精品解析：湖南省岳阳市平江县颐华高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

颐华学校2024-2025年度高一第二学期第一次大练习 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、单选题（每小题5分，总分40分） 1. 下列叙述中正确的是（    ） A. 已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B. 若，则 C. 若，，则 D. 对任一非零向量，是一个单位向量 2. 如图，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A B. C. 1 D. 2 4. 在中，角的对边分别为，若，则 A. B. C. D. 或 5. 已知向量，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则最大值为（ ）. A. B. C. D. 2 8. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，总分18分） 9. 下列说法中错误的有（ ） A. 两个非零向量，若，则与共线且反向 B. 已知不能作为平面内所有向量的一个基底 C. 已知向量，向量在向量上的投影向量是 D. 若非零向量满足，则与的夹角是 10. 在△中，内角所对边分别为，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则动点的轨迹经过的内心 D. 若，则动点的轨迹经过的外心 三、填空题（每小题5分，总分15分） 12. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________. 13. 如图，中，，且的面积为，点在边上，，则的长度等于_____. 14. 已知在中，，，则的最大值为______． 四、解答题（第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分） 15. 已知向量与，，． （1）设与的夹角为，求的值； （2）若向量与互相平行，求值． 16. 在中，角、、所对边为、、，已知. （1）求角的值； （2）若，的面积为，求的周长. 17. 如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． （1）求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； （2）试确定缉毒船的行驶方向． 18. 已知函数． （1）求函数的最大值； （2）已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围． 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 颐华学校2024-2025年度高一第二学期第一次大练习 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、单选题（每小题5分，总分40分） 1. 下列叙述中正确的是（    ） A. 已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B. 若，则 C. 若，，则 D. 对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】D 【解析】 【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断. 【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D 2. 如图，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的三角形法则和数乘运算法则即可求出． 【详解】由，得，而， 所以. 故选：B 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解； 【详解】由于， 则， 则； 故选：B 4. 在中，角的对边分别为，若，则 A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理可求得，根据的范围可求得结果. 【详解】由正弦定理可得： 且 或 本题正确结果： 【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题. 5. 已知向量，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用数量积的运算律可得，再利用向量垂直的坐标运算，可得，进而可得，，即可求解. 【详解】因为，得到，化简得，所以， 又，所以，得到， 所以，则，， 所以的面积为， 故选：A. 6. 平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据,先求得，再由，即可求解. 【详解】∵三个力平衡， ∴， ∴. 设与的夹角为，则， 即， 解得 故选：A 7. 已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（ ）. A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】建立坐标系，写出点的坐标，设，，得到，求出最大值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为. 故选：D. 8. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两角差的正弦及平方关系求出、的值，再用表示，求出的取值范围，利用对勾函数的性质即可求出的取值范围． 【详解】解：中，， 即，得， 又，， 所以， 化简得， 解得，或（不合题意，舍去），则， 所以， 由，且，，解得， 所以，所以， 所以， 设，其中， 所以， 由对勾函数在上单调递减， 可得：在单调递减； ，， 所以． 故选：A． 二、多选题（每小题6分，总分18分） 9. 下列说法中错误的有（ ） A. 两个非零向量，若，则与共线且反向 B. 已知不能作为平面内所有向量一个基底 C. 已知向量，向量在向量上的投影向量是 D. 若非零向量满足，则与的夹角是 【答案】CD 【解析】 【分析】根据向量共线的性质即可求解A，根据共线以及基底的定义即可求解B，根据投影向量的计算公式即可求解C，根据模长以及夹角公式即可求解的D. 【详解】对于A, 两个非零向量，若，则与共线且反向,正确， 对于B，由于，故， 则与共线，故不能作为基底，B正确， 对于C, 在向量上的投影向量是，故C错误， 对于D, 非零向量满足： ， 故， 故与的夹角是，D错误， 故选：CD 10. 在△中，内角所对边分别为，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，即可判断A；利用余弦定理判断B，利用正弦定理将边化角，即可判断C，利用完全平方公式判断D. 【详解】因为，由正弦定理可得， 所以，即，故A正确； 由余弦定理，即， 又，所以，即，故B错误； 因为，由正弦定理可得， 所以，故C正确； 因为，，所以 ，故D正确. 故选：ACD 11. 已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则动点的轨迹经过的内心 D. 若，则动点的轨迹经过的外心 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据得到，同理得到，故；B选项，取的中点，故，故⊥，取的中点，同理可得⊥，点P是的外心，故；C选项，由正弦定理得到，故，点P在的中线上，C错误；D选项，作出辅助线，结合向量数量积运算法则得到，从而得到，点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心. 【详解】A选项，因为，所以， 所以，同理可得， 故点是的垂心， 故，故A正确； B选项，取的中点，则，故，故⊥， 取的中点，则，故，故⊥， 故点P是的外心，故，B正确； C选项，由正弦定理得，故， 故， 取的中点，则， 故点P在的中线上，重心在其上，故C错误； D选项， ， 设的中点，， 所以， ， 所以， 故点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心，故D正确. 故选：ABD 【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 三、填空题（每小题5分，总分15分） 12. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得. 【详解】由向量与的夹角为锐角，得，且不共线， 因此，解得且， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 13. 如图，中，，且的面积为，点在边上，，则的长度等于_____. 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角形的面积公式求出的大小，再根据等腰三角形得到的大小，最后在中利用正弦定理即可求解. 【详解】因为中，，且的面积为， 所以，解得， 所以或， 当时，因为，所以， 又，所以，不符合题意； 当时，因为，所以， 又，所以在中，由正弦定理可得， 即. 故答案为： 14. 已知在中，，，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理表示出，再利用向量数量积的定义将目标式用三角函数表示，利用三角函数的性质得到最值即可. 【详解】在中，由正弦定理得， 所以，所以， 因为， 所以， ， ，因为，所以， 故当时，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是利用正弦定理结合数量积定义将目标式用三角函数表示，然后利用三角函数的性质得到所要求的最值即可． 四、解答题（第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分） 15 已知向量与，，． （1）设与的夹角为，求的值； （2）若向量与互相平行，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数乘与加法的坐标公式计算可得，根据向量的夹角的坐标公式即可求解； （2）根据向量的平行的坐标表示列方程求的值． 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以，. 则，， ． 小问2详解】 ， ， 由向量与互相平行可得，， 整理可得，，解得，． 16. 在中，角、、所对的边为、、，已知. （1）求角的值； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，再利用余弦定理可求得的值，即可求得该三角形的周长. 【小问1详解】 由余弦定理可得，且，故. 【小问2详解】 由三角形的面积公式可得，可得， 由余弦定理可得，故， 因此，的周长为. 17. 如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． （1）求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； （2）试确定缉毒船的行驶方向． 【答案】（1）缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕 （2）缉毒船的行驶方向为北偏东 【解析】 【分析】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，可知，利用余弦定理运算求解； （2）根据（1）中结果，利用正弦定理可得，进而可得结果. 【小问1详解】 设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知：， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. 【小问2详解】 由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 18. 已知函数． （1）求函数的最大值； （2）已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，再由正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式得到，在根据三角形内角和定理得到，根据三角形为锐角三角形求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得； 【小问1详解】 解： ， ∴，此时，，即，； 【小问2详解】 解：由， ∴，由正弦定理及已知可得， 整理得，即， 由，则，所以， 则，因为，所以，，∴ 由 ； 由，即，所以，所以，所以， 则，则， ∴， ∴的取值范围为． 19. 如图，设、是平面内相交成两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）计算出、、，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，解之即可； （3）设、，利用平面向量的线性运算得出、关于、的关系式，利用余弦定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出，设，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等变换以及正弦函数的有界性可求得的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则，. 则，所以. 【小问2详解】 由，，得，， 且， 所以，， ，则， ， 因为与的夹角为，则，解得. 【小问3详解】 依题意设、， 且，，， 因为为的中点，则， 因为为中点，同理可得， 所以，， 由题意可知，，， 则， 在中依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理， 设，则，且， 所以，，， ， 为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$