精品解析：广东省佛山市三水区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024－2025学年度第一学期期末教学质量监测 九年级数学科试题 说明：1.全卷共6页，满分为120分，考试时间为120分钟； 2.答题前，考生务必认真阅读答题卷上的信息栏，并按照信息栏上的要求填写； 3.选择题每题选出正确答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的信息点涂黑； 4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔或涂改液．不按照以上要求作答的答案无效． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 如图所示，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. B. C. D. 3. 若，，三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C D. 4. 在一个暗箱里放有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为（ ） A. 7 B. 3 C. 10 D. 65 5. 如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上影子（    ） A. 一直都在变短 B. 先变短后变长 C. 一直都在变长 D. 先变长后变短 6. 方程的根的情况是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根 7. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一个角为且一组邻边相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D. 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形 8. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是菱形，于点E，则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 12 10. 如图，A，B是函数与的图象的两个交点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，，则四边形的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：把正确答案填写在答题卡的相应位置上，本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为______（精确到0.01） 12. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是_______． 13. 据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆．设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，则可列方程________． 14. 如图1是液体沙漏截面示意图（数据如图），经过一段时间后，液体沙漏的截面示意图如图2所示，此时________cm． 15. 如图，在中，，由图中的尺规作图得到射线，与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的长为______． 三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，在中，，点D，E在边上（在的左边），且． （1）求证：； （2）若，求BD的长． 18. “二十四节气”是中华上古农耕文明智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明“．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． （1）小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是 ． （2）小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率． 四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，已知每天组装的数量y（台）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 40 45 50 60 每天组装的数量y（台） 300 225 200 180 150 （1）求y关于x的函数关系式． （2）某商场以每台2400元的进货价购进这批空调．调查发现，当销售价为2800元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．设商场每台空调降价x元． ①降价后每天卖出 台，每台盈利 元（用含x的代数式表示）； ②该商场平均每天的盈利可能是4000元吗？为什么？ 20. 如图，四边形的对角线相交于点O，，．若四边形是菱形； （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求四边形的面积． 21. 【综合与实践】跷跷板是一种儿童游戏用具，在笔直的方木之间装上支点，然后架在支柱上，两端坐人，一起一落游戏．当跷跷板一端着地时，另一端翘到最高点．如图，小蓝和小明在玩跷跷板，该跷跷板的长度为米，小明能把小蓝最高翘到米．图是该跷跷板的平面示意图，支点是的中点，支柱垂直于地面． （1）支柱的高度 米． （2）保持支柱的高度不变，点仍是跷跷板的中点，若只改变的长度，那么端点到地面的最大高度会变化吗？ （填“会”或“不会”） （3）请你帮忙设计一种跷跷板改造方案，使得小明能把小蓝最高翘到米（要求：不改变支柱的高度以及跷跷板的长度）请在图中画图并分析说明． 五、解答题（三）本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【知识技能】（1）如图1，矩形与叠放在一起，（点Q，N分别与点A，B重合，点M落在对角线上），已知，则 ． 【数学理解】（2）如图2，以每秒1个单位长度的速度在线段上从点A向点C运动；同时，动点P以每秒2个单位长度的速度在线段上从点D向点A运动，设它们的运动时间为，连接．解答下列问题： ①当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？ ②是否存在某一时刻t，使得与四边形面积之比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【拓展探索】（3）如图3，将绕着点M顺时针旋转得到，点N、Q的对应点是，连接，，当t为何值时，的值最小？ 23. 【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正方向重合，点在射线上；过点作轴于点，的面积是，函数的图象经过点；以点为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点；分别过点，点作轴和轴的平行线，两线相交于点，连接；过点作轴的平行线交线段于点． 【构建联系】 （1）填空： ． 【深入探究】 （2）求证：点在直线上． （3）请写出与的数量关系，并说明理由． （4）尺规作图：求作射线，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度第一学期期末教学质量监测 九年级数学科试题 说明：1.全卷共6页，满分为120分，考试时间为120分钟； 2.答题前，考生务必认真阅读答题卷上的信息栏，并按照信息栏上的要求填写； 3.选择题每题选出正确答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的信息点涂黑； 4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔或涂改液．不按照以上要求作答的答案无效． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 如图所示，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形判断即可． 【详解】解：从正面看，可得选项A的图形． 故选：A． 2. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最短的线段和最长的线段相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解∶A．， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、， ， 四条线段成比例，故本选项符合题意； C、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 故选∶B． 3. 若，，三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用反比例函数图象与性质比较函数值大小，先作出函数的图象，在图象上描出，，三点，即可从图象中得到函数值大小，掌握反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：作出函数的图象，如图所示： ， 故选：A． 4. 在一个暗箱里放有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为（ ） A. 7 B. 3 C. 10 D. 65 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，解题关键是掌握“利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率”．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，进而利用概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：由题意，，解得， 故可以推算出m约为10． 故选：C． 5. 如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（    ） A. 一直都在变短 B. 先变短后变长 C. 一直都在变长 D. 先变长后变短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：在小亮从处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短；当他走到路灯下，再走到处时，他在地上的影子逐渐变长， ∴小亮在地上的影子先变短后边长， 故选：B． 6. 方程的根的情况是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根．先求出的值，再判断，即可解题． 【详解】解：在一元二次方程中， ∵，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 7. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一个角为且一组邻边相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D. 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定、正方形的判定、矩形的判定、中点四边形分别进行判断即可． 【详解】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项错误，不符合题意； B．有一个角为且一组邻边相等的平行四边形是正方形，故选项错误，不符合题意； C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故选项错误，不符合题意； D．顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定、正方形的判定、矩形的判定、中点四边形等知识，熟练掌握相关判定是解题的关键． 8. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用配方法解方程，根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即， 故选：D． 9. 如图，四边形是菱形，于点E，则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，运用勾股定理可得的长，再根据菱形面积的计算方法，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ， ． 在中，由勾股定理，得， ∴， ， ． 故选：A． 10. 如图，A，B是函数与的图象的两个交点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，，则四边形的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义．根据函数的解析式得到各线段的长度，将四边形分为四个小三角形即可求出面积． 【详解】解：根据正比例函数和反比例函数的对称性可知，， ∴的面积都等于， ∴四边形的面积为， 故选：A． 二、填空题：把正确答案填写在答题卡的相应位置上，本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为______（精确到0.01） 【答案】0.53 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．根据图表中数据解答本题即可． 【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53， 故答案为：0.53． 12. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数．熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解决问题的关键． 根据反比例函数的图象和性质，，当k＞0时，图象的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，据此列出不等式，求解即可． 【详解】解：∵ 反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆．设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，则可列方程________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，依题意得， ， 故答案为：． 14. 如图1是液体沙漏的截面示意图（数据如图），经过一段时间后，液体沙漏的截面示意图如图2所示，此时________cm． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用．画出截面图，过点C作交于点G，交于点F，由，列出等量关系式，即可求解． 【详解】解：如图所示为沙漏横截面，过点C作交于点G，交于点F，     由题意得：，，， ∵， ∴分别是边上的高， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 故答案：． 15. 如图，在中，，由图中的尺规作图得到射线，与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，先利用等腰三角形的三线合一性质可得，，然后在中，利用勾股定理可得，再利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由图中的尺规作图得到平分， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解． （2）移项后，利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ． 17. 如图，在中，，点D，E在边上（在的左边），且． （1）求证：； （2）若，求BD的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理： （1）根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，进而根据平角的定义求出的度数，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， 又， ， 又， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ． 18. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明“．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． （1）小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是 ． （2）小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，画树状图求概率， （1）根据概率公式计算； （2）画出树状图，确定所有可能出现的结果，符合题意的结果，再根据概率公式得出答案． 【小问1详解】 解：一共有4张邮票，符合题意的有1张， 所以，抽中B的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 一共有16种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有7种，所以两次抽取邮票中至少有一张是D的概率是． 四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，已知每天组装的数量y（台）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 40 45 50 60 每天组装的数量y（台） 300 225 200 180 150 （1）求y关于x的函数关系式． （2）某商场以每台2400元的进货价购进这批空调．调查发现，当销售价为2800元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．设商场每台空调降价x元． ①降价后每天卖出 台，每台盈利 元（用含x的代数式表示）； ②该商场平均每天的盈利可能是4000元吗？为什么？ 【答案】（1） （2）①；②不可能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． （1）的乘积是定值即可判断； （2）①根据题意可知降价25元多卖一台即可列出式子； ②代入数据可得方程，根据根的判别式计算可判断根的情况，再做出判断． 【小问1详解】 解：∵， ∴y是x的反比例函数， 设， 把代入得，， 解得， ∴y关于x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：①，即降价25元多卖一台， 降价后每天卖出台，每台盈利元， 故答案为：，； ②该商场平均每天的盈利不可能是4000元， 理由：依题意得：， 整理得：， ， ∴该方程没有实数根， ∴该商场不可能每天盈利4000元． 20. 如图，四边形的对角线相交于点O，，．若四边形是菱形； （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得四边形是平行四边形，，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，，则有，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、矩形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、矩形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键 21. 【综合与实践】跷跷板是一种儿童游戏用具，在笔直的方木之间装上支点，然后架在支柱上，两端坐人，一起一落游戏．当跷跷板一端着地时，另一端翘到最高点．如图，小蓝和小明在玩跷跷板，该跷跷板的长度为米，小明能把小蓝最高翘到米．图是该跷跷板的平面示意图，支点是的中点，支柱垂直于地面． （1）支柱的高度 米． （2）保持支柱的高度不变，点仍是跷跷板的中点，若只改变的长度，那么端点到地面的最大高度会变化吗？ （填“会”或“不会”） （3）请你帮忙设计一种跷跷板改造方案，使得小明能把小蓝最高翘到米（要求：不改变支柱的高度以及跷跷板的长度）请在图中画图并分析说明． 【答案】（1） （2）不会 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理求解即可； （2）利用三角形中位线定理求解即可； （3）如图，将支点装在距离跷跷板端点米处，根据相似三角形的判定与性质，求解即可． 【小问1详解】 解：过点作，如图所示： ，， ， ， ， 是的中位线， （米）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：支柱的高度不变，点仍是跷跷板的中点，若只改变的长度，那么端点到地面的最大高度不会变化，理由： 这个高度（米）， 故答案为：不会； 【小问3详解】 解：方案：如图，将支点装在距离跷跷板端点米处， 过点作于点，则， ， ， 米，米，米， ， 米， 即将支点装在距离跷跷板端点米处，满足要求． 五、解答题（三）本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【知识技能】（1）如图1，矩形与叠放在一起，（点Q，N分别与点A，B重合，点M落在对角线上），已知，则 ． 【数学理解】（2）如图2，以每秒1个单位长度的速度在线段上从点A向点C运动；同时，动点P以每秒2个单位长度的速度在线段上从点D向点A运动，设它们的运动时间为，连接．解答下列问题： ①当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？ ②是否存在某一时刻t，使得与四边形面积之比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【拓展探索】（3）如图3，将绕着点M顺时针旋转得到，点N、Q的对应点是，连接，，当t为何值时，的值最小？ 【答案】（1）12；（2）①，②存在，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求得，进而根据面积法求得的值； （2）①根据点A在线段的垂直平分线上得出，进而列出方程求得结果； ②作于E，可先求出，根据得出，从而表示出的值，从而得出，进一步得出结果； （3）连接，作于H，根据垂直平分线的性质得出，从而得出，当共线时，最小，从而得出，连接，作于F，则，求出，，证明四边形是平行四边形，进一步证明，根据相似三角形的性质列式计算可得结论． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由得，， 故答案为：12； （2）①∵矩形中， ∴， ∵在中，， ∴， ∵点A在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当t为时，点A在线段的垂直平分线上； ②存在，理由如下： 如图，过点M作于E， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵与四边形面积之比为， ∴与的面积之比为， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴当时，与四边形面积之比为； （3）如图，连接， ∵旋转得到， ∴ ∴， ∴当共线时，的值最小， 如图，连接，作于F，则， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵旋转得到， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴ ∵ （对顶角相等） ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 23. 【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正方向重合，点在射线上；过点作轴于点，的面积是，函数的图象经过点；以点为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点；分别过点，点作轴和轴的平行线，两线相交于点，连接；过点作轴的平行线交线段于点． 【构建联系】 （1）填空： ． 【深入探究】 （2）求证：点在直线上． （3）请写出与数量关系，并说明理由． （4）尺规作图：求作射线，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】（1） （2）见解析 （3），见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）运用反比例函数系数的几何意义即可求得答案； （2）设，，由轴，轴，可得，，运用待定系数法可得直线的解析式为，当时，，即可证得结论； （3）连接交于点，可证得四边形是矩形，推出，再证得，即可求得答案； （4）连接交反比例函数的图象于点，以点为圆心，为半径画弧交反比例函数的图象于点，分别过、作轴、轴的平行线交于点，作点关于轴的对称点，连接、即可． 【详解】解：（1）由于函数的图象经过点， 则， 又， ， 故答案为：； （2）证明：由（1）知：， 设，， 轴，轴， ，， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点在直线上； （3），理由如下： 轴，轴， ， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， ， ， 轴， ， ； （4）如图所示，连接交反比例函数图象于点，以点为圆心，为半径画弧交反比例函数的图象于点，分别过、作轴、轴的平行线交于点，作点关于轴的对称点，连接、，则射线，即为所求． 【点睛】本题考查了待定系数法、反比例函数系数的几何意义、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$