6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（单元教学设计）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

6．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（单元教学设计） 一、【单元目标】 （1）理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理的内容和意义． （2）能够根据具体问题的特征选择分类计数原理与分步计数原理解决一些简单的实际问题． 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 本节课面对的是高二学生，他们已具备一定的数学基础和逻辑思维能力．学生对计数问题有所接触，但对分类加法计数原理与分步乘法计数原理的理解可能不够深入．学生可能会在遇到实际问题时，难以准确判断应使用哪种计数原理，或者对“完成一件事情”的具体含义理解模糊．此外，部分学生可能缺乏将实际问题抽象为计数问题的能力．因此，教学中需注重原理的讲解与实例的结合，引导学生通过对比、辨析，逐步掌握两个计数原理的应用方法． 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约3课时 教学重点：理解分类计数原理和分步计数原理的意义，掌握其应用方法． 教学难点：正确理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确区分“分类”或“分步”． 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 情景：这节课我们将探讨如何运用数学知识来解决实际生活中的选择问题，比如从我们班中推选出两名同学担任班长有多少种选法，或者把我们班的同学排成一排又有多少种排列方式．为了解答这些问题，我们需要借助排列和组合的知识，而在这其中，分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个非常关键的工具．接下来，我们就一起来深入学习和理解这两个原理． 环节二、抽象概念，内涵辨析 1．分类加法计数原理 问题1：某全国人大代表明天要从济南前往北京参加会议，他有两类快捷途径可供选择：一是乘飞机，二是乘高铁，假如这天飞机有3个航班可乘，高铁有4个班次可乘．那么该代表从济南到北京共有多少种快捷途径可选呢？ 【破解方法】该代表共有3＋4＝7（种）快捷途径可选． 问题2：以下三个问题分别是要完成一件什么事情?怎么完成这件事情?如何计算完成这件事情的方法数? （1）小明要从北京到重庆，一天中，飞机有4班，火车有3班，一天中乘坐这些交通工具从北京到重庆 共有多少种不同的走法? （2）用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给学术报告厅里的座位编号，总共能够编出多少种不 同的号码? （3）从班上30名男生、25名女生中任选1名学生担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？ 【破解方法】学生列举生活中具有同样特征（可以分类完成的计数问题）的例子并分析该类问题具有 的特征，在教师的指导下逐步明确化：完成一件事有两类方式；每类方式的每一种方法都可以完成这件事；把每类方式的方法数相加可得完成这件事的方法数． 【归纳新知】 （1）分类加法计数原理： 完成一件事，有类办法．在第1类办法中有种不同方法，在第2类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同方法，那么完成这件事共有种不同的方法． （2）加法原理的特点是： ①完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类； ②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事； ③把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点诠释： 使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和． 2．分步乘法计数原理 问题3：用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以A1，A2，…，A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 【破解方法】不编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54（个）不同的号码． 问题4：这一类问题的共同特征是什么? 【破解方法】让学生类比分类加法计数问题的共同特征的概括，得出上述问题的共同特征是“都是分2步完成，第一步完成了还需完成第二步才能完成这件事，完成这件事的方法数等于完成各步的方法数之积”，然后归纳概括出分步乘法计数原理，教师再引导学生思考两个计数原理的联系． 【归纳新知】 （1）分步乘法计数原理 “做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成． （2）乘法原理的特点： ①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可； ②完成每一步有若干种方法； ③把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点诠释： 使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积． （3）分类计数原理和分步计数原理的区别： 两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关． 完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理； 若完成某件事需分n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算． 由问题3~问题4，归纳出集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性． 环节三：例题练习，巩固理解 题型一：分类加法计数原理 例1．在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表： A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 二物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？ 【解析】这名同学可以选择A，B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，∵没有一个强项专业是两所大学共有的，∴根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数． 题型二：分步乘法计数原理 例2．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书． （1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法？ （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？ 【解析】（1）从书架上任取1本书，有三类方案： 第1类，从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2类，从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3类，从第3层取1本体育书，有2种方法． 根据分类加法计数原理，不同取法的种数为． （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三步完成： 第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法． 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为． 例3．要从甲、乙、丙幅不同的画中选出幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？ 【解析】从幅画中选出幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成： 第步，从幅画中选幅挂在左边墙上，有种选法， 第步，从剩下的幅画中选幅挂在右边墙上，有种选法， 根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是． 例4．给程序模块命名，需要用个字符，其中首字符要求用字母或，后两个要求用数字．问最多可以给多少个程序命名？ 【解析】先计算首字符的选法．由分类加法计数原理，首字符共有种选法， 再计算可能的不同程序名称．由分步乘法计数原理，最多可以有个不同的名称， 即最多可以给个程序命名． 故答案为：1053 例5．电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态．因此计算机内部就采用了每一位只有或两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由个二进制位构成．问： （1）一个字节（位）最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码（码）包含了个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？ 【解析】（1）一个字节共有位，每位上有种选择， 根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示个不同的字符； （2）由（1）知，用一个字节能表示个字符，，一个字节不够； 根据分步乘法计数原理，个字节可以表示个不同的字符， ，所以每个汉字至少要用个字节表示． 题型三：两个原理的综合应用 例6．计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试．程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据．一般地，一个程序模块由许多子模块组成．如图，这是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径？另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数．你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？ 【解析】由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为 ； 子模块4、子模块5中的子路径条数共为， 又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为； 在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱， 即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块， 这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常， 总共需要的测试次数为， 再测试各个模块之间的信息交流是否正常， 只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常， 需要的测试次数为， 如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常， 这样，测试整个模块的次数就变为， 显然，178与7371的差距是非常大的，故用以上测试方法，可以减少测试次数． 例7．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的有多少个? 【解析】当十位是时，个位可以是，共个 当十位是时，个位可以是，共个， 当十位是时，个位可以是，共个， 当十位是时，个位可以是，共个， 当十位是时，个位可以是，共个， 当十位是时，个位可以是，共个， 当十位是时，个位可以是，共个， 当十位是时，个位可以是，共个， 当十位是时，个位可以是，共个， 所以符合要求的两位数一共有：个， 故个位数字小于十位数字的两位数有个． 环节四：小结提升，形成结构 问题5：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容： （1）我们学习了哪两个计数原理？它们与实数运算中的加法、乘法有什么联系？ （2）两个计数原理的区别是什么？有什么联系？使用这两个原理解决实际生活问题时，应注意什么？ 【破解方法】进一步反思巩固所学知识，厘清知识与知识之间、新旧知识之间的联系与区别，让学生在将新知纳入已有知识体系的过程中形成新的认知结构． 六、【教学成果自我检测】 环节五：目标检测，检验效果 1．从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是 ． 【答案】6 【解析】因为从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条， 所以从A村经B村去C村，共有条不同路线． 故答案为：6． 2．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书． （1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法？ 【解析】书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书． （1）从书架上任取1本书，则有种取法； （2）从书架上任取数学书和语文书各1本，则有种取法； 3．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名． （1）从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？ （2）从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？ 【解析】从高一年级的学生中选取1名，有3种选法；从高二年级的学生中选取1名，有5种选法；从高三年级的学生中选取1名，有4种选法； （1）从三个年级的学生中任选1人参加活动，共有种不同选法； （2）从三个年级的学生中各选1人参加活动，共有种不同选法． 4．某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0~9之间的一个数字，这个电话局不同的电话号码最多有多少个？ 【解析】后四位数字都是0到9之间的一个数字，每一位都有10种选择方法，故有个． 故这个电话局不同的电话号码最多有10000个． 5．从5名同学中选出正、副组长各1名，有多少种不同的选法？ 【解析】先从5人中选出一名组长，共有5种选法， 再从剩下的4人中选出一名副组长，共有4种选法， 所以从5名同学中选出正、副组长各1名，共有种选法． 6．从1，2，…，19，20中任选一个数作被减数，再从1，2，…，10中任选一个数作减数，然后写成一个减法算式，共可得到多少个不同的算式？ 【解析】第一步：从中选一个数作为被减数，有种选法； 第二步：从中选一个数作为减数，有种选法， 所以写成的减法算式共有：个， 故可得个不同的算式． 7．在1，2，…，500中，被5除余2的数共有多少个？ 【解析】因为在1，2，…，500中，被5除余2的数有，，，， 这些数构成以2为首项，以5为公差的等差数列，设一个有个数，所以，解得 故共有个 8．由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字可以重复）？ 【解析】由题意，百位、十位和个位上的数字均有5种选法， ∴由数字1，2，3，4，5可以组成个三位数． 【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容． 环节六：布置作业，应用迁移 作业：教科书第11页习题6．1第1、3、4、5题． 【设计意图】巩固本节课的知识点． 七、【教学反思】 本节课主要讲授了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，这是组合数学中的基础原理，对于培养学生的逻辑思维和计数能力具有重要意义． 在教学过程中，我通过实例引导，让学生理解并掌握这两个原理．通过生动的例子，学生能够直观地感受到分类加法和分步乘法的实际应用，激发了他们的学习兴趣．同时，我也注重引导学生自主思考，鼓励他们尝试用所学知识解决实际问题，培养了他们的实践能力． 然而，我也意识到部分学生在理解分步乘法计数原理时存在一定困难．未来教学中，我将更加注重这一难点的讲解，通过更多层次的例题和练习，帮助学生巩固理解，提高他们的计数能力．同时，我也将继续探索更多有趣的教学方法，让数学课堂更加生动有趣． 9 / 9 网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$