2025年九年级中考数学压轴题训练——二次函数与面积综合

2025年中考数学压轴题训练——二次函数与面积综合 1．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点．    (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围． 2．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、C，经过A、C两点的抛物线与x轴的负半轴上另一交点为B，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上求一点M，使得的面积与的面积相等，求M点的坐标； (3)若点P是射线上一点，且以点P、A、B为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 3．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作轴于点，将沿所在直线翻折，使点恰好落在抛物线上的点处．    (1)求抛物线解析式； (2)连接， ① ； ②若点P为直线上方抛物线上一动点，连接，当四边形面积最大时，求点P的坐标． (3)抛物线上是否存在一点Q，使？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点(点在点的左侧)，与轴交于点，抛物线的对称轴交直线于点． (1)求点的坐标； (2)如图2，若是直线下方抛物线上的一个动点，连接 ，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点．在新抛物线对称轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形?若存在，请直接与出点的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来；若不存在，请说明理由． 5．如图1，已知直线与坐标轴相交于A、B，点C坐标是，抛物线经过A、B、C三点．点P 是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线交于点D，与x轴相交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在第一象限时，连接交于点E，连接，如图2所示； ①求的值； ②设四边形的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标； 若不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线：交轴于点和点，交轴于点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是抛物线上第二象限的动点，过点作的平行线交轴于点，连接和，若四边形的面积为4，求此时点的坐标； (3)如图2，已知直线交轴于点，交轴于点，是抛物线对称轴上的一个动点，连接，，把线段沿着点顺时针旋转，的对应点恰好落在抛物线上，直接写出点的坐标． 7．如图，过原点的二次函数的图象与x轴正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数交于，与y轴交于点． (1)分别求此二次函数与直线的解析式． (2)点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为t． ①当时，求t的值； ②当点P在直线下方时，连接，过点B作轴于点Q，与交于点F，连接，求四边形面积的最大值． 8．如图1，抛物线交x轴于点，点，点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交x轴于点N，交直线于点M. 图1                               图2                                图3 (1)请直接写出抛物线和直线BC的解析式； (2)如图2，连接，当的面积等于3时，请求出点P的坐标； (3)如图3，连接，过点P作交y轴于点D，连接，在点P运动过程中，当时，请求点出P的坐标. 9．如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，抛物线的顶点为P，连接，，，． (1)若． ①求点A的坐标； ②求的面积； (2)直线与x轴交于点D，若，求抛物线的解析式． 10．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点，直线是抛物线的对称轴，且与抛物线交于点C，与x轴交于点P，动点D在B、C之间的抛物线上（与B、C不重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接、，当时，求点D的坐标； (3)如图2，设直线交抛物线对称轴于点E，连接、，求面积的最大值． 11．已知抛物线与x轴交于，两点，且，与轴交于点．      (1)若，，求抛物线的解析式； (2)如图一，连接，若，求此时的值； (3)如图二，过点作，垂足为（点在线段上），交轴于点，若： ①求与的关系并直接写出点的坐标； ②求面积的最小值． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且．    (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点M，使，如果存在，求点M的坐标，如果不存在，说明理由； (3)若点D是抛物线第二象限上一动点，过点D作轴于点F，过点的圆与交于点E，连接，求的面积． 13．综合与探究 如图，抛物线的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，作直线． (1)求抛物线表达式及所在直线的函数表达式； (2)若点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)若点M是抛物线上的点，且，请直接写出点M的坐标． 14．抛物线 经过点和点．