精品解析：河南省信阳市信阳高级中学（北湖校区）2024-2025学年高二下学期3月测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高二下期03月测试（一） 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设a为实数，已知直线：，：，若，则（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 或3 2. 已知点 是正四面体底面内一点，满足，其中，当最小时，的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 3. 已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 6. 已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是（ ） A. 是函数的最小值 B. 是函数的极小值 C. 在区间上单调递增 D. 在处的切线的斜率大于0 7. 提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ） A. 288种 B. 296种 C. 362种 D. 384种 8. 已知双曲线的左焦点为，离心率为e，直线分别与C的左､右两支交于点M，N.若的面积为，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知 为坐标原点，抛物线：的焦点为 ，准线为直线，直线与交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 点 到直线的距离是4 B. 若的方程是，则的面积为3 C. 若的中点 到直线的距离为3，则 D. 若点在直线上，则 10. 设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 是等差数列 B. 当或时，取得最大值 C. 数列的前项和是 D. ，，成等差数列，公差为 11. 如图，在直三棱柱中，点， ， 分别是棱，，的中点，直线平面，直线与平面所成角为45°，若，且则下列说法正确的是（   ） A. B. 点到平面的距离为 C. 五面体的体积为 D. 三棱柱的外接球的表面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在二项式的展开式中，第四项的系数是________． 13. 大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为_________． 14. 设函数，若在上满足的正整数至多有两个，则实数 的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 在数列中， （1）证明：数列是等比数列． （2）求数列的前n项和． 16. 如图，在四棱锥 中，是等边三角形，四边形 是直角梯形，，，，. （1）证明：平面平面 . （2）线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 17. 某家庭进行摸球得压岁钱游戏．规则如下：袋中有大小相同的3个红球，2个蓝球，每次从袋中摸出2个球，若摸到0个红球就没有压岁钱；若摸到1个红球就得压岁钱100元；若摸到2个红球就得压岁钱200元． （1）求摸球一次，摸到红球个数的分布列； （2）求摸球一次，得到的压岁钱的均值． 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）点是椭圆的上顶点，点在椭圆C上，若直线，的斜率分别为，满足，求面积的最大值． 19. 已知四数． （1）求在处的切线方程； （2）证明：函数只有一个零点； （3）当时，函数恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高二下期03月测试（一） 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设a为实数，已知直线：，：，若，则（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，据此可得 的可能值，验证后可得答案. 【详解】因，则. 则或.当，：，：，满足； 当，：，：，两直线重合，不合题意. 则. 故选：A 2. 已知点是正四面体底面内一点，满足，其中，当最小时，的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直时距离最小，即可根据向量的线性运算求解,即可求解. 【详解】当最小时，此时平面，故为等边三角形的中心， 记的中点为，则， 故 ， 故，因此， 故选：C 3. 已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由二项分布的概念，根据二项式系数的对称性即可求解. 【详解】由题得， 由题知在中，最大值只有， 即在中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知. 故选：. 4. 已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线 的斜率，直线的斜率． 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线的倾斜角的取值范围是． 故选：A. 5. 如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程，再利用两直线垂直斜率关系和中点由点斜式求解即可. 【详解】圆圆心为，圆可化为，所以圆心为， 由题意可得直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程， 设， 由两直线垂直斜率关系可得直线l的为1， 又两圆中点坐标为，所以直线l的方程为，即. 故选：D. 6. 已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是（ ） A. 是函数的最小值 B. 是函数的极小值 C. 在区间上单调递增 D. 在处的切线的斜率大于0 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象得到的单调性，并结合极值的定义和导数的几何意义求出答案. 【详解】C选项，由图象可看出当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，C错误； A选项，是函数的极小值，但无法确定是不是最小值，A错误； B选项，是函数的极大值，B错误； D选项，由于，故在处的切线的斜率大于0，D正确. 故选：D 7. 提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ） A. 288种 B. 296种 C. 362种 D. 384种 【答案】D 【解析】 【分析】分2号区域和6号区域同色，2号区域与4号区域同色，2号区域与4号区域，6号区域均不同色三种情况讨论，进而可得出答案. 【详解】首先三个区域有种涂法， 当2号区域和6号区域同色时，有种涂法； 当2号区域与4号区域同色时，有种涂法； 当2号区域与4号区域，6号区域均不同色时，有种涂法， 综上，共有384种涂法. 故选：D. 8. 已知双曲线的左焦点为，离心率为e，直线分别与C的左､右两支交于点M，N.若的面积为，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】作出辅助线，，由面积公式求出，利用双曲线定义和余弦定理求出，求出，进而求出. 【详解】连接，有对称性可知：四边形为平行四边形，故，，， 由面积公式得：，解得：， 由双曲线定义可知：， 在三角形中，由余弦定理得： ， 解得：， 所以，解得：， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为 ，准线为直线，直线与交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 点 到直线的距离是4 B. 若的方程是，则的面积为3 C. 若的中点 到直线的距离为3，则 D. 若点在直线上，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据抛物线的定义即可求得；B选项，联立直线与抛物线方程，求出交点即可求得面积；C选项，依据抛物线的定义进行转化即可求得；D选项，设直线方程与抛物线联立，借助韦达定理设而不求求解. 【详解】对于选项A，由题意可知抛物线的焦点为，准线的方程为，所以点 到直线的距离是2，故A错误； 对于选项B，由得，解得或， 所以6，又与轴的交点为，所以，所以的面积为，故B正确； 对于选项C，因为的中点 到直线的距离为3，所以，即，所以，故C错误； 对于选项D，设：，，， 由得，，，， 因为，所以，故D正确. 故选：BD. 10. 设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 是等差数列 B. 当或时，取得最大值 C. 数列的前项和是 D. ，，成等差数列，公差为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知条件可得是以为首项， 为公差的等差数列，利用通项公式求出，，根据二次函数性质可判断选项B，利用与的关系可求得，即可判断选项A，根据等差数列前项和的公式和性质即可判断选项CD. 【详解】由，， 可得是以为首项， 为公差的等差数列， 所以， 所以， 对于函数，开口向下，其对称轴为， 所以对于，当或时，取得最大值，B正确； 则 ， 又，符合上式， 所以， 所以是以为首项， 为公差的等差数列，A正确； 所以，，成等差数列， 又，， 所以， 所以，，成等差数列，且公差为，D错； 又当时，， 所以数列的前项和是 ， 又，， 所以数列的前项和为，C正确. 故选：ABC 11. 如图，在直三棱柱中，点， ， 分别是棱，，的中点，直线平面，直线与平面所成角为45°，若，且则下列说法正确的是（   ） A. B. 点到平面的距离为 C. 五面体的体积为 D. 三棱柱的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，设出直三棱柱的高，建立空间直角坐标系并表达各点坐标，求出面的法向量，即可得出结论；B项，利用等体积法即可求出点到平面的距离；C项， 利用作差法即可求出五面体的体积；D项，求出外接球的位置和半径，即可得出三棱柱的外接球的表面积. 【详解】由题意， 在直三棱柱中，面，面， 面，面， 直线与平面所成角为45°， ∴，，，， 在中，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，，， 建立空间直角坐标系如下图所示，设直三棱柱高为， ， ， ∴ 在面中，设其一个法向量为， ，即，解得：， 当时，， ∴，解得：， 故A正确； B项，连接，，， 由几何知识得，，， ，， 在中，， 由勾股定理得，， 在中，同理可得，， 在中，过点作于点 ， 则 是的中点，也是矩形对角线交点，连接， 在中，， 由勾股定理得，， 设点到平面的距离为， 点到平面的距离为， ∴， ， ， ， ∵， 解得：， 故B错误； C项，五面体的体积为：， 故C正确； D项，由几何知识得，，， ∴四边形为正方形，设正方形中心， 是的中点，也是矩形对角线的交点， 所以是的中点， 是的中点，所以， 因为平面，所以平面 所以点 在过正方形中心，平面的垂线上， ∴点 到正方形的四个顶点距离都相等，有， 在矩形中，由几何知识得，点 到矩形的四个顶点距离都相等，有， 所以点 为球心，点 到各顶点的距离都等于球的半径， 即， ∴三棱柱的外接球的半径为， ∴三棱柱的外接球的表面积为：， 故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：再求不规则图形的体积时可以用体积相减或者拼接构成. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在二项式的展开式中，第四项的系数是________． 【答案】160 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式可求解. 【详解】展开式的通项为， 令得展开式中的第四项的系数为 故答案为:． 13. 大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由计数原理确定总的分配方法，再确定小明恰好分配到甲村小学的分配方法，由古典概型概率公式即可求解； 【详解】依题意，小明与另外3名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学的分配方法是1个学校2人，另外2个学校各1人，共有（种）分配方法， 若小明恰好分配到甲村小学，有（种）分配方法， 根据古典概型的概率计算公式得所求的概率为． 故答案为： 14. 设函数，若在上满足的正整数至多有两个，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】在上满足的正整数至多有两个，即，设，求导，可得函数单调性及函数值，进而可得参数范围. 【详解】由在上满足的正整数至多有两个， 即在上满足的正整数至多有两个， 设，， 则， 设，， 则，， 设，， 则恒成立， 则在上单调递增， 即，即， 所以在上单调递增， 又， 所以当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增； 所以当 时，取最小值， 又在上满足的正整数至多有两个， 则， 即， 故答案为：. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 在数列中， （1）证明：数列是等比数列． （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设得，结合等比数列定义即可得证； （2）由（1）求出数列的通项公式，再由等差、等比数列前n项和公式即可计算得解. 【小问1详解】 由得，， 所以数列为首项为1，公比为3的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得，则， . 16. 如图，在四棱锥 中，是等边三角形，四边形 是直角梯形，，，，. （1）证明：平面平面 . （2）线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：取棱 的中点O，连接， 设，则，， 因为是等边三角形，且O是 的中点，所以. 因为，所以，所以，则. 因为平面 ，平面 ，且， 所以平面 . 因为平面，所以平面平面 . （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）取棱 的中点O，连接，由题设条件结合勾股定理依次求出和，接着由线面垂直判定定理得证平面 ，再由面面垂直判定定理即可得证命题； （2）建立适当空间直角坐标系，设，，求出向量和平面的法向量，根据线面角的向量法公式即可建立关于的方程，解方程即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取棱CD的中点F，连接OF，则两两垂直， 以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，则，， 设，则， 又，所以. 设平面的法向量为， 则令 ，得. 设直线与平面所成的角为 ， 则， 解得或， 故当或时，直线与平面所成角的正弦值为. 17. 某家庭进行摸球得压岁钱游戏．规则如下：袋中有大小相同的3个红球，2个蓝球，每次从袋中摸出2个球，若摸到0个红球就没有压岁钱；若摸到1个红球就得压岁钱100元；若摸到2个红球就得压岁钱200元． （1）求摸球一次，摸到红球个数的分布列； （2）求摸球一次，得到的压岁钱的均值． 【答案】（1） 0 1 2 （2）120元【解析】 【分析】（1）求出的所有可能取值及对应的概率，得到分布列； （2）在（1）基础上求出，由得到. 【小问1详解】 的所有可能取值为，则， ，， 所以摸到红球个数的分布列为 0 1 2 【小问2详解】由题意得：摸球一次得到的压岁钱， 由（1）得， 所以， 故摸球一次得到的压岁钱的数学期望为120元． 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）点是椭圆的上顶点，点在椭圆C上，若直线，的斜率分别为，满足，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由，结合可得解； （2）设，直线，将直线与椭圆联立，用坐标表示，代入韦达定理可解得，借助韦达定理表示，用均值不等式即得解. 【详解】（1）依题意得：，． 由椭圆定义知， 又，则， 在中，，由余弦定理得： 即，解得 又 故所求椭圆方程为 （2）设，直线 联立方程组，得， ，得， ，， ， 由题意知，由，，代入化简得 ， 故直线过定点， 由，解得， ， 令，则，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为． 19. 已知四数． （1）求在处的切线方程； （2）证明：函数只有一个零点； （3）当时，函数恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）讨论、、，根据函数值符号，且利用导数判断在上恒成立或的单调性，即可证结论； （3）问题化为在上恒成立，对求导，讨论参数 ，利用导数研究对应的单调性及其函数符号求参数范围. 【小问1详解】 由题设，则，又， 所以在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，，，故恒成立； 当时，； 当时， 法一：令，则， 令，则，即在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 所以在上恒成立； 法二：恒成立，即在上单调递增，所以； 综上，函数只有一个零点为，得证； 【小问3详解】 由题意，在上恒成立， 所以，在上恒成立， 而， 令，则， 对于且，则， 所以在上单调递增，则，可得， 对于且，则， 所以在上单调递增，则，可得， 综上，，则，即在上单调递增， 所以， 当时，，即在上单调递增，此时，满足； 当时，，， 所以使，即存在区间使，不符合； （保号性：，，故必存在的情况，不符合；） 综上，. 【点睛】关键点点睛：第二问，注意应用导数判断在上恒成立；第三问，问题化为在上恒成立为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $