山西省忻州市第一中学校2024-2025学年高一上学期期初考试数学试题

2024级高一年级入学期始考试试题 高一数学 本试卷共100分 考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前请在答题纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列给出的对象中，能组成集合的是　　 A．一切很大的数 B．好心人 C．漂亮的小女孩 D．方程的实数根 2．命题“存在实数，使关于x的方程有实数根”的否定是（    ） A．存在实数，使关于x的方程无实根 B．不存在实数，使关于x的方程无实根 C．对任意实数，方程无实数根 D．至多有一个实数，使关于x的方程有实根 3．函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 4．下列函数中，在定义域内函数值随的增大而增大的是　　 A． B． C． D． 5．不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 6．方程的解一定位于区间（    ） A． B． C． D． 7．不等式“在上恒成立”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 8．函数的减区间为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共2小题，每小题4分，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列命题为真命题的有（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 10．已知函数f（x）＝，则下列结论中正确的有（　　） A. f（x）的图象关于原点对称 B. f（x）的图象关于y轴对称 C. f（x）的值域为（－1，1） D. ∀x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0恒成立 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11．多项式可分解为 12．已知幂函数在上单调递增，则实数的值为 ． 13．已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是　　　　. 14.二次函数在上的最大值为 ，对应的的值为 . 四、解答题（本大题共4小题，满分44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分10分） 计算：（1）0.06－＋1＋0.2； （2）lg 25＋lg 2＋－log29×log32. 16．（本小题满分10分）已知二次函数满足，且， （1）求二次函数的解析式； （2）求函数的单调增区间和值域． 17．（本小题满分12分）已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 18．（本小题满分12分）节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数. （1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型； （2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据：取） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024级高一年级入学期始考试试题答案 1．D 2．C 3．D 4．D 5．C 6．C 7．A 8．A 9．ACD 10．ACD 11． 12． 13． 14. 三、解答题（本大题共4小题，满分44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分10分） 解：（1）0.06－＋1＋0.2＝－1＋＋0.＝2.5－1＋8＋0.5＝10. ........................................................5分 （2）lg 25＋lg 2＋－log29×log32＝lg 5＋lg 2＋－2（log23×log32）＝1＋－2＝－. ........................................................10分 16．（本小题满分10分） 解：（1）设二次函数． ........................1分 ∵，∴．把的表达式代入，有． ∴．∴，．∴．........................5分 （2）的单调增区间为，函数的值域为． 17．（本小题满分12分） 解：（1）由方程，解得或 ........................2分 所以，又，， 所以，即方程的两根为或，........................4分 利用韦达定理得到：，即；.......................5分 （2）由已知得，又， 所以时，则，即，解得或；........................6分 当时， 若B中仅有一个元素，则，即，解得，........................8分 当时，，满足条件；当时，，不满足条件；..............9分 若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件 .........................11分 综上，实数a的取值范围是或或. ........................12分 18．（本小题满分12分） 解：（1）由题意得：，， ........................2分 ∴当时，，即，解得，...4分 ∴，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为 .........................5分 (2)由题意得，........................6分 整理得：，即，.......................7分 两边同时取常用对数， 得：，.......................9分 整理得：， 将代入， 得，又， ∴， .......................11分 综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标........................12分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$