精品解析：河南省新乡市长垣市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024—2025学年上学期期末考试试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题3分，共30分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，为了估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玥同学在池塘一侧选取一点O，测得OA=12米，OB=7米，则A，B间的距离不可能是（　　） A. 5米 B. 7.5米 C. 10米 D. 18.9米 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则此多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 六边形 D. 八边形 5. 如图，已知在中，点、分别为、的中点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中分别平分、，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 24 9. 从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ） A B. C. D. 10. 如图，等腰三角形底边长为8，面积是48，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A 12 B. 14 C. 16 D. 18 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若使分式有意义，则的取值范围是_____． 12. 已知非零有理数满足，则_____． 13. 如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若的周长为12，的周长为20，则AE的长为______． 14. 如图，_____度． 15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是__． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）解方程： 17. （1）运用平方差公式计算：； （2）已知，求的值． 18. 化简 （1）； （2） 19. 如图，点是的边上一点，． （1）①在图中作出的角平分线，交于点； ②求证：等腰三角形； （2）在（1）的条件下，若．求的面积． 20. 如图，中，，，点D、E分别在、上，且，若． （1）求证：； （2）求的长． 21. 某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵8元，用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同． （1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？ （2）计划购买这两种商品共80件，且投入的经费不超过3600元，那么最多可购买多少件甲种商品？ 22. 如图1，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，连接． （1）①求证：； ②求的度数； （2）如图2，若为中边上高，，，请直接写出四边形的面积． 23. 【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为，从而得到的取值范围是________________________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年上学期期末考试试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题3分，共30分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 如图，为了估计池塘岸边A，B两点间距离，小玥同学在池塘一侧选取一点O，测得OA=12米，OB=7米，则A，B间的距离不可能是（　　） A. 5米 B. 7.5米 C. 10米 D. 18.9米 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可以求得AB的取值范围，即可进行判断． 【详解】解：由题意可知， ∴， 即：， ∴A选项不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系，重点在于利用三边关系求得第三边取值范围． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂除法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据积的乘方、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂除法法则逐项判断即可解答． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意． 故选D． 4. 若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则此多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 六边形 D. 八边形 【答案】C 【解析】 【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n-2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值． 【详解】设这个多边形是n边形，根据题意，得 （n-2）×180°=2×360， 解得：n=6． 即这个多边形为六边形． 故选C． 【点睛】此题考查多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键． 5. 如图，已知在中，点、分别为、的中点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，据此即可解答． 【详解】解：∵在中，点为的中点， ∴ ∵在，点为的中点 ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，三角形的中线把三角形分成同高等底的两个三角形，两个三角形的面积相等且都等于原三角形面积的一半． 6. 如图，已知，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即，直角三角形可用定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据三角形全等的判定定理：逐一判断即可． 【详解】解：A、， ，故A选项不符合题意； B、∵， ∴， ， ，故B选项不符合题意； C、∵ ， ∴，故C选项不符合题意； D、，，不能判断，故D选项符合题意， 故选：D． 7. 如图，中分别平分、，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【点睛】本题考查了三角形内角和定理与角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理； 根据角平分线的定义得，，然后根据，利用三角形内角和可得，从而得到，再根据三角形内角和得到． 【详解】解：中，． ． 平分，平分． ，． ． 在中，． 故选：C． 8. 已知，，则（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练运用幂的运算法则理清指数的变化是解题的关键； 根据幂的运算法则将变形，将其转化为与已知条件，相关的形式，即把变形为，然后代入进行计算即可． 【详解】∵，， ∴． 故选：B． 9. 从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．分别表示出两个图形阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】图甲中阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴可以验证成立的公式为． 故选：D． 10. 如图，等腰三角形的底边长为8，面积是48，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，利用轴对称求最短路径，解题的关键是掌握轴对称的性质． 连接，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据三角形的面积公式求出的长，即可求解． 【详解】连接，与的交点为， ， 是的垂直平分线， 点与点关于直线对称， ， 此时周长最小， 是等腰三角形，是的中点， ， 长为，面积是48， ， 周长最小， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若使分式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式的分母不为零”是解本题的关键． 由分母不为零可得，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得，解得， 故答案为：． 12. 已知非零有理数满足，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解和分式的化简，掌握完全平方公式进行因式分解是解题关键； 先根据求出x、y的关系，然后代入约分即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若的周长为12，的周长为20，则AE的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据基本作图可判断MN为AB的垂直平分线，则根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，AE=BE，则利用AC+CD+AD＝12得到AC+CD+BD＝12，即AC+BC＝12，再结合△ABC的周长即可求得答案． 【详解】解：由作法可得MN为AB的垂直平分线， 则DA＝DB， ∵△ADC的周长为12， ∴AC+CD+AD＝12， ∴AC+CD+BD＝12， 即AC+BC＝12， 又∵△ABC的周长＝AC+BC+AB＝20， ∴AB＝20－12＝8， ∵MN垂直平分AB， ∴AE=AB=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图(作已知线段的垂直平分线)，线段垂直平分线的性质．熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键． 14. 如图，_____度． 【答案】360 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角性质和四边形内角和定理，解题关键是利用三角形外角性质将所求的六个角转化为四边形的四个内角． 首先根据三角形外角的性质可知，这几个角是一个四边形的四个内角，再根据四边形的内角和即可求解． 【详解】解：设与交点为，与交点为， 在中，； 在中，． ∵， ∴． 故答案为：360． 15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是__． 【答案】110°或80°##80°或110° 【解析】 分析】分为三种情况：①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA＝DE时，求出∠DAE＝∠DEA＝70°，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA＝ED时，求出∠DAC，求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠ADB． 【详解】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝40°， ①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°， ∵∠AED＞∠C， ∴此时不符合； ②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝ （180°﹣40°）＝70°， ∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°； ∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°； ③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°， ∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°， ∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°； ∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是110°或80°， 故答案为：110°或80°． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，全三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂，解分式方程，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算零指数幂和负整数指数幂，再计算减法即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 即分式方程的解为． 17. （1）运用平方差公式计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键． （1）利用平方差公式计算即可； （2）利用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， 18. 化简 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式，再合并同类项即可； （2）先对括号内通分计算，再将除法化为乘法约分化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，点是的边上一点，． （1）①在图中作出的角平分线，交于点； ②求证：为等腰三角形； （2）在（1）条件下，若．求的面积． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图——角平分线，等腰三角形判定和性质，直角三角形的性质等知识，掌握等腰三角形三线合一的性质以及直角三角形的性质是解题关键． （1）①根据角平分线的作法作法即可； ②根据平行线的性质和角平分线的定义，得出，即可证明结论； （2）过点作于点，根据30度所对的直角边等于斜边的一半，得到，再由勾股定理得到，根据等腰三角形的性质，得出，即可求出的面积． 【小问1详解】 解：①如图，即为所求作； ②， ， 平分， ， ， ， 为等腰三角形； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ， ， ， ， 由①可知，为等腰三角形， ， ． 20. 如图，中，，，点D、E分别在、上，且，若． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质可得，结合，然后利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质可得，，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答， 【小问1详解】 ， ， ，，， ， 在和中 ， 【小问2详解】 ∵， ∴，， ∵， ， ， ， ． 21. 某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵8元，用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同． （1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？ （2）计划购买这两种商品共80件，且投入的经费不超过3600元，那么最多可购买多少件甲种商品？ 【答案】（1）每件甲种商品的价格为48元，每件乙种商品的价格为40元 （2）最多可购买50件甲种商品 【解析】 【分析】（1）设每件乙种商品的价格为元，每件甲种商品的价格为元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设购买件甲种商品，则购买件乙种商品，根据题意，列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 设每件乙种商品的价格为元，每件甲种商品的价格为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：每件甲种商品的价格为元，每件乙种商品的价格为元． 【小问2详解】 设购买件甲种商品，则购买件乙种商品， 依题意得：， 解得：， ∴m的最大值为50． 答：最多可购买50件甲种商品． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． 22. 如图1，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，连接． （1）①求证：； ②求的度数； （2）如图2，若为中边上的高，，，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）①证明见解析；② （2）35 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，利用手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． （1）①利用证明，即可证明结论；②由全等三角形的性质得到，由等腰直角三角形的性质得到，则由平角的定义得到，利用角的和差求出答案； （2）由得出，然后判定出，再得出，再根据四边形的面积的面积的面积，通过计算即可解答． 【小问1详解】 ①证明：∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∵均为等腰直角三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴，        ∴； 【小问2详解】 ， ，， 在中，，， ， ， ， ∵，， ∴； 由（1）得， ∴四边形的面积的面积的面积 ． 23. 【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为，从而得到的取值范围是________________________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）证明：延长至点，使得，连接，如图所示： 由题意得：， ∵，, ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， 由（2）可得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$