精品解析：安徽省合肥市庐江县柯坦初级中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

柯坦中学九年级下学期月考 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据两个数的乘积为1求解即可． 【详解】解：的倒数是5， 故选：D 2. 今年安徽省政府工作报告明确提出，2025年，将着力稳面积、提单产、增效益，全年粮食播种面积1.1亿亩，产量825亿斤以上，“825亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：825亿， 故选A． 3. 如图所示的杯子，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题关键．从左面观察几何体，能够看到的线用实线，看不到的线用虚线． 【详解】解：如图所示的杯子，它的左视图是， 故选：C． 4. 计算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，关键是掌握计算法则． 利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 5. 某班级举办了一次生物实验操作竞赛，满分10分，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）：甲：4，6，7，9，9，10；乙：6，6，8，8，8，9．其中9分及9分以上为优秀，则下列说法正确的是（ ） A. 甲组平均成绩高于乙组 B. 甲组成绩比乙组更稳定 C. 甲组成绩中位数与乙组相同 D. 乙组成绩优秀率更高 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差、中位数以及优秀率，掌握各自的定义以及计算公式是解题的关键． 分别求出甲、乙两组学生成绩的平均数、方差、中位数以及优秀率即可． 【详解】解：甲组平均成绩为：分， 乙组平均成绩为：分， ∴甲组平均成绩等于乙组，A选项说法错误，不符合题意； 甲组成绩的方差为：， 乙组成绩的方差为：， ∴乙组成绩比甲组更稳定，B选项说法错误，不符合题意； 甲组成绩中位数为：， 乙组成绩中位数为：， ∴甲组成绩中位数与乙组相同，C选项说法正确，符合题意； 甲组成绩优秀率为：， 乙组成绩优秀率为：， ∴甲组成绩优秀率更高，D选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 6. 正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，则（其中）的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意，画出草图，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：由题意，作图如下： 由图象可知：的解集为：； 故选B． 7. 如图，在中，，是边上一点，且，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，三线合一，勾股定理的应用，根据题意，过点作交于点，根据题意，则，根据勾股定理求出，再根据，即可． 【详解】解：过点作交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8. 已知实数满足，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解不等式，先由得，代入求解不等式组，再逐个选项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A选项错误，不符合题意； ∴， ∴， ∴， 故B选项正确，符合题意； ∵，， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵，， ∴，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 9. 如图，线段与相交于点，连接，则下列各组条件中，不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，分别根据各选项给出的条件证三角形全等，进而可得对应的角相等，即可判断． 【详解】解：A、如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴选项A不符合题意； B、， ， 如图，作交延长线于点， ， ∴四边形是平行四边形， ， 又， ， ， ∴选项B不符合题意； C、∵， ∴， 在和中， ， ∴， ， ∴选项C不符合题意； D、在和中， ， ∴， ，，不能证明， ∴选项D符合题意． 故选：D． 10. 已知矩形，等腰直角斜边．如图1，先将矩形边放在的斜边上，点与点重合，然后向右平移（如图2），直至点与点重合时停止（如图3）．设平移距离为，矩形与重合部分的面积为，那么关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，二次函数的图象与性质，分，两种情况分别求面积即可． 【详解】解：当时，如图，此时在线段上，与交于，与交于， ∵等腰直角，矩形， ∴， ∴，， ∴矩形与重合部分的面积为； 当时，如图，此时在线段外，与交于，与交于， 同理可得，， ∴矩形与重合部分的面积为； 综上，故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 函数的自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围．根据分母不能为零，可得答案． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， 故答案为：． 12. 抛掷一枚硬币两次，两次得到正面向上的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及两次都是正面向上的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 共有4种等可能的结果，其中两次都是正面向上的结果有1种， ∴两次都是正面向上的概率为． 故答案为：． 13. 某汽车销售4S店10月份销售某型号新能源汽车20辆，由于该型号汽车优越的经济适用性，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．设该4S店销售该型号汽车11月份和12月份的平均增长率为，根据题意可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用12月份该公司销售该型号汽车的数量10月份该公司销售该型号汽车的数量（增长率），即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕为交于点，连接交于点． （1）的值是__________； （2）连接，若，则的长为__________． 【答案】 ①. ②. 5 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，矩形与折叠； （1）作于点，先证明四边形为矩形，得到，再证明，得到； （2）由得到，再由，得到，设，则，在中，利用勾股定理列方程得到即可得到的值． 【详解】解：（1）作于点，则， 由折叠可得， ∵矩形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ， ； （2） ， ∵，， ， 设，则 ， 则在中，，即， 得 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，先根据绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值进行计算，最后算加法即可． 【详解】解： ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先将化简，再把代入即可求解，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： 当时，原式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在边长为1的正方形的网格中，已知四边形及直线，且点在直线上． （1）画出四边形关于直线的对称图形四边形； （2）将四边形绕着点逆时针旋转，画出旋转后的四边形，并写出线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查的是作图-轴对称变换，作图-旋转变换． （1）作出各点关于直线l的对称点，再顺次连接即可； （2）根据旋转性质画出图形，再根据勾股定量求出的长度即可． 【小问1详解】 解：如图所示，四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，四边形即为所求， 由图可得：． 18. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： （1）根据上述等式中的规律，写出第10个等式； （2）写出第个等式，并说明它的正确性． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查数字的变化类规律． （1）根据所给的等式的形式进行解答即可； （2）先写出等式，再展开，合并同类项，即可得证． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 证明：右边， 左边， ∴左边=右边， ∴正确． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 下面为某中学科学探索小组学生在完成“测量南淝河两岸距离”之后撰写的项目报告（部分）． 项目主题 测量南淝河两岸距离 项目背景 南淝河是合肥的母亲河，对其两岸距离的精确测量，有助于河道生态保护、景观规划以及桥梁建设等工作的开展．某中学科学探索小组决定开展测量南淝河两岸距离的实践活动． 测量工具 测角仪，卷尺 测量示意图 测量过程 1．在南淝河南岸的点处放置测角仪，从点处测得北岸点的夹角； 2．使用卷尺从点处沿南岸方向量取12米，到达点，在点处放置测角仪，从点处测得北岸点的夹角． 请你根据报告中的测量数据，计算南淝河两岸之间的距离．（精确到1米．参考数据：，） 【答案】南淝河两岸之间的距离为48米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，一元一次方程的应用，过点作于点，设米，则，，根据米得关x的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 设米， 在中，， 米， 在中，， 米， 米， ， 解得， 答：南淝河两岸之间的距离为48米． 20. 如图，在以为直径的半中，为半圆上两点（点在之间），交的延长线于点，连接．已知是半的切线． （1）求证：； （2）若，求直径的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质； （1）由切线可得，得到，根据垂径定理得到； （2）由得到，得到，再在中，，则，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， 是半切线， ， 又， ， 是直径， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ∴在中，，则， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， 即的直径的长为4． 六、（本题满分12分） 21. 某公司从该公司技术工人中，推选一人参加省级技工技能操作大赛，初选由200名员工投票推荐，每名员工推荐一人，根据投票结果绘制如图1的扇形统计图（所有投票都有效）． 任务1：得票最多的三人分别是甲、乙、丙，他们所得的票数分别是：甲的票数__________张，乙的票数__________张，丙的票数__________张． 公司以甲、乙、丙三人为候选人，再进行理论笔试和实际操作两项考核，三人成绩如下表所示： 考核项目 考核成绩/分 甲 乙 丙 笔试 92 90 95 操作 85 95 80 任务2：图2是三人两项考核成绩不完整的复式条形统计图，请补全图2； 若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、操作三项得分按照的比例计算平均成绩，成绩最高的一人将获得参赛名额． 任务3：请通过计算确定，谁将获得参赛名额？ 请完成以上所有任务． 【答案】任务1：68，60，56；任务2：见解析；任务3：乙的最后成绩最高，乙将获得参赛名额 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及加权平均数的求法． 任务1：由题意结合扇形统计图可分别求得三人的得票百分比，再乘以总数即可； 任务2：根据表格据补全条形统计图即可； 任务3：由题意可分别求得三人的得分，比较得出结论． 【详解】解：任务1：甲的票数是：（票）， 乙的票数是：（票）， 丙的票数是：（票）， 故答案为：68，60，56； 任务2：补全图2如下： 任务3：甲的平均成绩：， 乙的平均成绩：， 丙的平均成绩：， 乙最后成绩最高，乙将获得参赛名额． 七、（本题满分12分） 22. 在矩形中，点在边上，，过点作交的延长线于点，连接． （1）如图，求证：； （2）如图，连接交于点，若． （）求证：； （）求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（）证明见解析；（） 【解析】 【分析】（）利用矩形的性质可得，，又由平行线的性质得，，进而由可得，，即得，即可求证； （）（）连接，可证四边形为平行四边形，得到 ，，进而可得，，即得四边形为平行四边形，即可求证；（）由（），即得，设，，则，由得，即得，又由得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 （）证明：连接， ，， ∴四边形为平行四边形， ，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴； （）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 设，，则， ∵， ∴， 又∵， ， ， 即， 解得， 又， ∴， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 若是正数，直线与轴交于点，抛物线的顶点为，与正半轴交于点． （1）当点在直线上时，求的值； （2）（i）当时，求点与距离的最大值； （ii）当时，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）（i）1；（ii） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质； （1）先求出顶点的坐标为，再根据点在直线上得到解方程即可； （2）（i）设点到直线的距离为，则结合求最大值即可； （ii）先求出，得到，，再由列方程求解即可． 【小问1详解】 解： 顶点的坐标为， 当点在直线上时， 解得或 当时，代入得，， 解得， ∵与正半轴交于点， ∴ ； 【小问2详解】 解：（i）设点到直线的距离为． 当时，，点在直线下方， 最大值是1， 即点与距离的最大值是1； （ii）∵直线与轴交于点， ， ∵点的坐标为， ∴， ∵ ， ， 整理得， 得，解得， ∵， ∴ 点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 柯坦中学九年级下学期月考 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 5 2. 今年安徽省政府工作报告明确提出，2025年，将着力稳面积、提单产、增效益，全年粮食播种面积1.1亿亩，产量825亿斤以上，“825亿”用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 3. 如图所示的杯子，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 计算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某班级举办了一次生物实验操作竞赛，满分10分，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）：甲：4，6，7，9，9，10；乙：6，6，8，8，8，9．其中9分及9分以上为优秀，则下列说法正确的是（ ） A. 甲组平均成绩高于乙组 B. 甲组成绩比乙组更稳定 C. 甲组成绩中位数与乙组相同 D. 乙组成绩优秀率更高 6. 正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，则（其中）的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，是边上一点，且，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，线段与相交于点，连接，则下列各组条件中，不能判断的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知矩形，等腰直角斜边．如图1，先将矩形边放在的斜边上，点与点重合，然后向右平移（如图2），直至点与点重合时停止（如图3）．设平移距离为，矩形与重合部分的面积为，那么关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 函数自变量的取值范围是________． 12. 抛掷一枚硬币两次，两次得到正面向上的概率是__________． 13. 某汽车销售4S店10月份销售某型号新能源汽车20辆，由于该型号汽车优越的经济适用性，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．设该4S店销售该型号汽车11月份和12月份的平均增长率为，根据题意可列方程为__________． 14. 如图，在矩形中，，将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕为交于点，连接交于点． （1）的值是__________； （2）连接，若，则的长为__________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16 先化简，再求值：，其中． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在边长为1的正方形的网格中，已知四边形及直线，且点在直线上． （1）画出四边形关于直线的对称图形四边形； （2）将四边形绕着点逆时针旋转，画出旋转后的四边形，并写出线段的长度． 18. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： （1）根据上述等式中的规律，写出第10个等式； （2）写出第个等式，并说明它的正确性． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 下面为某中学科学探索小组的学生在完成“测量南淝河两岸距离”之后撰写的项目报告（部分）． 项目主题 测量南淝河两岸距离 项目背景 南淝河是合肥的母亲河，对其两岸距离的精确测量，有助于河道生态保护、景观规划以及桥梁建设等工作的开展．某中学科学探索小组决定开展测量南淝河两岸距离的实践活动． 测量工具 测角仪，卷尺 测量示意图 测量过程 1．在南淝河南岸的点处放置测角仪，从点处测得北岸点的夹角； 2．使用卷尺从点处沿南岸方向量取12米，到达点，在点处放置测角仪，从点处测得北岸点夹角． 请你根据报告中测量数据，计算南淝河两岸之间的距离．（精确到1米．参考数据：，） 20. 如图，在以为直径的半中，为半圆上两点（点在之间），交的延长线于点，连接．已知是半的切线． （1）求证：； （2）若，求直径的长． 六、（本题满分12分） 21. 某公司从该公司技术工人中，推选一人参加省级技工技能操作大赛，初选由200名员工投票推荐，每名员工推荐一人，根据投票结果绘制如图1的扇形统计图（所有投票都有效）． 任务1：得票最多的三人分别是甲、乙、丙，他们所得的票数分别是：甲的票数__________张，乙的票数__________张，丙的票数__________张． 公司以甲、乙、丙三人为候选人，再进行理论笔试和实际操作两项考核，三人成绩如下表所示： 考核项目 考核成绩/分 甲 乙 丙 笔试 92 90 95 操作 85 95 80 任务2：图2是三人两项考核成绩不完整的复式条形统计图，请补全图2； 若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、操作三项得分按照的比例计算平均成绩，成绩最高的一人将获得参赛名额． 任务3：请通过计算确定，谁将获得参赛名额？ 请完成以上所有任务． 七、（本题满分12分） 22. 在矩形中，点在边上，，过点作交的延长线于点，连接． （1）如图，求证：； （2）如图，连接交于点，若． （）求证：； （）求的值． 八、（本题满分14分） 23. 若是正数，直线与轴交于点，抛物线的顶点为，与正半轴交于点． （1）当点在直线上时，求的值； （2）（i）当时，求点与距离的最大值； （ii）当时，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$