精品解析：河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研考试（八）数学试卷

郑州外国语学校2025届高三调研考试试卷（八） 数 学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，则集合中的元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 2. 复数z满足（i为虚数单位），则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 3. 双曲线(，)的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 函数在区间上的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 设等差数列的前项和为，且，则取最小值时，的值为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 15或16 6. 在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（） A. B. C. D. 7. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，则该数据的残差为（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 A. B. C. 0.8 D. 0.96 8. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ） A. 每人都安排一项工作的不同方法数为54 B. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为 C. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称 C. 在上的值域为 D. 在上单调递增 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 极大值点仅有一个 C. 无最大值，有最小值 D. 当时，关于的方程共有3个实根 11. 在四棱锥中，，动点平面，且是的中点，则（ ） A. 平面 B. 的长可能为3 C. D. 点在半径为的球面上 三、填空题（本题共3 小题，每小题5分，共15分） 12. 若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______. 13. 已知直线和互相垂直，且，则的最小值为________． 14. P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为________. 四.解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 在锐角中，角A､B，C所对的边分别为a､b､c，已知. （1）求的值； （2）若，求b的值. 16. 等差数列的公差d不为0，其中，，，成等比数列．数列满足 （1）求数列与的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 17. 如图，在四棱台中，平面平面ABCD，底面ABCD为正方形，，. （1）求证：平面. （2）点在直线上，且平面MCD，求与平面所成角的正弦值. 18. 在椭圆中，A、B是左右顶点，P是椭圆E上位于x轴上方的一点．直线PA、PB分别交直线于M、N两点，PA、PB的斜率分别记为． （1）求的值； （2）若线段PB的中点Q恰好在以MN为直径的圆上，求m的取值范围． 19. 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线：上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶、二阶导数） （1）求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率； （2）求椭圆在处的曲率； （3）定义为曲线的“柯西曲率”.已知在曲线上存在两点和，若且处的“柯西曲率”相同，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州外国语学校2025届高三调研考试试卷（八） 数 学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，则集合中的元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】利用交、并、补集的混合运算得答案． 【详解】因为，，所以或， 又因为， 所以，共4个元素， 故选：B 2. 复数z满足（i为虚数单位），则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方法一：先根据复数的除法求出复数，进而求出，再根据复数模的概念求. 方法二：根据复数模的性质直接求. 【详解】方法一：由题意：， 所以，所以. 故选：D 方法二：根据复数模的性质，得：. 故选：D 3. 双曲线(，)的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的离心率公式可得，再由双曲线的渐近线方程即可得解. 【详解】由题意，该双曲线的离心率，则， 所以该双曲线的渐近线方程为即. 故选：A. 4. 函数在区间上的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由题意得， 当时，，， 所以在区间单调递减，故函数最大值为， 故选：B 5. 设等差数列的前项和为，且，则取最小值时，的值为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 15或16 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知及等差数列的通项公式、前n项和公式求基本量，结合及数列单调性确定取最小值时的值. 【详解】由， 由， 所以数列的公差，且， 所以，且数列单调递增， 故取最小值时，的值为15或16. 故选：D. 6. 在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，可求，可求的面积. 【详解】因为在中，，又为边上一点，且， 所以， 又， 所以， 所以，解得， 所以. 故选:D. 7. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，则该数据的残差为（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 A. B. C. 0.8 D. 0.96 【答案】C 【解析】 【分析】根据表中的数据求出，，根据回归直线方程必过样本中心，即可求出，从而得到回归直线方程，再将代入回归方程，求出预测值，从而求出残差. 【详解】由题意可知，，， 将代入，即，解得， 所以， 当时，， 所以该数据的残差为. 故选：C. 8. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ） A. 每人都安排一项工作的不同方法数为54 B. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为 C. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 【答案】D 【解析】 【分析】 对于选项 ，每人有4种安排法，故有种；对于选项 ，5名同学中有两人工作相同，先选人再安排；对于选项，先分组再安排；对于选项 ，以司机人数作为分类标准进行讨论即可. 【详解】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为，即选项错误， ②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为，即选项B错误， ③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（），即选项C错误， ④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有 ,从余下四人中安排三个岗位， 故有；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有 , 从余下三人中安排三个岗位，故有；所以每项工作至少有一人参加， 甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是， 即选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了排列知识的应用. 求解排列问题的六种主要方法: 1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算; 2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置; 3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列; 4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中; 5.