精品解析：2024年广东省梅州市兴宁永和中学中考数学一模试卷

2024年永和中学中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 9的倒数是（ ） A. B. C. 9 D. ﹣9 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的定义即可求解. 【详解】9的倒数是：．故选A． 【点睛】此题主要考查倒数的求解，解题的关键是熟知倒数的性质. 2. 生活在海洋中的蓝鲸，又叫长须鲸或剃刀鲸，它的体重达到150吨，它体重的万亿分之一用科学记数法可表示为（　　） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 3. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图． 【详解】A、俯视图是三角形，故本选项符合题意； B、俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意； C、俯视图是四边形，四边形的内部有一点与四个顶点相连，故本选项不合题意； D、俯视图是正方形，故本选项不合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了几何体的三种视图，解题的关键是掌握定义，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 4. 《中华人民共和国森林法》明确规定每年3月12日为植树节，2024年3月12日是我国的第46个植树节．某校九年级8个班级春季植树的数量（单位：棵）分别为：100，120，100，120，90，120，60，70，则这8个班级植树棵数的中位数和众数分别为（ ） A. 90棵，120棵 B. 100棵，100棵 C. 120棵，100棵 D. 100棵，120棵 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数和众数，把一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，据此求解即可． 【详解】解：将这8个数按从小到大的顺序排列为60，70，90，100，100，120，120，120，位于最中间的两个数分别为100，100， ∴这8个班级植树棵数的中位数为（棵）， ∵120出现的次数最多， ∴众数为120棵， 故选：D． 5. 如图，将直尺与含角的直角三角板叠放在一起，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，三角板的有关计算，由题意可得，，根据平行线的性质得出，最后通过三角形外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，设 则 再代入分式求值即可. 【详解】解： ，设 故选： 【点睛】本题考查的是分式的值，掌握设辅助参数的方法求解分式的值是解题的关键. 7. 已知一元二次方程，下列说法错误的是（ ） A. 若，则方程没有实数根 B. 当且方程存在实数根时，两根一定互为相反数 C. 若，则方程必有两个不相等的实数根 D. 若，则方程有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式逐一求解即可． 【详解】A.将代入原方程，得，则是原方程的根； 故A中的说法错误； B.当且方程存在实数根时，； 故B中的说法正确； C.若，则，∴，∴方程必有两个不相等的实数根； 故C中的说法正确； D.若，则． ∵ ∴，故方程有两个不相等的实数根； 故D中的说法正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式．解题的关键是熟练运用一元二次方程判别式判断根的情况． 8. 已知8人围绕一个半径为80厘米的圆桌就坐，每人离圆桌的距离均为厘米，又加入两人后，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使人都坐下，并且人之间的距离与原来8人之间的距离（即在圆周上相邻两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为厘米，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的周长的计算，正确根据人之间的距离与原来8人之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等列方程是解题的关键． 设每人向后挪动的距离是，则这个人在以为半径的圆周上，根据10人之间的距离与原来8人之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等，即可列方程求解． 【详解】解：设每人向后挪动的距离为厘米． 根据题意得：， 故选：D． 9. 如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交，于点E，F．若点E，F分别在，的垂直平分线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题关键．由线段垂直平分线的性质可知，．再根据平角和三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵点E，F分别在，的垂直平分线上， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则关于的方程的一个根可能是（ ） A. 2.18 B. 2.68 C. ﹣0.56 D. 2.45 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线和轴交点，理解抛物线和一元二次方程的关系是解答关键． 观察函数图象可得 的点在和之间，进而求解． 【详解】解：从函数图象看， 的点在和之间， 而在和之间被选项中的数为， 的方程的一个根可能. 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．设函数解析式为I（），把代入函数解析式求得值即可． 【详解】解：设函数解析式为I（）， 把代入函数解析式得， ， ． 故答案为：． 13. 如果一个正边形的内角和小于外角和，那么等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角都为，结合题意即可求解． 【详解】解：∵任意多边形的外角都为，如果一个正边形的内角和小于外角和 ∴ 解得： 又∵且为正整数， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的内角和与外角和，熟练掌握正多边形的内角和与外角和是解题的关键． 14. 如图，在中，，平分，点为中点，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据等腰三角形的三线合一得到∠ADC=90°，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC=90°，点E为AC中点， ∴DE=AC=5， 故答案为5． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 15. 如果关于的不等式组恰有4个整数解，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解：解决此类问题的关键在于正确解不等式组，求得x的范围，根据不等式组有4个整数解即可得到关于m的不等式，从而求解． 【详解】解：， 解得：， 则不等式组的解集是：， ∵不等式组有4个整数解， ∴． 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，，过点B的直线轴，点P在直线m上运动，是右侧的等腰直角三角形，且，点C在直线上，则当取最小值时点P的横坐标是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、一次函数的图象和性质、全等三角形的判定和性质等知识．设点P的坐标为，过点P作，垂足为E，过点C作，垂足为F，证明，得到则点C的坐标为．得到．则．得到．作点A关于直线作对称点，连接，则最小值为长，此时C位于处．证明．可得：，解得，即可求出答案． 【详解】解：设点P的坐标为， 过点P作，垂足为E，过点C作，垂足为F，如图， ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴ ∵点C始终在直线上运动． ∴点C的坐标为． 设直线与x轴、y轴分别交于点M、N，如图， 当时，，当时，， ∴． ∴． ∵， ∴． 作点A关于直线作对称点，连接， 则． ∴， ∵． ∴最小值为长，此时C位于处． ∵， ∴． 根据相似三角形对应高的比等于相似比可得：， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17. 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂、二次根式、锐角三角函数值、负指数幂的运算法则进行计算后，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 【点睛】此题考查了实数的混合运算，准确求解零指数幂、二次根式、锐角三角函数值、负指数幂是解题的关键． 18. 如图，矩形中，． （1）用尺规作的角平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求的长． 【答案】（1） 如图所示，为所作： （2）4cm 【解析】 【分析】（1）按照要求作的角平分线交于点； （2）根据角平分线性质可得，再根据直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边一半求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过作于， 由题可得，平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴中，． 【点睛】本题综合考查了含30°角的直角三角形、作图--复杂作图．也考查了角平分线的性质，要熟练掌握． 19. 在一次郊游中，小张与小李两位同学发现一个圆桌旁有4个座位，如图所示，两位同学想坐下休息一会（选择每一个座位的机会是均等的，两人不能坐同一个座位）． （1）小张恰好坐在①号座位的概率为_________； （2）用画树状图或列表的方法求小张与小李恰好相邻而坐的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算、画树状图或列表法求概率，正确列出表格得到所有的可能结果是解答的关键． （1）根据题意直接计算概率即可； （2）先列表得到所有等可能的结果数，再找出满足条件的可能结果数，进而利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有4个座位，每个座位被选择的概率相同， ∴小张恰好坐在①号座位的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：①、②、③、④这4个座位分别用A、B、C、D表示，列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中小张与小李恰好相邻而坐的8种， ∴小张与小李恰好相邻而坐的概率为． 20. 下面是小琼学习了分式方程后所做的课堂笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某中学组织学生们到离学校的郊区进行社会调查．一部分学生步行前往，另一部分学生在步行的学生出发后，骑自行车沿相同路线行进，步行的学生与骑自行车的学生同时到达目的地，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，分别求步行和骑自行车的速度． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：步行的时间﹣骑自行车时间＝ 解法二 设… 等量关系：步行的速度＝骑自行车的速度 任务： （1）解法一所列的方程中的x表示_________，解法二所列的方程中的x表示_________； A．步行的速度为 B．骑自行车的速度为 C．步行的时间为 （2）任选一种方法，分别求出步行和骑自行车的速度． 【答案】（1）A，C （2）步行的速度为，骑自行车的速度为 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是根据等量关系列出方程． （1）根据列表中给出的等量关系得出结论； （2）根据分式方程的解法解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意知，解法一所列的方程中的x表示步行的速度为； 解法二所列的方程中的x表示步行的时间为． 故答案为：A，C； 【小问2详解】 解法一：设步行的速度为，则骑自行车的速度为， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时， 答：步行的速度为，骑自行车的速度为； 解法二：设步行的时间为，则骑自行车的时间为， 根据题意得：， 解得： ， 经检验，是原方程的解， 此时，， 答：步行的速度为，骑自行车的速度为． 21. 如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）点是线段上一点，满足交于点． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， ， ， ， ； （2） ①证明： 四边形是平行四边形， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，证明，推出，即可解答； （2）①通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，②把数值代入①中比例线段列方程即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：由①得， ，即， ． 22. 如图，一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点B（1，3），过点B作BC⊥x轴于点C． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）y＝2x+1，y＝ （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用直线的解析式求得点A坐标，利用坐标表示出线段CA，BC的长度，利用三角形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 ∵一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象经过点B（1，3）， ∴a+1＝3， ∴a＝2． ∴一次函数的解析式为y＝2x+1， ∵反比例函数y＝的图象经过点B（1，3）， ∴k＝1×3＝3， ∴反比例函数的解析式为y＝． 【小问2详解】 令y＝0，则2x+1＝0， ∴x＝﹣． ∴A（﹣，0）． ∴OA＝． ∵BC⊥x轴于点C，B（1，3）， ∴OC＝1，BC＝3． ∴AC＝1＝． ∴△ABC的面积＝×AC•BC＝． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 23. 如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQAP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP． （1）求证：△BOQ≌△POQ； （2）若直径AB的长为12．当PE＝　 　时，四边形AEOP为菱形，并说明理由． 【答案】（1） 证明： ∵PA∥OQ， ∴∠APO＝∠POQ，∠OAP＝∠BOQ， 而OA＝OP， ∴∠OPA＝∠OAP， ∴∠POQ＝∠BOQ， 在△BOQ和△POQ中 ， ∴△BOQ≌△POQ（SAS）． （2）6， ∵PE⊥AB， ∴当OC＝AC，PC＝EC，四边形AEOP为菱形， ∵OC＝OA＝＝AB=3， ∴PC＝＝3， ∴PE＝2PC＝6． 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明全等即可；（2）当四边形对角线互相垂直且平分时，四边形AEOP为菱形，利用勾股定理即可求得PE的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理、平行线的性质、直角三角形勾股定理的运算及菱形的判定定理，这是个综合题，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 24. ［问题情境］数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系，并加以证明： ［实践探究］希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题． ［拓展迁移］突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值． 【答案】 [问题情境]：， 理由如下：取的中点，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ 、分别为正方形的边、的中点， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； [实践探究]： [拓展迁移]： 【解析】 【分析】[问题情境]：取的中点，连接，利用同角的余角相等说明，再根据证明，得； [实践探究]：在上取，连接，由（1）同理可得，则，再说明是等腰直角三角形即可得出答案； [拓展迁移]：作，交的延长线于，交于，连接，则是等腰直角三角形，可知点与关于对称，则的最小值为的长，利用勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：[问题情境]略 [实践探究] 解：在上取，连接， 由（1）同理可得， ， ∵是等腰直角三角形 ∴， ， ， ，， ，而， ， ， ， ， [拓展迁移] 解：连接，作，交的延长线于，交于，连接，， 由（2）知，， ， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， 点与关于对称， ∴最小值为的长， ， ，， 由勾股定理得， 周长的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，且． （1）如图，求抛物线的解析式； （2）如图，点是第一象限抛物线上一点，其横坐标为，连接，交轴于点，的面积为，求与之间的函数关系式； （3）如图，在（）的条件下，点在上（点不与点重合），过点作轴交抛物线于点，交于点，连接，点在上，连接，交于点，若，，，求点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）过作轴于，证明得，即得，进而可得，再根据三角形的面积公式解答即可求解； （）过作轴于，可得直线解析式为，直线的解析式为，设（），则，，可得，，由得，即得，进而可得，又由得，由得，即得，，得到，即得到，可得，得，利用待定系数法求得直线解析式为，最后把代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：（）令得， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 把代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：过作轴于，如图： 由得或， ∴， ∵点是第一象限抛物线上一点，其横坐标为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：过作轴于，如图： ∵，，， ∴直线解析式为，直线的解析式为， 设（），则，， ∴， ， ∵， ∴ 解得（舍去）或， ∴， ∴， ∵， ∴轴，， ∵轴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∵， ∴， 解得（舍去）或， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 把代入，得， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析，二次函数的几何应用，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年永和中学中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 9的倒数是（ ） A. B. C. 9 D. ﹣9 2. 生活在海洋中的蓝鲸，又叫长须鲸或剃刀鲸，它的体重达到150吨，它体重的万亿分之一用科学记数法可表示为（　　） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 3. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 《中华人民共和国森林法》明确规定每年3月12日为植树节，2024年3月12日是我国的第46个植树节．某校九年级8个班级春季植树的数量（单位：棵）分别为：100，120，100，120，90，120，60，70，则这8个班级植树棵数的中位数和众数分别为（ ） A. 90棵，120棵 B. 100棵，100棵 C. 120棵，100棵 D. 100棵，120棵 5. 如图，将直尺与含角的直角三角板叠放在一起，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一元二次方程，下列说法错误的是（ ） A. 若，则方程没有实数根 B. 当且方程存在实数根时，两根一定互为相反数 C. 若，则方程必有两个不相等的实数根 D. 若，则方程有两个不相等的实数根 8. 已知8人围绕一个半径为80厘米的圆桌就坐，每人离圆桌的距离均为厘米，又加入两人后，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使人都坐下，并且人之间的距离与原来8人之间的距离（即在圆周上相邻两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为厘米，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交，于点E，F．若点E，F分别在，的垂直平分线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则关于的方程的一个根可能是（ ） A. 2.18 B. 2.68 C. ﹣0.56 D. 2.45 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 因式分解：_____． 12. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为 ________． 13. 如果一个正边形的内角和小于外角和，那么等于______． 14. 如图，在中，，平分，点为中点，则_____． 15. 如果关于的不等式组恰有4个整数解，则的取值范围是________． 16. 在平面直角坐标系中，，过点B的直线轴，点P在直线m上运动，是右侧的等腰直角三角形，且，点C在直线上，则当取最小值时点P的横坐标是 _______． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17. 18. 如图，矩形中，． （1）用尺规作的角平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求的长． 19. 在一次郊游中，小张与小李两位同学发现一个圆桌旁有4个座位，如图所示，两位同学想坐下休息一会（选择每一个座位的机会是均等的，两人不能坐同一个座位）． （1）小张恰好坐在①号座位的概率为_________； （2）用画树状图或列表的方法求小张与小李恰好相邻而坐的概率． 20. 下面是小琼学习了分式方程后所做的课堂笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某中学组织学生们到离学校的郊区进行社会调查．一部分学生步行前往，另一部分学生在步行的学生出发后，骑自行车沿相同路线行进，步行的学生与骑自行车的学生同时到达目的地，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，分别求步行和骑自行车的速度． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：步行的时间﹣骑自行车时间＝ 解法二 设… 等量关系：步行的速度＝骑自行车的速度 任务： （1）解法一所列的方程中的x表示_________，解法二所列的方程中的x表示_________； A．步行的速度为 B．骑自行车的速度为 C．步行的时间为 （2）任选一种方法，分别求出步行和骑自行车的速度． 21. 如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）点是线段上一点，满足交于点． ①求证：； ②若，求的长． 22. 如图，一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点B（1，3），过点B作BC⊥x轴于点C． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）求△ABC的面积． 23. 如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQAP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP． （1）求证：△BOQ≌△POQ； （2）若直径AB的长为12．当PE＝　 　时，四边形AEOP为菱形，并说明理由． 24. ［问题情境］数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系，并加以证明： ［实践探究］希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题． ［拓展迁移］突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值． 25. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，且． （1）如图，求抛物线的解析式； （2）如图，点是第一象限抛物线上一点，其横坐标为，连接，交轴于点，的面积为，求与之间的函数关系式； （3）如图，在（）的条件下，点在上（点不与点重合），过点作轴交抛物线于点，交于点，连接，点在上，连接，交于点，若，，，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $