精品解析：安徽省阜阳第一中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题

阜阳一中2022级2022-2023学年高一下期末考试 一、单选题 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设为虚数单位，复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则等于（ ） A. －2 B. 2 C. －8 D. 8 4. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 5. 设为两个随机事件，以下命题错误的为（ ） A. 若是独立事件，，，则 B. 若对立事件，则 C. 若是互斥事件，，，则 D. 若，，且，则是独立事件 6. 鹅被人类称为美善天使，它不仅象征着忠诚、长久的爱情，同时它的生命力很顽强，因此也是坚强的代表．除此之外，天鹅还是高空飞翔冠军，飞行高度可达9千米，能飞越世界最高山峰“珠穆朗玛峰”．如图是两只天鹅面对面比心的图片，其中间部分可抽象为如图所示的轴对称的心型曲线．下列选项中，两个函数的图象拼接在一起后可大致表达出这条曲线的是（ ） A. 及 B. 及 C. 及 D. 及 7. 函数，且）最多有6个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C D. 8. 已知平面向量，，满足：，，夹角为，且.则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知互不相同的两条直线，和两个平面，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，且，则 D 若，，且，则 10. 某中学高三学生500人，其中男生300人，女生200人，现希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为171cm，方差为29cm2；女生身高样本均值为161cm，所有样本的方差为49cm2，下列说法中正确的是（ ） A. 男生样本容量为30 B. 每个男生被抽入到样本的概率均为 C. 所有样本的均值为167cm D. 女生身高的样本方差为19cm2 11. 已知分别是内角的对边，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥外接球的表面积为9π C. 点C到平面AEF的距离为 D. 平面AEF截正方体所得的截面面积为 三、填空题 13. 设．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________． 14. 已知，，，则向量与的夹角为___________. 15. 复数是关于的方程的一个根，则_________． 16. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在上有且只有3个零点，则的取值范围是___________. 四、解答题 17. 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知. （1）求B ； （2）若△ABC的面积,a= 10，求sin AsinC的值. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，E，F分别为SD、BC的中点. （1）证明：平面SAB； （2）若平面SAD⊥平面ABCD，且是边长为2的等边三角形，.求四棱锥的体积. 19. 某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)， [260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图： （1）求直方图中的的值 （2）估计月平均用电量的众数和中位数，第80百分位数． （3）从月平均用电量在[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]内的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，求从月平均用电量在[220，240)内的用户中应抽取多少户？ 20. 10月9日晚，2022年世界乒乓球团体锦标赛在中国成都落幕.中国队女团与男团分别完成了五连冠与十连冠的霸业.乒乓球运动在我国一直有着光荣历史，始终领先世界水平，被国人称为“国球”，在某次团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜三局的团队获得比赛的胜利），假设在一局比赛中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛结果相对独立. （1）求这场选拔赛三局结束的概率； （2）若第一局比赛乙队获胜，求比赛进入第五局的概率. 21. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断函数在R 上的单调性，并用定义证明. （3）是否存在实数，使得函数在区间上取值范围是？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 22. 如图①，在梯形中，，，，，分别是，上的点，，.沿将梯形翻折，使平面平面（如图②）. （1）判断平面与平面的位置关系，并说明理由； （2）作出二面角的平面角，说明理由并求出它的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阜阳一中2022级2022-2023学年高一下期末考试 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2. 设为虚数单位，复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法运算法则化简复数，再由复数虚部的定义可得结果. 【详解】，虚部为. 故选：B. 3. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则等于（ ） A. －2 B. 2 C. －8 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，可得的值，进而求出函数的解析式，再由得到答案. 【详解】因为为定义在上的奇函数， 所以，， 所以， 所以当时，， 所以. 故选：C. 4. 计算的值为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，进行构角，利用正切差角公式，再适当的变形即可求出结果. 【详解】因为，所以，交叉相乘得： 所以. 故选：B. 5. 设为两个随机事件，以下命题错误的为（ ） A. 若是独立事件，，，则 B. 若是对立事件，则 C. 若是互斥事件，，，则 D. 若，，且，则是独立事件 【答案】C 【解析】 【分析】利用互斥公式、独立公式、对立公式满足的条件可以一一判断. 【详解】对于A：当是独立事件时，也是独立事件，，A正确； 对于B：当是对立事件时，，B正确； 对于C：当是互斥事件，，，则，C错； 对于D：，，故是独立事件，即是独立事件，D正确. 故选：C 6. 鹅被人类称为美善天使，它不仅象征着忠诚、长久的爱情，同时它的生命力很顽强，因此也是坚强的代表．除此之外，天鹅还是高空飞翔冠军，飞行高度可达9千米，能飞越世界最高山峰“珠穆朗玛峰”．如图是两只天鹅面对面比心的图片，其中间部分可抽象为如图所示的轴对称的心型曲线．下列选项中，两个函数的图象拼接在一起后可大致表达出这条曲线的是（ ） A. 及 B. 及 C 及 D. 及 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形的对称性与定义域特点选择合适的函数. 【详解】因为图形为轴对称图形，所以与对应的值相等，故函数为偶函数，只有A、C选项中函数均为偶函数，故排除B、D； 根据图象可知为封闭图形，的定义域有限，C中及定义域均为，不符合题意. 故选：A 7. 函数，且）最多有6个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数零点的定义结合函数与的图像性质，列式得出答案. 【详解】，则， 的最小正周期， 根据函数与的图像性质可得， 若函数，且）最多有6个零点， 当，则，解得， 当，则，解得， 故实数a的取值范围是， 故选：D. 8. 已知平面向量，，满足：，，夹角为，且.则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，可设，由向量的坐标运算可得，可转为在直线上取一点，使得最小，利用化曲为直的思想即可得到答案. 【详解】由题意知，可设，因为，夹角为，则点B在直线上，如图， 则，， ， 则的最小值可转化为在直线上取一点，使得最小，作点关于直线的对称点，则的最小值即为， 设点，则，解得，， 则， 故的最小值为. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算及向量的几何意义，属于中档题. 二、多选题 9. 已知互不相同的两条直线，和两个平面，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，且，则 D. 若，，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可得答案. 【详解】对于A，若，，则或与异面，故A不正确； 对于B，根据面面垂直的性质定理可知，B正确； 对于C，若，，且，则或与相交，故C不正确； 对于D，若，，则，过作平面，使得，因为，所以，所以，因为，所以.故D正确. 故选：BD 10. 某中学高三学生500人，其中男生300人，女生200人，现希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为171cm，方差为29cm2；女生身高样本均值为161cm，所有样本的方差为49cm2，下列说法中正确的是（ ） A. 男生样本容量为30 B. 每个男生被抽入到样本的概率均为 C. 所有样本的均值为167cm D. 女生身高的样本方差为19cm2 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接考查简单随机抽样的概念，分层抽样的概念判断A，B，根据均值公式判断C；利用男生、总体方差数据计算女生方差数据，可得D正确． 【详解】解：对于A选项，因为按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本， 所以，样本中，男生人数为人，故男生样本容量为30，A选项正确； 对于B选项，根据分层抽样定义，每个男生抽到的概率均相等，为，故B错误； 对于C选项，因为容量为50的样本，男生身高样本均值为171cm，女生身高样本均值为161cm，所以，所有样本的均值为cm ，故C正确； 对于D选项，设男生分别为，平均数，， 女生分别为，，，，平均数，， 总体的平均数为，方差为，则 因为 ， 而， 所以， 同理可得， 所以，解得，即女生身高的样本方差为19cm2，故D正确. 故选：ACD 11. 已知分别是内角的对边，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由题知，，进而得，再结合题意得，进而令，将问题转化为，再结合二次函数性质求解即可. 【详解】解：因为，， 所以， 所以 因为，且， 因为， 所以，故A选项错误；、 所以，， 所以，，即，故B选项正确； 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 令， 因为，所以， 所以，即， 所以， 所以，， 因为， 所以，即，故C正确，D错误. 故选：BC 12. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥外接球的表面积为9π C. 点C到平面AEF的距离为 D. 平面AEF截正方体所得的截面面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】假设，推出，又不可能有即可判断A选项；先求出外接球球心，进而求得外接球半径，求出表面积即可判断B选项；由等体积法即可判断C选项；先判断出截面形状，再求截面面积即可判断D选项. 【详解】 对于A，取中点，连接，由于是的中点，，而平面，则平面， 又平面，，若，又，平面，平面， 又平面，则，但正方形中，是中点，不可能有，则A错误； 对于B，连接交于点，则是的外心，取中点，连接，则， 又底面，则底面，又底面，则，则， 又可得，则即为三棱锥外接球的球心，又， 则外接球半径为，则外接球表面积为，B正确； 对于C，连接，，则， 则，则，，底面， 设点C到平面AEF的距离为，由可得，解得，C正确； 对于D，连接，易得，则，又， 则平面AEF截正方体所得的截面即为等腰梯形，， 则等腰梯形的高为，则等腰梯形的面积为，即截面面积为，D正确. 故选：BCD. 三、填空题 13. 设．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据充分不必要条件列不等式求解． 【详解】．若是的充分不必要条件，则且两等号不能同时取到，解得． 故答案为：． 14. 已知，，，则向量与的夹角为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量夹角公式进行求解即可. 【详解】设向量与的夹角为， 因为， 所以. 故答案为： 15. 复数是关于的方程的一个根，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】由根与方程的关系可得，解得即可计算出结果. 【详解】由题意可得，将代入方程可得 ，整理得； 由复数概念可得，解得， 所以. 故答案为：3 16. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在上有且只有3个零点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据图像平移得的解析式，然后将与代入得的解析式，通过恒等变换化简整理得，最后根据已知条件在存在三个零点得到满足的条件，解不等式组即可求出参数的取值范围. 【详解】由已知得， ， 令，则， 所以在上有且只有三个根， 分别为，，，接下来第四个根为 所以，解得， 所以的取值范围是， 故答案为： 四、解答题 17. 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知. （1）求B ； （2）若△ABC的面积,a= 10，求sin AsinC的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和诱导公式变形可求得的值，即可求解； （2）利用面积公式求出，利用余弦定理求出，再用正弦定理即可求解. 【小问1详解】 由题知， ， ，, 解得：或（舍去）， ，. 【小问2详解】 △ABC的面积， ，即， 解得：， 由余弦定理得：， 即， ， 由正弦定理知：， . 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，E，F分别为SD、BC的中点. （1）证明：平面SAB； （2）若平面SAD⊥平面ABCD，且是边长为2的等边三角形，.求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据题意，取SA中点M，连接BM，EM，即可证明MEFB为平行四边形，再由线面平行判定定理即可证明； （2）根据题意，取AD的中点N，连接SN，由线面垂直的判定定理即可得到SN⊥平面ABCD，再由三棱锥的体积公式即可得到结果. 【小问1详解】 证明：取SA中点M，连接BM，EM. 又E分别为SD的中点， 所以，且ME＝AD， 因为底面ABCD为菱形，F分别为BC的中点， 所以BF＝AD，， 所以，且ME＝BF. 所以MEFB为平行四边形. 所以. 又因为EF平面SAB，平面SAB， 所以平面SAB. 【小问2详解】 取AD的中点N，连接SN， 因为是边长为2的等边三角形，所以SN⊥AD， 因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，平面SAD， 所以SN⊥平面ABCD， 因为菱形ABCD中，，AD＝2， 所以， 因为SA＝AD＝SD＝2，N是AD的中点，易得SN＝. 所以三棱锥S﹣ABC的体积 V＝. 19. 某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)， [260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图： （1）求直方图中的的值 （2）估计月平均用电量的众数和中位数，第80百分位数． （3）从月平均用电量在[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]内的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，求从月平均用电量在[220，240)内的用户中应抽取多少户？ 【答案】（1） （2）众数、中位数、第80百分位数分别为230、224、253.33 （3）5 【解析】 【分析】（1）由各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1可得答案； （2）由直方图中最高矩形底边的中点得众数，在频率分布直方图中，中位数左边和右边直方图面积相等、第80百分位数左边面积占总面积的，据此可得答案； （3）利用频率估计月平均用电量为的居民在四组中所占比例，即可得答案. 【小问1详解】 因直方图中，各组数据频率之和为所有矩形面积之和为1， 则， 得. 【小问2详解】 月平均用电量的众数是＝230. 因前3个矩形面积之和为. 前4个矩形面积之和为. 则中位数在内，设为，则，得，即中位数为224. 因为前4个矩形面积之和为，前5个矩形面积之和为，则第80百分位数在[240，260)内， 设第80百分位数为，则，解得，即第80百分位数约为253.33. 【小问3详解】 月平均用电量为的居民对应的频率为：. 又由（2）分析可知，月平均用电量为的四组居民对应频率之和为：. 则应抽取居民的户数为：. 20. 10月9日晚，2022年世界乒乓球团体锦标赛在中国成都落幕.中国队女团与男团分别完成了五连冠与十连冠的霸业.乒乓球运动在我国一直有着光荣历史，始终领先世界水平，被国人称为“国球”，在某次团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜三局的团队获得比赛的胜利），假设在一局比赛中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛结果相对独立. （1）求这场选拔赛三局结束的概率； （2）若第一局比赛乙队获胜，求比赛进入第五局的概率. 【答案】（1）0.28 （2）0.432 【解析】 【分析】(1)根据题意，找出这场选拔赛三局结束事件，利用概率公式即可求解； (2)先找出满足条件的基本事件，然后利用概率公式即可求解. 【小问1详解】 设“第i局甲胜”为事件，“第j局乙胜”为事件（i，，2，3，4，5）， 记“三局结束比赛”，则， ∴ ； 【小问2详解】 设“第i局甲胜”为事件，“第j局乙胜”为事件（i，，2，3，4，5）， 记“决胜局进入第五局比赛”，则， ∴ . 21. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断函数在R 上的单调性，并用定义证明. （3）是否存在实数，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）是上的单调增函数，证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先利用奇函数的性质求出字母，然后检验； （2）根据函数单调性定义证明即可； （3）先假设存在，利用函数单调性结论得出两个等式，再结合两个等式的特点转化为一个方程，使用换元法可得一个一元二次方程两个不等正根的问题，结合一元二次方程根与系数关系即可求解. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 所以， 检验：因为，故满足题意 【小问2详解】 是上的增函数，证明如下： 设任意，，， ， ，∴，，，， ∴是上的单调增函数． 【小问3详解】 假设存在实数，使之满足题意． 由（2）可得函数在上单调递增， ∴，∴ ∴，为方程的两个根，即方程有两个不等的实根． 令，即方程有两个不等的正根． ，∴ 故存在，实数的取值范围为： 22. 如图①，在梯形中，，，，，分别是，上的点，，.沿将梯形翻折，使平面平面（如图②）. （1）判断平面与平面的位置关系，并说明理由； （2）作出二面角的平面角，说明理由并求出它的余弦值. 【答案】（1）平面平面，理由见解析 （2）图象见解析，理由见解析；余弦值为 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定证明平面，进而得到平面平面； （2）在平面中，过作且交于.在平面中，过作且交于，连接，根据线面垂直的性质，结合二面角的定义可判断即为二面角的平面角，再根据几何关系求解即可 【小问1详解】 平面平面，理由如下 在直角梯形中，，， 因为，故. 所以在折叠后的几何体中，有，， 而，故平面，又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 如图，在平面中，过作且交于. 在平面中，过作且交于，连接， 即为二面角的平面角， 因为平面平面，平面平面，平面，故平面，因为平面，故， 而，故平面， 又平面，故， 所以为二面角的平面角， 在平面中，因为，， 故， 又在直角梯形中，且， 故，故四边形为平行四边形， 故，， 在直角三角形中，，因为三角形内角， 故 故，故， 因为三角形内角，故 所以二面角的平面角的余弦值为 另解： 如图，在平面中，过作且交于. 在平面中，过作且交于，连接， 即为二面角的平面角， 因为平面平面，平面平面，平面， 故平面， 因为平面，故，而， 故平面， 又平面，故， 所以为二面角的平面角， 在平面中，因为，， 故， 又在直角梯形中，且， 故，故四边形为平行四边形， 故， 易知，所以 故 在中， 故 所以二面角的平面角的余弦值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$