定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列; 6.间接法:正难则反、等价转化的方法. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称 C. 在上的值域为 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相邻两条对称轴之间的距离可的周期，然后可得解析式.由正弦函数的对称性可判断A；由函数图象的平移变换，结合余弦函数的性质可判断B；根据x的范围和正弦函数的性质直接求解可判断C；根据正弦函数单调性通过解不等式可判断D. 【详解】 相邻两对称轴间距离为，则，∴， ∴，， ， ∴关于对称，A对. ，∴关于轴对称，B对. 当时，有，则，所以， ∴，C错误. 由，得，所以的一个单调增区间为，而，∴在上单调递增，D对. 故选：ABD 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 极大值点仅有一个 C. 无最大值，有最小值 D. 当时，关于的方程共有3个实根 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断B选项；利用函数的最值与导数的关系可判断C选项；数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，故A错误； 对于B选项，由A选项知，函数在上有一个极大值点， 当时，，则，此时函数单调递增， 当时，，此时函数有极小值点，无极大值点， 综上所述，函数仅有1个极大值点，故B正确； 对于C选项，当时，， 当时，， 所以，函数的最小值为，函数无最大值，故C正确； 对于D选项，如下图所示： 由图可知，当时，关于的方程共有4个实根，故D错误. 故选：BC. 11. 在四棱锥中，，动点平面，且是的中点，则（ ） A. 平面 B. 的长可能为3 C. D. 点在半径为的球面上 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点，连接，易得，应用线面平行的判定判断A；设的中点为，连接，根据已知求得，结合确定的轨迹为球，利用球的结构特征判断B；应用空间向量数量积的运算律及定义有，即可判断C；设的中点为，连接，有判断D. 【详解】取的中点，连接，结合题设易知，且， 所以四边形为平行四边形，则， 因为平面平面，所以平面，A正确. 设的中点为，连接， 由知，四边形是直角梯形，且， 所以， 因为，所以在以为球心，为半径的球面上运动（不经过面）， 则，B错误. ， 因为与不共线，所以， 所以，C正确. 设的中点为，连接，则， 所以在以点为球心，为半径的球面上运动，D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3 小题，每小题5分，共15分） 12. 若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为，设切点，则又 考点：利用导数求切点 13. 已知直线和互相垂直，且，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据两直线垂直得到，再利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以，即， 因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为． 故答案为：． 14. P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，由题意得出是等腰直角三角形，列方程组得到含的齐次方程求解离心率即可. 【详解】如图，设，，延长交于， 由题意知，为的中点，故为中点， 又，即，则， 又点在的平分线上,则，故是等腰直角三角形， 因此， 则， 可得，， 又，则， 因此可得， 又在中，，则， 将， 代入得， 即，由所以， 所以，. 故答案为： 四.解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 在锐角中，角A､B，C所对的边分别为a､b､c，已知. （1）求的值； （2）若，求b的值. 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】（1）由平方关系求得，切化弦后由降幂公式降幂后代入可得； （2）由面积公式求得，再由余弦定理求得的等式，两者结合可求得． 【小问1详解】 为锐角，， ， 【小问2详解】 ，， 又，即，， 所以，，从而，． 16. 等差数列的公差d不为0，其中，，，成等比数列．数列满足 （1）求数列与的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）；；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据和，，成等比数列可列出关于公差的方程，求出公差的值，再结合，即可写出通项.根据前项和与第项的关系，由可求出，进而可求出； （2）利用“错位相减法”，可求出数列的前n项和. 【详解】解：（1）由已知，又 故 解得（舍去），或 ∴ ∵① 故当时，可知 ∴ 当时，可知② ①②得 ∴ 又也满足，故当时，都有； （2）由（1）知 故③ ∴④ 由③—④得 解得. 【方法点睛】求数列的前项和常用的方法有： （1）公式法；（2）分组（并项）求和法；（3）倒序相加法；（4）错位相减法；（5）裂项相消法. 17. 如图，在四棱台中，平面平面ABCD，底面ABCD为正方形，，. （1）求证：平面. （2）点在直线上，且平面MCD，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因平面平面ABCD，平面平面ABCD，，平面ABCD， 则平面.又平面，则； 又在等腰梯形，如下图，作， 由题可知，，又， 则，结合，得. 因为， 所以.又平面，平面，， 则平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直性质可得，利用题目条件结合图形，勾股定理可得，即可证明结论； （2）如图，建立以A为原点的空间直角坐标系，利用点在直线上，引入参数，可表示出M坐标，后由平面MCD，可得M坐标，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以A为原点建立空间直角坐标系. 则，又由（1）可得 . 因在直线，则， 则，即. 则. 又，平面MCD，则. 得.则，. 又由（1）得，可取为平面的一个法向量，， 设与平面所成角为，则. 即与平面所成角的正弦值为. 18. 在椭圆中，A、B是左右顶点，P是椭圆E上位于x轴上方的一点．直线PA、PB分别交直线于M、N两点，PA、PB的斜率分别记为． （1）求的值； （2）若线段PB的中点Q恰好在以MN为直径的圆上，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先设点，利用坐标表示斜率，利用点在椭圆上，即可化简求值； （2）首先利用直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求点的坐标，并求的中点，利用和，求得，并代入点的坐标，即可求的取值范围. 【小问1详解】 设，，， ； 【小问2详解】 由题意知直线的方程为，则， 由，得， 则，则，， 则，又 所以的中点的坐标为， 当直线的斜率存在时，由题意知，，又， 所以， 即，得，， ， 当直线的斜率不存在时，， 综上：的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是由圆的几何性质可知，，则可得到，才能代入坐标运算，化简得到与的关系. 19. 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线：上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶、二阶导数） （1）求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率； （2）求椭圆在处的曲率； （3）定义为曲线的“柯西曲率”.已知在曲线上存在两点和，若且处的“柯西曲率”相同，求的最小值. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均曲率的定义，代入计算可得结果； （2）由在第一象限，可得，两次对函数求导，代入曲率计算公式求解即可； （3）求出，其中，令，，则，令，构造函数，利用导数判断单调性，求出最小值即可. 【小问1详解】 易知单位圆上圆心角为的圆弧， 所以， 【小问2详解】 由题意，因为在第一象限，所以， ，， 故，，故 【小问3详解】 ，， 故，其中， 令，，则，设，则， 令，， 时，，在递减， 时，，在递增， 故； 令， ， 令， 则，当时，恒成立， 故在上单调递增， 可得，即， 故有， 则在递增， 故， 故的最小值为. 【点睛】新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $