精品解析：湖北省荆州市江陵中学2025届高三下学期2月月考数学试题

江陵中学2024-2025学年高三年级2月月考 数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，若为实数，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 3. 已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在平面直角坐标系中，满足不等式组的点表示的区域面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与曲线相切，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若在存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，是直线上的动点，在直线上的投影为，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了份，将得分（满分100分）进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，且竞赛成绩落在内的人数为10，则（ ） A. B. C. 估计参赛选手得分的平均分低于70分（同组数据用该组区间的中点值作代表） D. 估计参赛选手得分的中位数在内 10. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，点位于点右方，若，则下列结论一定正确的有（ ） A. B. C. D. 直线的斜率为 11. 已知函数（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 曲线在点处的切线方程为 C. 若，，则正实数的最小值为 D. 若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为__________． 13. 已知，若直线上有且只有一点满足，则______. 14. 记的内角的对边分别为且，则______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知，为边上一点，． （1）求； （2）若平分，求． 16. 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，，分别为线段和线段的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 某商场为了吸引顾客，邀请顾客凭借消费金额参与抽奖活动．若抽中金奖，则可获得15元现金；若抽中银奖，则可获得5元现金．已知每位顾客每次抽中金奖和银奖的概率分别为和，且每次中奖情况相互独立．现有甲、乙两位顾客参与该商场的抽奖活动，其中甲有2次抽奖机会，乙有1次抽奖机会． （1）求甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率； （2）记甲、乙两人抽奖获得的现金总金额为，求的分布列与期望． 18. 已知椭圆的左，右焦点分别为，下顶点为A，离心率，是椭圆上的动点，且当时，. （1）求椭圆的方程； （2）若的平分线经过点， ①证明：直线恒过定点； ②求面积的最大值. 19. 设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． （1）判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； （2）若函数是上的“函数”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江陵中学2024-2025学年高三年级2月月考 数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，若为实数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先计算化简，结合为实数求解. 【详解】因为  为实数， 可得 故选：A. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二倍角公式化简，再代入正切值求解 【详解】因为， 所以 故选： 3. 已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，即可求解. 【详解】由等差数列的性质可知， 所以 故选：C 4. 在平面直角坐标系中，满足不等式组的点表示的区域面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系来求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以不等式组表示的区域是圆与圆公共的内部区域， 画出图象如下图所示，，两圆半径都是， 设两个圆相交于两点，则， 由于，， 所以是圆的切线，是圆的切线， 同理是圆的切线，是圆的切线， ，所以四边形是正方形， 所以区域面积为. 故选：D 5. 若直线与曲线相切，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】通过设切点，利用导数的几何意义列出等式，再利用二次函数的性质求其最小值. 【详解】设直线与曲线的切点为. 对求导，根据，可得. 因为直线的斜率为，由导数的几何意义可知， 在切点处，即. 又因为切点既在直线上又在曲线上， 所以且，即. 将代入可得：，即. 将代入可得： ， 所以当，时，取得最小值为. 故选：A 6. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 7. 已知函数，若在存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出和时，函数的最小值，由题意，列出不等式，借助函数的单调性解不等式即可. 【详解】当时，单调递增， 所以当时，有最小值， 当时，单调递减， 所以，无最小值， 因为在存在最小值， 所以， 令， 因为和在上均单调递增， 所以在上均单调递增， 又因为， 所以当时，，即成立， 所以的解集为. 故选：D 8. 已知点，是直线上的动点，在直线上的投影为，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】在直角中，可知，把转化成，借助坐标表示，再转化成二次函数求最值即可. 【详解】 如图所示，因为在直线上的投影为，所以， 所以， 因为， 因为点在直线上，设， 所以， ， 所以， 由二次函数的性质可知，当时，有最小值， 所以的最小值为. 故选：B 【点睛】关键点睛：在直角中，由，把转化成是关键. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了份，将得分（满分100分）进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，且竞赛成绩落在内的人数为10，则（ ） A. B. C. 估计参赛选手得分的平均分低于70分（同组数据用该组区间的中点值作代表） D. 估计参赛选手得分的中位数在内 【答案】ABD 【解析】 【分析】由矩形的面积和为1可得A正确；由频率比组距可得B正确；由平均值的计算可得C错误；由中位数的计算可得D正确； 【详解】对于A、B，由， 得，则，故A，B正确； 对于C，估计参赛选手得分的平均分为x， 则，故C不正确； 对于D，因为，， 所以估计参赛选手得分的中位数在内，故D正确． 故选：ABD. 10. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，点位于点右方，若，则下列结论一定正确的有（ ） A. B. C. D. 直线的斜率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】设直线的方程为，不妨设，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，表达出， ，再由正弦定理得到，得到 ，代入两根之和，两根之积，列出方程，求出，进而求出，根据 可判断根据可判断根据可判断根据对称性判断． 【详解】解：由题意得，，， 当直线的斜率为时，与抛物线只有个交点，不合要求， 故设直线的方程为，不妨设， 联立，可得，易得， 设，，则，， 则，， 则，， 由正弦定理得，， 因为，， 所以，  ， 即． 又由焦半径公式可知， 则，即， 即，解得， 则，，解得，， 故， 当时，同理可得到，故A正确 ． ，故B正确 ，故C正确 当时，，则 ，即 ， 此时 ． 由对称性可得，当时，， 故直线的斜率为，故D错误． 故选：ABC. 【点睛】方法点睛： 在处理有关焦点弦，以及焦半径问题时长度问题时有以下几种方法； （1）常规处理手段，求交点坐标然后用距离公式，含参的问题不适合； （2）韦达定理结合弦长公式，这是此类问题处理的通法； （3）抛物线定义结合焦点弦公式. 11. 已知函数（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 曲线在点处的切线方程为 C. 若，，则正实数的最小值为 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：对函数求导，利用导数判断函数单调性；对于B：根据导数的几何意义求切线方程；对于C：根据题意结合的单调性可得，构建，利用导数求最值即可；对于D：同构可得，结合单调性分析可得，再根据极值点偏离分析证明. 【详解】对于选项A：因为函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，故A错误； 对于选项B：因为， 即切点坐标为，切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，故B正确； 对于选项C：因为，则， 若，且在内单调递增， 可得，即， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 可得，所以正实数的最小值为，故C正确； 对于选项D：若，显然， 可得，即， 由选项C可知：，则，即， 结合的单调性可知， 构建， 则， 可知在内单调递增，则， 即，可得，即， 且在内单调递减，则， 所以，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：1.两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 2．利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式； 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为__________． 【答案】28 【解析】 【分析】由，利用二项展开的通项公式求解即可. 【详解】由， 则， 上式二项展开的通项为：. 令，可得. 故答案为：28. 13. 已知，若直线上有且只有一点满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据求出点的轨迹方程，再根据直线与圆相切，求出参数的值. 【详解】设，由，则， 整理得，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 因为直线上有且只有一点满足， 即直线与有且只有一个交点， 所以，解得. 故答案为： 14. 记的内角的对边分别为且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】切化弦后结合正余弦定理可得，故可求. 【详解】因为， 故， 所以， 整理得到：，故， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知，为边上一点，． （1）求； （2）若平分，求． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式以及辅助公式化简等式，可得，从而可求出； （2）根据平分，可得，由面积相等得解，再利用余弦定理可求的值． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 则， 即， 因为，所以，所以，即． 又因为，所以． 【小问2详解】 因为平分，所以，即， 由面积相等得， 解得，所以． 由余弦定理得，所以． 16. 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，，分别为线段和线段的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）连结． 因为四边形为菱形，所以．因为，所以为正三角形． 因为为中点，所以． 因为且为中点，所以． 又因为，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直判定定理及面面垂直的判定定理证明即可； （2）应用等体积得出再根据线面角定义得出正弦值即可；空间向量法得出线面角正弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面． 法一：延长交于点，连结． 因为四边形为菱形，所以且． 因为为中点，所以且，所以为中点． 因为为中点，所以， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角． ． 设到平面的距离为， ，所以． 在中，，则． 设与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 法二：因为，平面，所以两两垂直． 以为原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 因为为中点，所以． 则． 设平面的法向量为， 所以，则，即， 令，则平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 某商场为了吸引顾客，邀请顾客凭借消费金额参与抽奖活动．若抽中金奖，则可获得15元现金；若抽中银奖，则可获得5元现金．已知每位顾客每次抽中金奖和银奖的概率分别为和，且每次中奖情况相互独立．现有甲、乙两位顾客参与该商场的抽奖活动，其中甲有2次抽奖机会，乙有1次抽奖机会． （1）求甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率； （2）记甲、乙两人抽奖获得的现金总金额为，求的分布列与期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）通过互斥事件的概率加法公式可求得答案； （2）的所有可能取值为15，25，35，45，进而通过独立事件与互斥事件的概率公式求出相应的概率，进而得到分布列，最后求出期望. 【小问1详解】 若甲抽中2次银奖，则由甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额，可知乙也得抽中银奖，此时概率． 若甲至少抽中1次金奖，则甲抽奖获得的现金金额一定大于乙抽奖获得的现金金额，此时概率． 故甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率． 【小问2详解】 记甲、乙两人抽奖获得的现金金额分别为，则． 由题可知，，， ，， 则，，，． 的分布列为 15 25 35 45 ． 18. 已知椭圆的左，右焦点分别为，下顶点为A，离心率，是椭圆上的动点，且当时，. （1）求椭圆的方程； （2）若的平分线经过点， ①证明：直线恒过定点； ②求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）①由的平分线经过点，得到的斜率都存在且不相等，点A的坐标为，设， 点的坐标为，所以，化简得到 由已知得直线的不平行于轴，设的方程为， 联立方程组，得 ， 由，得到， 所以， 得， 根据韦达定理得， 化简得，即或. 又当时，直线经过点A，不符合题意， 所以，直线经过定点， ②. 【解析】 【分析】（1）由离心率可得，然后由可得椭圆方程； （2）①设，由角平分线性质可得， 然后设的方程为，由韦达定理结合可得 ，据此可得答案；②由①结合韦达定理可得面积表达式， ，然后由基本不等式可得答案. 【小问1详解】 因为离心率，所以， 所以，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①略 ②将代入方程①得， 由，解得. . 则， 当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为. 【点睛】关键点睛：对于角平分线，常见的处理方式为利用斜率，或类似于本题将角平分线条件转化为角平分线距离到角两边距离相等. 19. 设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． （1）判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； （2）若函数是上的“函数”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：，． 【答案】（1）是上的“函数”，理由如下： 因为，则， 因为，． 又，所以， 所以对于任意恒成立． 故是上的“函数”． （2）（ⅰ）； （ⅱ）由（ⅰ）知，． 对，． 下面证：，， 即证，． 设，则，所以在上单调递增， 又，所以成立． 所以时，不等式成立． 所以，成立． 【解析】 【分析】（1）求出，结合题中定义验证即可； （2）（ⅰ）分析可知，任意的恒成立．时，可得，时，可得出，时，可得出，利用导数分析函数在区间、上的单调性，综合可得出实数的取值范围； （ii）由题意可得，．利用导数先证明：，，即证，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，求其最小值，即可证得结论成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）， 由条件得对任意的恒成立， 即任意的恒成立． ①当时，对一切成立． ②当时，恒成立． 设，则对任意的恒成立， 所以在上单调递减，可得． ③当时，由恒成立． 设，则，所以在上单调递减， 可得． 综上所述，的范围是． （ⅱ）略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $