河北省石家庄市无极县石家庄实验中学2025届高三第一次调研考试数学试题

石家庄实验中学2025届高三年级第一次调研考试 数学参考答案 一．选择题： 1.D 2.A 3.C 4.A 5.B 6.C 7.D 8.B 二．选择题： 9．BC 10．CD 11．ABD 三．填空题： 12． 13． 14． 16． 四．解答题： 15．（1）因为，所以， 则，化简得，， 因为，所以，即. 又因为，所以； （2）因为为中点，所以， 两边平方可得，，即① 在中，由余弦定理得② 联立①②可得，，所以，故. 所以的周长为. 16．（1）根据题意有. 设， 则， 由可得，即. 又由抛物线的几何性质可知. 故. （2） 根据条件设直线的方程为， 与的方程联立并化简有. ， 结合（1）中所设点坐标可知， ， 由可得，. 代入得， 所以点坐标为. 17．（1）证明：过作于， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以，又平面，平面， 所以，因为平面，且 所以平面，平面， 因此． （2）如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 记二面角为，设，由法一可知， ，， ， 设面的法向量为，则， 即，令，得， 又面的法向量为， 记二面角为，则， 所以， 解得，则， 所以. 18．（1）的定义域为， ∴当时，；当时，. 即的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）要证，即证，令，即证， ，令，则，则在上单调递减，又， 当时，；当时，. 在上单调递增，在上单调递减， ，∴，即得证； （3）当时，，即存在满足题意； 当时，由（2）可知， ， 此时恒成立，不满足题意. 综上，所以的最大值为. 19．若点，相关，则，，而， 不妨设， 则由定义可知， 化简变形可得， （1）对于①，；对应坐标取绝对值，代入可知成立，因此相关； ②对应坐标取绝对值，代入可知，因此不相关. （2）（）在第一象限内，，可知且，有个点；同理可知，在第二象限、第三象限、第四象限也各有个点. 在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件； 在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件； 原点满足条件； 因此集合中共有个点与点相关. （）若两个不同的点，相关，其中，，，， 可知. 下面证明. 若，则，成立； 若，则， 若，则，亦成立. 由于， 因此最多有个点两两相关，其中最多有个点在第一象限；最少有1个点在坐标轴正半轴上，一个点为原点. 因此中元素个数的最大值为. 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石家庄实验中学2025届高三年级第一次调研考试 数 学 命题：高三数学 考试时间：120分钟 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他案标号。回答非选择题时,将案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知，则 A． B． C． D． 3．已知平面向量满足，则 A．3 B． C． D．1 4．已知圆与直线相切于点，且圆过点，则圆的半径是 A． B． C．8 D．9 5．已知，且，，其中，则 A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为 A． B． C． D． 7．若数列的前项和为，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 8．超市举办抽奖活动．箱子里装有十张参与奖与两张100元代金券．顾客第一次可使用5积分进行一次抽奖，若摸中100元代金券则结束，若摸中参与奖则可将奖券放回并花费2积分再抽一次．若紫阿姨铁了心也要抽中100元代金券，则她所花费积分的数学期望为 A．12 B．15 C．17 D．20 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数与所用时间（单位：）的5组数据为：，根据以上数据可得经验回归方程为：，则 A． B．回归直线必过点 C．加工60个零件的时间大约为 D．若去掉，剩下4组数据的经验回归方程会有变化 10．已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是 A． B．存在点满足 C．直线与直线的斜率之积为 D．若△的面积为，则点的横坐标为 11．已知 ， ，且 则以下正确的是 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为 . 13．如图，正四面体的体积为，、是棱、靠近点的三等分点，是棱靠近点的三等分点，是棱靠近点的三等分点，则多面体体积为 .    14．若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在三角形中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，设为的中点，且，求三角形的周长. 16．（15分）已知抛物线的焦点为，设为上不重合的三点，且. (1)求； (2)若均在第一象限，且直线的斜率为，求的坐标. 17．（15分）已知三棱锥中，平面平面，平面． （1）求证： （2）若二面角的正弦值为，且，，求． 18．（17分）已知函数，其中为自然对数的底数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：； (3)设，若存在实数使得，求的最大值. 19．（17分）在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义．任取点，，记，，若此时成立，则称点，相关． （1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； ①，；②，． （2）给定，，点集． （）求集合中与点相关的点的个数； （）若，且对于任意的，，点，相关，求中元素个数的最大值． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$