精品解析：内蒙古自治区赤峰市元宝山区元宝山区第一中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题

2024—2025学年第一学期期末学业质量检测 高二数学试题（选择性必修1+选择性必修2第四章） 本试卷共8页，19小题，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目固定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（ ） A. 或1 B. C. D. 1 2. 已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，且，则点P到y轴的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 焦点在y轴上的双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且虚半轴长为2，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆与轴交于点A，B，把线段AB分成6等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，，，，，是椭圆C的右焦点，则（ ） A. 20 B. C. 36 D. 30 6. 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（，）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 记等差数列的前n项和为，已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 10. 已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（ ） A. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x B. 以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C. 点P的横坐标为±1 D. △PF1F2的面积为 11. 数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为等比数列 B. C. 若，则为等差数列 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为关于平面的对称点，为关于轴的对称点，则__________. 13. 表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为，则____________． 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … … 14. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推火这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2.当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上. （1）建立适当的坐标系，求此椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点且斜率为的直线，交椭圆于两点，求弦的长. 16. 已知数列为等差数列，，数列中，点在直线上，其中是数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的最大项． 17. 已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设经过点的直线与曲线相交于，两点，经过点，且为常数）的直线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为的中点，点G在上且 （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值； （3）求平面与平面所成的二面角的正弦值． 19. 已知双曲线的离心率为2，焦点到一条渐近线的距离为． （1）求双曲线C的方程； （2）若过双曲线的左焦点F且斜率不存在的直线l交双曲线于A，B两点，求； （3）若过双曲线的左焦点F的直线l交双曲线于A，B两点，交y轴于P，设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期末学业质量检测 高二数学试题（选择性必修1+选择性必修2第四章） 本试卷共8页，19小题，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目固定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（ ） A. 或1 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 2. 已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，且，则点P到y轴的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线定义求出点的坐标即可得解. 【详解】抛物线的准线方程为，设点， 由，得，解得，则，解得， 所以点P到y轴的距离为. 故选：D 3. 在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理，结合中点的性质求解即可 【详解】 ， 其中 为中点，有 ，故可知 ， 则知 为 的中点，故点 满足 ， ． 故选：A 4. 焦点在y轴上的双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且虚半轴长为2，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，进而求出双曲线方程. 【详解】令双曲线的实轴长为，焦距为，而虚轴长， 依题意，，即，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C 5. 已知椭圆与轴交于点A，B，把线段AB分成6等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，，，，，是椭圆C的右焦点，则（ ） A. 20 B. C. 36 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知与，与分别关于y轴对称，设椭圆的左焦点为，从而，，利用即可求解． 【详解】由题意，知与，与分别关于y轴对称 设椭圆的左焦点为，由已知a=6, 则，同时 ∴ 故选：D． 6. 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（，）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 以中点为原点，设，根据，得到点轨迹方程，再表示出，利用圆上的点到定点的距离得到答案. 【详解】以中点为原点，所在直线为轴， 则，， 设，所以由， 可得， 整理得， ， 其中看作是 圆上的点到点的距离的平方， 所以其最大值为， 所以的最大值为， 故选：C. 【点睛】本题考查求圆的轨迹方程，圆上的点到定点的距离，属于中档题. 7. 记等差数列的前n项和为，已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式建立方程组，可得答案. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得. 故选：B. 8. 如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用表示，再根据它们的数量积为零可求的值. 【详解】由题设有， 故， 而， 同理，， 因为为直角，故， 故，故， 故（舍）或， 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量平行的条件、向量的模、向量垂直的充要条件、向量夹角余弦的求法运算即可得解. 【详解】对于选项A，由题意，，， 假设，则存在实数，使得， 即，所以，方程组无解， 即不存在实数，使得，所以和不平行，故A错误； 对于选项B，由，，可得， ，则，故B正确； 对于选项C，由，， 可得， 因为，所以，故C正确； 对于选项D，由，， 可得，故D错误. 故选：BC． 10. 已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（ ） A. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x B. 以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C. 点P的横坐标为±1 D. △PF1F2的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项结合渐近线的公式即可求出结果；B选项确定圆心半径即可求出结果；C选项设出点P(x0，y0)，解方程组即可求出结果；D结合三角形的面积公式即可求出结果. 【详解】等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确； 由双曲线的方程可知F1F2＝， 所以以F1F2为直径的圆,圆心为，半径为，则圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误； 点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上， 不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上， 所以由解得|x0|＝1， 则点P的横坐标为±1，故C正确； 由上述分析可得△PF1F2的面积为，故D正确． 故选：ACD. 11. 数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为等比数列 B. C. 若，则为等差数列 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，构造等差数列求出通项公式，再逐项判断即可. 【详解】数列中，，显然，则， 于是数列是公差为3，首项为1的等差数列，， 对于A，，，为等比数列，A正确； 对于BD，，BD错误； 对于C，， 则，为等差数列，C正确. 故选：AC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为关于平面的对称点，为关于轴的对称点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点关于平面及关于轴对称点的特征可得的坐标，从而可求 . 【详解】因为关于平面对称，故， 因为为关于轴对称，故， 故， 故答案为：. 13. 表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为，则____________． 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … … 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的定义以及通项公式，可得答案. 【详解】由题意可得第行的首项为，则第行的首项为， 由每一行都是等差数列，第行数列的公差为，则第行的公差为， 所以. 故答案为：. 14. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再表示出渐近线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可得到，即可求出离心率. 【详解】圆即，圆心为，半径， 双曲线的渐近线方程为，即， 不妨设与圆相切， 则，即，又，所以，即， 所以离心率． 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推火这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2.当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上. （1）建立适当的坐标系，求此椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点且斜率为的直线，交椭圆于两点，求弦的长. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】由题可知，伞面的直径与长轴围成底角为的等腰三角形，根据余弦定理可求出椭圆的长轴，可得椭圆的标准方程. 求出直线方程并与椭圆方程联立，利用弦长公式；即可求解. 【小问1详解】 根据题意，以椭圆的长轴所在直线为轴，以椭圆的短轴所在直线为轴建系. 伞面是以半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为. 伞面与地面所成夹角为；且伞面直径为. 又光线与地面所成夹角也为. 伞面与地面长轴围成底角为的等腰三角形； 由余弦定理可得：；解得：. .. 椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 由知：,得.所以右焦点坐标为. 设直线的方程为：；设. 联立，可得. ，. . 16. 已知数列为等差数列，，数列中，点在直线上，其中是数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的最大项． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程组，可得的通项，利用，结合等比数列的通项，可得答案； （2）由题意写出数列的通项，构造函数，利用导数研究其单调性，可得答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，解得， 所以； 由点在直线上，则， 当时，，解得； 当时，，整理可得. 所以数列是以首项为，公比为的等比数列，则. 【小问2详解】 ，令，求导可得， 令，解得，可得下表： 极大值 由，则. 17. 已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设经过点的直线与曲线相交于，两点，经过点，且为常数）的直线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，根据距离公式得到方程，整理即可； （2）设、、，表示出直线的方程，由点在直线上，代入可得，同理可得，再表示出直线，代入可得，即可得到直线过定点坐标. 【小问1详解】 解：设，则， 因为，所以， 又，所以，整理得. 【小问2详解】 证明：设、、， 所以， 所以直线的方程为， 因为点在直线上， 所以，即，解得①， 同理可得直线的方程为， 又在直线上，所以，易得， 解得②， 所以直线的方程为，即③， 将②式代入③式化简得，又， 即， 即， 所以直线恒过定点. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为的中点，点G在上且 （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值； （3）求平面与平面所成的二面角的正弦值． 【答案】（1）在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 于是，，则， 即，所以. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）利用空间向量求线线夹角的方法求解. （3）求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 所以与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）知，， 设平面的法向量，则， 取，得， 设平面的法向量，则， 取，得， 设平面与平面所成的二面角的大小为， 则， 所以平面与平面所成的二面角的正弦值. 19. 已知双曲线的离心率为2，焦点到一条渐近线的距离为． （1）求双曲线C的方程； （2）若过双曲线的左焦点F且斜率不存在的直线l交双曲线于A，B两点，求； （3）若过双曲线的左焦点F的直线l交双曲线于A，B两点，交y轴于P，设，证明：． 【答案】（1） （2）6 （3）证明：由（1）知，由过双曲线的左焦点的直线交双曲线于，两点，交轴于， 知直线的斜率存在，设其方程为：，，而， 由得：，， ，，， ，，， 由，得，即，， 所以 . 【解析】 【分析】（1）由双曲线的离心率，焦点到一条渐近线的距离建立等量关系，求解即可. （2）求出直线的方程，与双曲线方程联立求出交点的纵坐标即可. （3）设出直线的方程，联立方程组，得到韦达定理，由，解得，证明即可. 【小问1详解】 设双曲线的左焦点，由其离心率为2，得，即， 由点到双曲线的渐近线的距离为，得， 而，解得：， 所以双曲线的方程为：. 【小问2详解】 由（1）知，直线，则，解得， 所以. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $