精品解析：河南省漯河市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

漯河市2024-2025学年上学期期末质量监测 高一数学 第I卷（选择题） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考场号及座位号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再根据并集的定义求解即可. 【详解】因， ， 所以. 故选：A. 2. 已知是定义在上的偶函数，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，由偶函数的定义可得，可求的值，进而可求得结论. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，解得，所以定义域为 又，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：D 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数及正弦函数的性质判断即可. 【详解】，， 又，所以，所以， 所以. 故选：B. 4. 已知实数，且，则的最小值为（ ） A B. C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用“1”的代换，由基本不等式求最小值． 【详解】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C. 5. 在平面直角坐标系中，函数且的图象恒过定点，若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出点,利用倍角公式可求答案. 【详解】因为函数且的图象恒过定点，所以； 因为角的终边过点，所以， 所以. 故选：C 6. “角与的终边关于直线对称”是“”的（ ） A 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据终边关于对称，得两角的关系，再由，得两角满足的关系，根据充分必要条件的定义即可求解. 【详解】角与的终边关于直线对称，则，， 又，则，， 所以由角与的终边关于直线对称，可以推出， 由，可以推出角与的终边关于直线对称， 所以角与的终边关于直线对称是的充要条件. 故选：A. 7. 已知，若在上单调，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由在上单调且恒为正可得． 【详解】由题意在上单调且恒为正， 所以或，且，解得或， 故选：D． 8. 已知函数若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知分且，或者且两种情况讨论，再结合二次函数的性质求解即可. 【详解】因为和同属于和时，都不可能有， 所以且，或者且. ①当且时，则，所以且. 若存在非零实数，使得成立， 则， 由得，所以； ②当且时，则，所以且. 若存在非零实数，使得成立， 则， 由得，所以， 综上所述：实数的取值范围为. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数既是奇函数，又在定义域内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的类型，结合单调性和奇偶性的概念，直接判断A，B，C，作出函数的图像，即可判断D． 【详解】对于A，是奇函数，且在定义域上单调递增，故A正确； 对于B，当时，；当时，，所以在定义域不是增函数，故B错误； 对于C，是偶函数，故C错误； 对于D，作出函数的图像， 由图可知，函数的图像关于原点对称，此函数为奇函数，且在定义域上单调递增． 故选：AD． 10. 若一元二次方程有正实数根，则实数可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，可得，求出答案. 【详解】因为方程对应的函数为，开口向上，对称轴为， 所以方程有正实数根，则，即，解得. 故选：ACD. 11. 高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一､享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如.已知函数，下列说法中正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 方程在区间上有4个实数根 C. 若，则 D. ，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据高斯函数的定义，化简，结合选项可得答案. 【详解】对于A,, 所以，故函数在上不是单调递增，A不正确； 对于B,当时，，此时的解为； 当时，，此时的解为； 当时，，此时的解为； 当时，，此时的解为； 当时，，此时无解. 故方程在区间上有4个实数根，B正确； 对于C,由题意，故，所以， 所以，即，C正确； 对于D,由C可知，所以，D正确. 故选：BCD 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的周长为，面积为，则该扇形所在圆的半径是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】设该扇形的弧长为，半径为，根据已知条件可得出关于、的方程组，即可得解. 【详解】设该扇形的弧长为，半径为， 则，解得， 所以扇形所在圆的半径为2. 故答案为：2. 13. 已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得对恒成立，由基本不等式求得的最大值即可. 【详解】由，不等式恒成立，可得对恒成立， 令，当且仅当，即时取等号. 所以，所以. 故答案为：. 14. 已知函数，若，则的最小值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】由已知可得，即，结合函数单调性可知，再结合基本不等式可得最值. 【详解】由，则，即， 又是上的增函数，是上的增函数， 所以是上的增函数，则，， ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由，得，利用函数单调性得. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用指数、对数的运算法则计算可得出原式的值； （2）对等式平方可得出，再对等式两边平方可得出的值. 【详解】（1） ； （2）由题意得，得， 所以，故. 16. （1）已知，求的值； （2）化简：. 【答案】（1）；（2）-1 【解析】 【分析】（1）通过联立方程组求解的值，再结合角的范围确定，进而求出和；（2）先对原式进行切化弦化简，利用三角函数差角公式逐步变形，最终得出结果. 【详解】（1）由可得. 解得或， 由，故. 所以. 于是. （2）原式 . 17 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由恒等变换公式将函数的解析式化简，再由正弦型函数的单调区间代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由正弦型函数的性质，化简不等式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 . 令. 解得. 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 由，得. 所以. 解得. 所以不等式的解集为：. 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义计算可得； （2）利用换元法以及二次函数单调性将问题转化成值域的包含关系，解不等式可得结果. 【小问1详解】 函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得， 解得.此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意； 所以. 【小问2详解】 由（1），显然在上单调递减. 可得在的值域， 又 设，则， 当时，有，当时，有， 因此函数在上的值域， 由对任意的，总存在，使得成立，可知， 于是.解得. 所以实数的取值范围是. 19. 定义：若函数在其定义域内存在实数，使，则称是的一个不动点.已知函数. （1）当，时，求函数的不动点； （2）若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意解方程即可， （2）由题意可得方程有两个不相等的实根，得，再由可求得结果， （3）设，，，则，，再由题意可得，结合根与系数的关系得，表示出结合二次函数的性质可求得结果. 【小问1详解】 ，由，解得或， 所以所求的不动点为或. 【小问2详解】 令，则①， 由题意，方程①恒有两个不等实根，所以， 即恒成立，则，故. 【小问3详解】 设，，， 又是的不动点，∴，， ∴、的中点为. 又的中点在上 ∴， ∴， 而是方程的两个根， ∴ 即 ∴， ∴当，即时，. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，考查计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 漯河市2024-2025学年上学期期末质量监测 高一数学 第I卷（选择题） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考场号及座位号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是定义在上的偶函数，那么的值是（ ） A. B. C. D. 3 设，，，则（ ） A. B. C D. 4. 已知实数，且，则最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 12 5. 在平面直角坐标系中，函数且的图象恒过定点，若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 6. “角与的终边关于直线对称”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，若在上单调，则的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数既是奇函数，又在定义域内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 若一元二次方程有正实数根，则实数可以是（ ） A. B. C. D. 11. 高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一､享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如.已知函数，下列说法中正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 方程在区间上有4个实数根 C. 若，则 D. ，都有 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的周长为，面积为，则该扇形所在圆的半径是__________. 13. 已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________. 14. 已知函数，若，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算； （2）若，求的值. 16. （1）已知，求的值； （2）化简： 17. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）求不等式的解集. 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 19. 定义：若函数在其定义域内存在实数，使，则称是的一个不动点.已知函数. （1）当，时，求函数不动点； （2）若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$