)①9；② 【分析】（1）一方面阴影部分是边长为的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去4个长为，宽为的长方形面积即可； （2）由（1）两种方法所表示的面积相等可得答案； （3）①由（2）的结论代入计算即可； ②先整理得，再把，分别代入进行计算，即可作答． 本题考查已知式子的值求代数式的值，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键 【详解】（1）解：方法一：阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去4个长，宽为的长方形面积，即； 故答案为：，； （2）解：由（1）得，， 故答案为：； （3）解：①∵，， ∴， ②∵，，， ∴ ． 12．(1) (2)26 【分析】本题考查幂的运算，完全平方公式变形计算： （1）利用幂的乘方和同底数幂的除法的逆用进行计算即可； （2）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．(1) (2)①；② 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式及其逆用，能够掌握整体思想是解决本题的关键． （1）用割补法分别计算左右两图中的阴影部分面积，左边阴影部分面积等于右边阴影部分面积，列等式即可； （2）①用整体思想借助平方差公式进行化简即可；②用整体思想和平方差公式的逆用变形计算即可． 【详解】（1）解：①图阴影部分面积， ②图阴影部分面积， 可以推得公式：； （2）解：①原式 ． ②原式 ． 14．（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查了分解因式，灵活运用公式法进行因式分解是解题的关键． （1）把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可； （2）①把式子加上9，再减去9，再仿照题意分解因式即可；②把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可． 【详解】解：（1） ． （2）① ； ② ． 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是多项式乘多项式、完全平方公式的应用，利用面积法列出等式是解题的关键． （1）直接求得长方形的面积，然后再根据长方形的面积等于各长方形的面积之和求解即可； （2）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积等于各长方形的面积之和求解即可； （2）将，，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可； （3）将张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形的面积的和等于即可得到答案． 【详解】（1）解：根据图形可得， 故答案为：． （2）解：根据图形可得； 故答案为：． （3） ； 故答案为：． （4）由题意可知： ， ， ，，， ． 故答案为：． 16．[探索发现] ；[解决问题]12；[拓展提升]16 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． [探索发现]根据大正方形的面积等于两个小正方形和两个长方形的面积之和列等式即可； [解决问题]根据图1所得等式计算即可； [拓展提升] 设，，则，，由题意可得，，再根据完全平方公式计算出，即可得到答案． 【详解】解：[探索发现] 如图1可以得到等式， 故答案为： [解决问题] 由图1所得等式可得，， ， ， ， 故答案为：12； [拓展提升] 设，， 则，， ，图中阴影部分面积为42， ，， ， ， 故答案为：16． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$