该抛物线与直线 相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线轴，分别与x轴和直线交于点 M、N． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)连接，如图1，在点P运动过程中，的面积是否存在最大值？ 若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； (3)连接，过点 C作垂足为点 Q，如图2，是否存在点 P，使得与相似？ 若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 15．如图，已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，P是抛物线上一点，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，若，求点P的坐标； (3)若，直接写出点P的坐标． 16．抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为． (1)求出点和点的坐标； (2)如图①，连接，为轴的负半轴上的一点，当时，求点的坐标； (3)如图②，是点关于抛物线的对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，，与直线交于点，设和的面积分别为和，求的最大值． 17．如图、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点，为抛物线的顶点，连接，将抛物线绕点旋转得到抛物线． (1)求抛物线的解析式． (2)连接，，求的值． (3)连接，是抛物线上的点，若满足，求点的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求此二次函数的解析式； (2)动点D从点C出发，以每秒个单位的速度在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交二次函数图像于点E，交x轴于点F，连接和，若与的面积相等，求t的值． (3)点D在直线上运动，过点D作x轴的垂线，交二次函数图像于点E，交x轴于点F，是否存在点D，使得以B、E、F为顶点的三角形与相似？ 若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年3月7日初中数学作业》参考答案 1．(1) (2)， (3)当或时，线段与抛物线只有一个公共点 【分析】（1）令，由，得点坐标，令，由，得点坐标，将、的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式； （2）连接，设，求出，得到，再根据二次函数的性质求得最大值，便可得点的坐标； （3）根据旋转性质，求得点和点的坐标，令点和点在抛物线上时，求出的最大和最小值便可． 【详解】（1）解：令，得， ∴， 令，得，解得，， ∴， 把、两点代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）连接，如图，    设， 令，得， 解得：，或， ∴； 则 ， ∴当时，四边形面积最大，其最大值为， 此时M的坐标为； （3）∵将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图，    ∴，， ∴，， 当在抛物线上时，有， 解得，， 当点在抛物线上时，有， 解得，， ∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点． 【点睛】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（3）关键是确定，点的坐标与位置． 2．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用直线解析式求出点、的坐标，从而得到、，再根据求出，从而得到点的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式； （2）先求出设，得，求出t的值即可； （3）根据点、的坐标求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出，，再根据点、的坐标求出，然后分①和是对应边时，和相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出，过点作轴于，求出、，再求出的长度，然后写出点的坐标即可；②和是对应边时，和相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出，过点作轴于，求出、，再求出的长度，然后写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得， 令，则， 点，， ， ， ， 点， 把点、、的坐标代入抛物线解析式得，， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵二次函数，对称轴为：，顶点坐标为， ∴设 ∴， ∴或， ∴或； （3），， ， ，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ①和是对应边时，， ， 即， 解得， 过点作轴于， 则， ， 点的坐标为； ②和是对应边时，， ， 即， 解得， 过点作轴于， 则， ， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）要分情况讨论． 3．(1) (2)①2；② (3)或 【分析】（1）由点的坐标可得出点的坐标，由点，的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）①利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，再利用三角形的面积计算公式，结合，即可求出的面积；②由①知，当最大时，即最大时，四边形的面积最大，过点P作x轴的垂线，交于点Q，设点，则，得到，根据，根据二次函数的性质，即可求出结果； （3）存在，由点，的坐标可得出，结合可得出，设点的坐标为，分点在轴上方及点在轴下方两种情况考虑：①当点在轴上方时记为，过点作轴于点，则，进而可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将符合题意的值代入点的坐标中即可求出点的坐标；②当点在轴下方时记为，过点作轴于点，则，进而可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将符合题意的值代入点的坐标中即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将沿所在直线翻折，使点恰好落在抛物线上的点处，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为． 将，代入， 得：，解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：①当时，， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入， 得：，解得：， 直线的解析式为． 点在直线上，轴于点，当时，， 点的坐标为． 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ，，， ， 故答案为：2． ②由①知，当最大时，即最大时，四边形的面积最大， 过点P作x轴的垂线，交于点Q，    设点，则， ， ， ， 当时，的最大，即四边形的面积最大， ； （3）解：存在，理由如下： 点的坐标为，点的坐标为， ． 在中，，， 点Q在抛物线上， 设点Q的坐标为． ①当点Q在轴上方时记为，过点作轴于点， 在中，，， ，即， 解得：（不合题意，舍去），， 点的坐标为； ②当点Q在轴下方时记为，过点作轴于点， 在中，，， ，即， 解得：（不合题意，舍去），， 点的坐标为． 综上所述，抛物线上存在一点，使，点的坐标为或．    【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、等腰直角三角形以及解一元二次方程，灵活运用数形结合的思想是解题的关键． 4．(1) (2)面积的最大值为，点的坐标为 (3)点的坐标为或或 【分析】（1）先求出，，，利用待定系数法求出直线的解析式为，求出抛物线的对称轴为直线，代入直线的解析式计算即可得出答案； （2）作轴交抛物线的对称轴于，交直线于，交轴于，设，则，，，，则，，，表示出，利用二次函数的性质求解即可； （3）由二次函数的平移法则得出新抛物线的解析式为，且点与点重合，则，对称轴为直线，设，则，，，分两种情况：当时，当时；分别建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：在抛物线中， 当时，，解得或， ，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得：， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， ； （2）解：如图，作轴交抛物线的对称轴于，交直线于，交轴于， ， 设，则，，，， ，，， ， ， 当时，最大为， 当时，， 此时点的坐标为； （3）解：将抛物线沿射线方向平移个单位，即向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， 新抛物线的解析式为，且点与点重合，则， 新抛物线的对称轴为直线， 设，则，，， 当时，， 解得：， ； 当时，， 解得：或， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的图象的平移、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—特殊三角形问题，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 5．(1) (2)①；②当点P在第一象限时，不存在S的最大值，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①设点P的坐标为则点D的坐标为，点F的坐标为，根据，求出，得出，求出，最后求出结果即可； ②根据，得出对称轴为 ，抛物线开口向上，根据，说明即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点， 把代入得：，解得： ∴点， 又∵点， ∴可设此抛物线的解析式为， 把点A代入可得:， 解得： ∴， 即：此抛物线的解析式为． （2）解：设点P的坐标为则点D的坐标为，点F的坐标为． ①在和中，， ∴， ∴， ∴， 由点D的坐标为得：， ∴； ②不存在．理由如下： ， ∴对称轴为 ， ， ∴抛物线开口向上， 又∵点P在第一象限， ∴， ∴当点 P 在对称轴左侧时， S随m的减小而增大，且无限趋近时S的值，但无法等于； 当点P在对称轴右侧时，S随m的增大而增大，且无限趋近时S的值最大，但无法等于； ∴当点P在第一象限时，不存在S的最大值． 【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点，二次函数的综合，求二次函数解析式，解直角三角形的相关计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 6．(1)； (2)； (3)的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）作辅助线如解析图，设点，利用点的坐标表示出相应线段的长度，再利用，列出关于的方程，解方程即可得出答案； （3）过点作于点，并延长交轴于点，过点作于点，设抛物线的对称轴交轴于点，利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质求得，再利用相似三角形的判定与性质求得点的坐标；通过计算得到点与点重合，可知直线为正比例函数的图象，利用待定系数法求得直线的解析式，与抛物线解析式联立，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析为； （2）解：过点作于点，于点，连接，如图， 设点， 点是抛物线上第二象限的动点， ，， 令，则， 解得：或， ， ． ，， ，， ． ， ∵， ， ， ， ， ， ∴， 即， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ； （3）解：过点作于点，并延长交轴于点，过点作于点，设抛物线的对称轴交轴于点，如图， 令，则， ， ． 令，则， ， ， ． ． ， ∴抛物线对称轴为直线， ， ． 由题意得：，， ， 在和中， ， ， ． ，， ∴， ， ， ，． ， ． ，， ， ， ， ． ， ，两点重合， 经过原点，即的图象是正比例函数的图象， 设直线的解析式为， ， ． ∴直线的解析式为． ， 解得：，， 的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法确定函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 7．(1)直线的函数表达式为，二次函数表达式为 (2)①的值为2或3或②面积最大值为 【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的函数表达式，再求得点A的坐标，代入二次函数表达式求出即可； （2）①分当点在直线上方和点在直线下方时，两种情况讨论，根据列一元二次方程求解即可； ②证明，推出，再证明四边形为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为． 将两点的坐标分别代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将代入，得． ∴点A的坐标为； 将两点的坐标分别代入， 得， 解得， ∴二次函数表达式为； （2）①解：点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为． ∴点的坐标分别为． ∴． ∵点的坐标为， ∴． ∵， ∴． 如图，当点在直线上方时，．    ∵， ∴． 解得， ∵， ∴； 如图，当点在直线下方时，．    ∵， ∴． 解得， 综上所述，的值为2或3或； ②解：如图，由（1）得，．    ∵轴于点，交于点，点B的坐标为， ∴． ∵点在直线下方， ∴． ∵轴于点， ∴． ∴，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形为平行四边形． ∵轴， ∴四边形为矩形． ∴． 即． ， ∵， ∴当时，S的最大值为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第二问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含t的代数式表示出是解题的关键． 8．(1)， (2)或 (3)点的坐标为或，． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，两点间的距离公式的应用等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）把，代入得；求出，再用待定系数法得直线的解析式为； （2）设，可得，由的面积等于3，有，即可解得或； （3）设，由，得直线解析式为，设直线解析式为，将代入得直线解析式为，，根据，有，解方程并检验即可得点的坐标为或，． 【详解】（1）解：（1）把，代入得： ， 解得， ； 在中，令得， ； 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：设，则， ， 的面积等于3，， ， 解得或， 或； （3）解：设，则，， 由，得直线解析式为， ， 设直线解析式为， 将代入得： ， ， 直线解析式为， 在中，令得， ， ， ， 解得或或或， 点是直线上方抛物线上的一个动点， 或， 点的坐标为或，． 9．(1)①；②； (2) 【分析】（1）①求解，证明，可得，可得，从而可得答案；②先求解抛物线为：；可得顶点坐标为；如图，连接，再利用割补法可得面积； （2）先求解抛物线为：，可得，可得顶点横坐标为，顶点纵坐标为，求解直线为，可得，证明，可得，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； 当，， ∴顶点坐标为； 如图，连接， ∴ ； （2）∵抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， 当时，则， ∴， 解得：，， ∴， 顶点横坐标为，顶点纵坐标为， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴抛物线为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，坐标与图形面积，锐角三角函数的应用，本题难度大，计算量大，细心的计算是解本题的关键． 10．(1) (2) (3)最大为2 【分析】本题考查二次函数几何最值、定值、动点问题，熟练掌握并利用待定系数法求二次函数的解析式，对于动点问题能够“化动为定”利用题意提供的信息列出等量关系是解题的关键，（1）利用待定系数法，将点和对称轴代入即可求得抛物线的解析式；（2）过点D作，垂足为H，由（1）可得抛物线顶点的坐标，得，的长，设点D的横坐标为t，则，易证，可得，进而得到， ，故点D的纵坐标为 ，利用 ，解得，即可得点D坐标；（3）过点D作，垂足为Q，设，则得到，的长，由于，可得，故 ，可得 ，则，故当时，最大． 【详解】（1）解：点在抛物线上，直线是抛物线的对称轴， ∴ 解得，， ∴， （2）解：过点D作，垂足为H， 由抛物线可知顶点， ∴，， 设点D的横坐标为t，则， ∵， ∴当时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴点D的纵坐标为 ， ∴ ， 解得或（舍）， 即点D的坐标为 ， （3）解：过点D作，垂足为Q，设， 则，， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ， ， ∴当时，最大为2， 11．(1) (2) (3)①；；②无最小值 【分析】（1）根据题意，数形结合，由勾股定理得到、，利用待定系数法确定函数即可得到答案； （2）根据题意，得到，，由三角形相似的判定得到，从而确定，代值解方程即可得到答案； （3）①根据题意，由一元二次方程根与系数的关系得到、，再由三角形相似的判定得到，利用相似比，得到，将代入得到，即可得到；再由即可得到与的关系；②利用待定系数法确定直线的解析式为，直线的解析式为，联立方程组，求出，由，代值后利用抛物线性质求出最值即可． 【详解】（1）解：在中，，，则由勾股定理可得， 、， 将、代入抛物线得 ，解得， 抛物线解析式为； （2）解：如图所示：    抛物线与x轴交于，两点，且，与轴交于点， ，是方程的两个不相等实数根， ， ， ， ， ，即，则， ，即 ， ，则，解得（与矛盾，舍去）或； （3）解：①由题意可知，，， 抛物线与x轴交于，两点，且，与轴交于点， ，是方程的两个不相等实数根，即、， ，， ， ， ，即，则， 将代入得到，即； 由知，即； ②由①知，再由得到，即， 设直线的解析式为，将、代入得，解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 将代入得，则直线的解析式为， 联立方程组，恒等变形得到，解得， ， 由①知，，则 ， ， 抛物线开口向上，对称轴为， ， 无最小值． 【点睛】本题考查二次函数综合，综合性强、难度较大，涉及勾股定理、待定系数法确定函数关系式、抛物线与一元二次方程关系、一元二次方程根与系数的关系、相似三角形的判定与性质、抛物线中三角形面积最值、抛物线图象与性质等知识，熟练掌握抛物线图象与性质、二次函数综合常见题型的解法是解决问题的关键． 12．(1) (2)存在， (3)6 【分析】（1）根据题意得到，，，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴交抛物线于点，将代入求出答案； （3）记过点、、的圆的圆心为点，设，根据面积公式或利用相似三角形的判定与性质列出式子求出答案． 【详解】（1）解：令，则， ， ， ， ， ，， 抛物线过点A，B， ，解得， 抛物线为； （2）解：存在，理由如下： ，， ， 若， 则轴或轴， 又点在抛物线上， 轴， 作轴交抛物线于点，    当时，， 解得，， ； （3）解：由（1）知， ， 记过点、、的圆的圆心为点，    则点在线段的垂直平分线上，故可设， 同理，点在线段的垂直平分线上， 又轴于点， 设，则， ， ， ， 即：①， 又点在抛物线上， ，即：②， 将②代入①得： ， ， ，即：， ， 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求出函数解析式，抛物线上的点的坐标特征以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 13．(1)抛物线解析式为，直线的解析式为， (2)面积的最大值为4，此时点P的坐标为 (3)或 【分析】（1）设出直线解析式，分别把，代入抛物线解析式中和直线解析式中，利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴交于D，设，则，可得；再由，得到，利用二次函数的性质即可求出答案； （3）如图所示，取点，连接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，得到，则点M即为为抛物线的交点，同理可得直线解析式为，联立，解得或，则点M的坐标为；求出直线与y轴的交点坐标为；取，则直线解析式为，由对称性可得，则射线与抛物线的交点即为点M，同理可得点M的坐标为． 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； 设直线的解析式为， 把，代入中得：， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：如图所示，过点P作轴交于D， 设，则， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为4， ∴此时点P的坐标为 （3）解：如图所示，取点，连接， ∵，， ∴，， ， ∴，， ∴是直角三角形，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴点M即为为抛物线的交点， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴点M的坐标为； 在中，当时，， ∴直线与y轴的交点坐标为； 取，则直线解析式为， 由对称性可得， ∴射线与抛物线的交点即为点M， 联立，解得或， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于利用线段的长表示出对应三角形的面积，解（3）的关键在于取出H点证明等腰直角三角形得到45度的角． 14．(1) (2)在点P运动过程中，的面积存在最大值，最大值为 (3)或 【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）联立抛物线与直线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点C、D的坐标，设点P的坐标为，则点N的坐标为，，根据三角形面积公式可得，利用二次函数的性质即可解决最值问题； （3）利用相似三角形的性质可得出：若与相似，则有或，设点P的坐标为，则点N的坐标为，点M的坐标为，点Q的坐标为，进而可得出，，，，将其代入或中即可求出x的值，结合即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ， 解得， 该抛物线对应的函数解析式为； （2）解：联立抛物线与直线的解析式成方程组，得：， 解得：，， 点C的坐标为，点D的坐标为． 设点P的坐标为，则点N的坐标为， ， ， 当时，取最大值，最大值为 ， 在点P运动过程中，的面积存在最大值，最大值为． （3）解：， 若与相似，则有或． 设点P的坐标为，则点N的坐标为，点M的坐标为，点Q的坐标为， ，，，． 当时，则， 解得：，舍去， 点P的坐标为； 当时，有， 解得：，舍去， 点P的坐标为． 综上所述：存在点P，使得与相似，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）利用三角形的面积公式找出；（3）分、两种情况求出x的值． 15．(1) (2)点P的坐标为或； (3)点P的坐标为或． 【分析】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，正切函数的定义． （1）将，两点代入，即可求解； （2）先求出，则，设，可得，即可求点坐标； （3）设交y轴于点，利用正切函数求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得即可；当直线经过点关于原点的对称点时，也符合题意，同理求解即可． 【详解】（1）解：将，两点代入， ， 解得， ； （2）解：令，则， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得或， ∴点P的坐标为或； （3）解：设交y轴于点， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴点P的坐标为； 当直线经过点关于原点的对称点时，也符合题意，同理求得直线的解析式为，联立， 解得或， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 16．(1)， (2) (3) 【分析】（1）令，可求出点的坐标，将函数化为顶点式，可求出点的坐标； （2）过点作轴于点，可得，推出，由点为轴的负半轴上的一点，设直线与轴交于点，则是等腰三角形，可得，设，则，，根据勾股定理求出值，进而得到点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，则，，由点的横坐标为，可表达，利用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：令， 解得或， ； ， 顶点； （2）如图，过点作轴于点， ，， ， ， ， 为轴的负半轴上的一点，设直线与轴交于点，则是等腰三角形， ， 设，则，， 在中，， 解得：， ， 设直线的解析式为：，将点、代入得： ， 解得：， 直线的解析式为：， 令，则， 解得：， ； （3）点与点关于对称轴对称， ， 如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，， ，， 点横坐标为， ，， ， ，， ， ， 当时，的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质，三角形的面积，一次函数，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 17．(1) (2) (3)点Q的坐标为或 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，中心对称的性质以及与解直角三角形相关的计算： （1）由求出与轴的交点，，顶点坐标，设的解析式为，将点关于原点对称的点的坐标代入，求出，即可得的解析式； （2）过点B作于点E，由两点间距离公式求出，由三角形面积公式求出，从而可求出； （3）证明是直角三角形且，分点Q在轴左侧和右侧两种情况，根据即讨论求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，；当时，， 解得，， ∴， 又， ∴抛物线的顶点P的坐标为， 设点A关于原点对称的点的坐标为， 由旋转知，的顶点坐标为，且过点， ∴设的解析式为， 把代入得， 解得，， ∴的解析式为； （2）解：∵， ∴ ∴， 过点B作于点E，如图， ， 则， ∴， ∴ （3）解：∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴； 分两种情况： （i）当点Q在y轴左侧时，如图，过点Q作轴于点F， ∵， ∴， 设点的坐标为，则：，， ∴， 解得，， 经检验，是原方程的根， 又， ∴， 此时，点的坐标为； （ii）当点在轴右侧时，如图， ∵点A关于原点对称的点的坐标为， ∴， 连接，则有：， ∴ ∴点与点重合， ∴， 综上，点Q的坐标为或 18．(1) (2) (3)或或或 【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C坐标，进而求出直线解析式，设点D的坐标为，则，；由与的面积相等，推出，则，解得，则，利用勾股定理求出，则； （3）先证明，得到，进而推出，则当点D与点C重合时，此时点E与点C重合，点F与点O重合，则；如图3-1所示，当点F在之间时，可得，则此时和不可能相似；如图3-2所示，当点F在点A左侧，设，则，，，当时，，证明，推出，则，解得或（舍去），则；当点F在点A左侧，且当时，可得，则，解得或（舍去），则；如图3-3所示，如图所示，当点F在之间时，只有当时，与才能相似，此时，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可；如图3-4所示，当点F在点B右侧，只有当时，与才能相似，此时，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 设点D的坐标为， ∵轴， ∴， ∴； ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 当点D与点C重合时，此时点E与点C重合，点F与点O重合，则， ∴， ∴此时点D的坐标为； 如图3-1所示，当点F在之间时， ∵， ∴，即， ∵， ∴此时和不可能相似； 如图3-2所示，当点F在点A左侧，设，则，， ∴， 当时， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当点F在点A左侧，且当时，可得， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴； 如图3-3所示，如图所示，当点F在之间时， ∵， ∴只有当时，与才能相似， ∴此时， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 如图3-4所示，当点F在点B右侧， ∵， ∴只有当时，与才能相似， ∴此时， ∴， 设，则，， ∴， ∴ 解得（舍去）或（舍去），即此种情况不存在； 综上所述，点D的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合等等，证明是直角三角形，进而推出两直角边的比例关系是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$